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Satz vom Dreizack Der nach den russischen Bezeichnungen лемма о трезубце wörtlich Lemma über den Dreizack 1 2 und теорем

Satz vom Dreizack

Der Satz vom Dreizack (nach den russischen Bezeichnungen лемма о трезубце (wörtlich: Lemma über den Dreizack) und теорема трилистника (wörtlich: Satz vom Trillium)) ist eine Aussage aus der Elementargeometrie, die eine Eigenschaft von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks beschreibt.

Satz vom Dreizack:
Alle roten Strecken sind gleich lang, vor allem:
(Dreizack).

In einem Dreieck sei der Mittelpunkt seines Inkreises und der Schnittpunkt von (Winkelhalbierende in ) mit seinem Umkreis, dann besagt der Satz vom Dreizack:

  • Die Strecken , und sind gleich lang, das heißt .
  • liegen auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt ist. Insbesondere liegt damit der Mittelpunkt des Kreises durch und auf dem Umkreis des Dreiecks .

Betrachtet man zusätzlich den Mittelpunkt .des Ankreises der Seite , so liegt dieser auf demselben Kreis wie sowie auf der Geraden , so dass Strecke der Durchmesser dieses Kreises ist. Die Länge des Durchmessers beträgt dabei:

Hierbei steht für den Radius des Umkreises des Dreiecks .

Der Mittelpunkt des gemeinsamen Kreises von entspricht zudem dem Südpol im Südpolsatz.

Literatur Bearbeiten

  • Evan Chen: Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. AMS, 2021, ISBN 978-1-4704-6620-6, S. 9–10 (Auszug Google)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Р. Н. Карасёв, В. Л. Дольников, И. И. Богданов, А. В. Акопян: Задачи для школьного математического кружка. Problem 1.2, S. 4 (rkarasev.ru [PDF]).
  2. 6. Лемма о трезубце. (PDF) СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова – школа им. А.Н. Колмогорова, 29. Oktober 2014;.
  3. И. А. Кушнир: Это открытие – золотой ключ Леонарда Эйлера. (PDF; 186 kB) Ф7 (Теорема трилистника), S. 34; Beweis auf S. 36
  4. Alexey A. Zaslavsky, Mikhail B. Skopenkov: Mathematics via Problems: Part 2: Geometry. AMS, 2021, ISBN 978-1-4704-4879-0. S. 15
  5. Evan Chen: Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. AMS, 2021, ISBN 978-1-4704-6620-6, S. 9–10 (Auszug Google)
  6. Eric W. Weisstein: Incenter-Excenter Circle. In: MathWorld (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz vom Dreizack nach den russischen Bezeichnungen lemma o trezubce wortlich Lemma uber den Dreizack 1 2 und teorema trilistnika wortlich Satz vom Trillium 3 ist eine Aussage aus der Elementargeometrie die eine Eigenschaft von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks beschreibt Satz vom Dreizack Alle roten Strecken sind gleich lang vor allem D A D I D C displaystyle DA DI DC Dreizack In einem Dreieck A B C displaystyle ABC sei I displaystyle I der Mittelpunkt seines Inkreises und D displaystyle D der Schnittpunkt von B I displaystyle BI Winkelhalbierende in B displaystyle B mit seinem Umkreis dann besagt der Satz vom Dreizack 4 Die Strecken D A displaystyle DA D I displaystyle DI und D C displaystyle DC sind gleich lang das heisst D A D I D C displaystyle DA DI DC A I C displaystyle A I C liegen auf einem Kreis dessen Mittelpunkt D displaystyle D ist Insbesondere liegt damit der Mittelpunkt des Kreises durch A I displaystyle A I und C displaystyle C auf dem Umkreis des Dreiecks A B C displaystyle ABC Betrachtet man zusatzlich den Mittelpunkt E displaystyle E des Ankreises der Seite A C displaystyle AC so liegt dieser auf demselben Kreis wie A I C displaystyle A I C sowie auf der Geraden B I displaystyle BI so dass Strecke E I displaystyle EI der Durchmesser dieses Kreises ist 5 Die Lange des Durchmessers betragt dabei E I 4 R sin 1 2 B A C cos 1 2 B displaystyle EI 4R sin left frac 1 2 angle B right frac AC cos left frac 1 2 angle B right 6 Hierbei steht R displaystyle R fur den Radius des Umkreises des Dreiecks A B C displaystyle ABC Der Mittelpunkt D displaystyle D des gemeinsamen Kreises von A I C E displaystyle A I C E entspricht zudem dem Sudpol im Sudpolsatz Literatur BearbeitenEvan Chen Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads AMS 2021 ISBN 978 1 4704 6620 6 S 9 10 Auszug Google Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Incenter Excenter Circle In MathWorld englisch A Property of Circle Through the Incenter auf cut the knot org Midpoints of the Lines Joining In and Excenters auf cut the knot orgEinzelnachweise Bearbeiten R N Karasyov V L Dolnikov I I Bogdanov A V Akopyan Zadachi dlya shkolnogo matematicheskogo kruzhka Problem 1 2 S 4 rkarasev ru PDF 6 Lemma o trezubce PDF SUNC MGU im M V Lomonosova shkola im A N Kolmogorova 29 Oktober 2014 abgerufen im 1 Januar 1 I A Kushnir Eto otkrytie zolotoj klyuch Leonarda Ejlera PDF 186 kB F7 Teorema trilistnika S 34 Beweis auf S 36 Alexey A Zaslavsky Mikhail B Skopenkov Mathematics via Problems Part 2 Geometry AMS 2021 ISBN 978 1 4704 4879 0 S 15 Evan Chen Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads AMS 2021 ISBN 978 1 4704 6620 6 S 9 10 Auszug Google Eric W Weisstein Incenter Excenter Circle In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz vom Dreizack amp oldid 235622101