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Subfakultät n displaystyle n n displaystyle n Fakultät n displaystyle n 0 1 11 0 12 1 23 2 64 9 245 44 1206 265 7207 1 8

Subfakultät

Subfakultät Fakultät
0 1 1
1 0 1
2 1 2
3 2 6
4 9 24
5 44 120
6 265 720
7 1.854 5.040
8 14.833 40.320
9 133.496 362.880
10 1.334.961 3.628.800

Die Subfakultät ist eine vornehmlich in der Kombinatorik auftretende Funktion. Sie gibt die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen einer Menge mit Elementen an und wird durch notiert. Die Subfakultät ist eng mit der Fakultät verwandt, die die Gesamtzahl der Permutationen einer -elementigen Menge angibt. Sie ist näherungsweise gleich dem Quotienten aus der Fakultät und der eulerschen Zahl .

Definition Bearbeiten

Die Subfakultät einer natürlichen Zahl wird mit Hilfe der Fakultät durch

definiert. Die Subfakultät entspricht der Anzahl der fixpunktfreien Permutationen (Derangements) einer -elementigen Menge, während die Fakultät die Anzahl aller möglichen Permutationen angibt.

Beispiel Bearbeiten

Angenommen, man hat sechs verschiedenfarbige Kugeln, und zu jeder Kugel ein Kästchen in der passenden Farbe. Zu bestimmen ist die Anzahl der Möglichkeiten, die Kugeln so auf die Kästchen zu verteilen, dass jedes Kästchen genau eine andersfarbige Kugel enthält. Dafür gibt es genau

Möglichkeiten.

Weitere Darstellungen Bearbeiten

Rundungsdarstellungen Bearbeiten

Vergleich von Näherungen der Subfakultät
1 0,37 0 0,74 0
2 0,74 1 1,10 1
3 2,21 2 2,58 2
4 8,83 9 9,20 9
5 44,15 44 44,51 44
6 264,87 265 265,24 265
7 1.854,11 1.854 1.854,48 1.854
8 14.832,90 14.833 14.833,27 14.833
9 133.496,09 133.496 133.496,46 133.496

Es gilt

mit der eulerschen Zahl und der unvollständigen Gammafunktion . Eine sehr gute Näherung ist

Gerundet erhält man für sogar die exakte Formel

wobei die nächstliegende ganze Zahl bezeichnet. Wird in der letzten Formel vor der Division noch die Zahl Eins addiert, so erspart man sich die Unterscheidung, ob ab- oder aufgerundet werden muss. Stattdessen schneidet man den Nachkommateil einfach ab (siehe Gaußklammer) und man erhält für :

Rekursive Darstellungen Bearbeiten

Rekursive Darstellung der Subfakultät
1 1 1 −1 0
2 0 0 +1 1
3 1 3 −1 2
4 2 8 +1 9
5 9 45 −1 44
6 44 264 +1 265
7 265 1.855 −1 1.854
8 1.854 14.832 +1 14.833
9 14.833 133.497 −1 133.496

Die Subfakultät lässt sich auch über die beiden Formeln

und

rekursiv berechnen. Der Term entspricht dabei der Anzahl der fixpunktfreien Permutationen einer -elementigen Menge, bei denen ein Element fest vorgegeben ist (Folge A000255 in OEIS).

Integraldarstellung Bearbeiten

Die folgende Integraldarstellung verallgemeinert die Subfakultät um ihren Definitionsbereich von den natürlichen bis hin zu den komplexen Zahlen:

Hierbei ist mit .

Unterhaltungsmathematik Bearbeiten

Die einzige subfakultative narzisstische Zahl, also die einzige Zahl, die gleich der Summe ihrer der Subfakultät unterzogenen (dezimalen) Ziffern ist, lautet

In anderen Zahlensystemen ist dies u. a. bei 9 der Fall:

Insbesondere ist 5 die kleinste Basis, zu der eine Zahl mit dieser Eigenschaft existiert.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Mehdi Hassani: Derangements and Applications. In: Journal of Integer Sequences. Vol. 6, Article 03.1.2, 2003 (emis.de).
  2. Joseph S. Madachy: Madachy's Mathematical Recreations. Dover, New York NY 1979, ISBN 0-486-23762-1, S. 167.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Subfakultät – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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Veröffentlichungsdatum:
n displaystyle n Subfakultat n displaystyle n Fakultat n displaystyle n 0 1 11 0 12 1 23 2 64 9 245 44 1206 265 7207 1 854 5 0408 14 833 40 3209 133 496 362 88010 1 334 961 3 628 800Die Subfakultat ist eine vornehmlich in der Kombinatorik auftretende Funktion Sie gibt die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen einer Menge mit n displaystyle n Elementen an und wird durch n displaystyle n notiert Die Subfakultat ist eng mit der Fakultat n displaystyle n verwandt die die Gesamtzahl der Permutationen einer n displaystyle n elementigen Menge angibt Sie ist naherungsweise gleich dem Quotienten aus der Fakultat und der eulerschen Zahl e displaystyle e Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Weitere Darstellungen 3 1 Rundungsdarstellungen 3 2 Rekursive Darstellungen 3 3 Integraldarstellung 4 Unterhaltungsmathematik 5 Einzelnachweise 6 WeblinksDefinition BearbeitenDie Subfakultat einer naturlichen Zahl n 0 displaystyle n geq 0 nbsp wird mit Hilfe der Fakultat durch n n k 0 n 1 k k n 1 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n displaystyle n n sum k 0 n frac 1 k k n cdot left 1 frac 1 1 frac 1 2 frac 1 3 cdots 1 n frac 1 n right nbsp definiert Die Subfakultat n displaystyle n nbsp entspricht der Anzahl der fixpunktfreien Permutationen Derangements einer n displaystyle n nbsp elementigen Menge wahrend die Fakultat n displaystyle n nbsp die Anzahl aller moglichen Permutationen angibt Beispiel BearbeitenAngenommen man hat sechs verschiedenfarbige Kugeln und zu jeder Kugel ein Kastchen in der passenden Farbe Zu bestimmen ist die Anzahl der Moglichkeiten die Kugeln so auf die Kastchen zu verteilen dass jedes Kastchen genau eine andersfarbige Kugel enthalt Dafur gibt es genau 6 6 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 265 displaystyle 6 6 cdot left 1 frac 1 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 frac 1 5 frac 1 6 right 265 nbsp Moglichkeiten Weitere Darstellungen BearbeitenRundungsdarstellungen Bearbeiten Vergleich von Naherungen der Subfakultat n displaystyle n nbsp n e displaystyle frac n e nbsp n e displaystyle left frac n e right nbsp n 1 e displaystyle frac n 1 e nbsp n 1 e displaystyle left lfloor frac n 1 e right rfloor nbsp 1 0 37 0 0 74 02 0 74 1 1 10 13 2 21 2 2 58 24 8 83 9 9 20 95 44 15 44 44 51 446 264 87 265 265 24 2657 1 854 11 1 854 1 854 48 1 8548 14 832 90 14 833 14 833 27 14 8339 133 496 09 133 496 133 496 46 133 496Es gilt n G n 1 1 e displaystyle n frac Gamma n 1 1 e nbsp mit der eulerschen Zahl e displaystyle e nbsp und der unvollstandigen Gammafunktion G displaystyle Gamma nbsp Eine sehr gute Naherung ist n n e displaystyle n approx frac n e nbsp Gerundet erhalt man fur n 1 displaystyle n geq 1 nbsp sogar die exakte Formel n n e displaystyle n left frac n e right nbsp wobei x displaystyle left x right nbsp die x displaystyle x nbsp nachstliegende ganze Zahl bezeichnet Wird in der letzten Formel vor der Division noch die Zahl Eins addiert so erspart man sich die Unterscheidung ob ab oder aufgerundet werden muss Stattdessen schneidet man den Nachkommateil einfach ab siehe Gaussklammer und man erhalt fur n 1 displaystyle n geq 1 nbsp 1 n n 1 e displaystyle n left lfloor frac n 1 e right rfloor nbsp Rekursive Darstellungen Bearbeiten Rekursive Darstellung der Subfakultat n displaystyle n nbsp n 1 displaystyle n 1 nbsp n n 1 displaystyle n cdot n 1 nbsp 1 n displaystyle 1 n nbsp n displaystyle n nbsp 1 1 1 1 02 0 0 1 13 1 3 1 24 2 8 1 95 9 45 1 446 44 264 1 2657 265 1 855 1 1 8548 1 854 14 832 1 14 8339 14 833 133 497 1 133 496Die Subfakultat lasst sich auch uber die beiden Formeln n n n 1 1 n displaystyle n n cdot n 1 1 n nbsp und n n 1 n 1 n 2 displaystyle n n 1 cdot n 1 n 2 nbsp rekursiv berechnen Der Term n 1 n 2 displaystyle n 1 n 2 nbsp entspricht dabei der Anzahl der fixpunktfreien Permutationen einer n displaystyle n nbsp elementigen Menge bei denen ein Element fest vorgegeben ist Folge A000255 in OEIS Integraldarstellung Bearbeiten Die folgende Integraldarstellung verallgemeinert die Subfakultat um ihren Definitionsbereich von den naturlichen bis hin zu den komplexen Zahlen z 0 e t t 1 z d t displaystyle z int 0 infty mathrm e t t 1 z dt nbsp Hierbei ist z C displaystyle z in mathbb C nbsp mit Re z gt 1 displaystyle operatorname Re z gt 1 nbsp Unterhaltungsmathematik BearbeitenDie einzige subfakultative narzisstische Zahl also die einzige Zahl die gleich der Summe ihrer der Subfakultat unterzogenen dezimalen Ziffern ist lautet 2 148349 1 4 8 3 4 9 displaystyle 148349 1 4 8 3 4 9 nbsp In anderen Zahlensystemen ist dies u a bei 9 der Fall 9 1 5 4 1 4 0 9 displaystyle 9 1 cdot 5 4 1 4 0 9 nbsp Insbesondere ist 5 die kleinste Basis zu der eine Zahl mit dieser Eigenschaft existiert Einzelnachweise Bearbeiten Mehdi Hassani Derangements and Applications In Journal of Integer Sequences Vol 6 Article 03 1 2 2003 emis de Joseph S Madachy Madachy s Mathematical Recreations Dover New York NY 1979 ISBN 0 486 23762 1 S 167 Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Subfakultat Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Eric W Weisstein Subfakultat In MathWorld englisch Folge A000166 in OEIS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Subfakultat amp oldid 234135637