Satz von Euler Geometrie In der Geometrie bezeichnet der Satz von Euler benannt nach dem im 18 Jahrhundert lebenden Leon

Satz von Euler (Geometrie)

In der Geometrie bezeichnet der Satz von Euler, benannt nach dem im 18. Jahrhundert lebenden Leonhard Euler, eine Formel für die Entfernung der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks.

Satz von Euler:

Diese Beziehung wird auch oft mit Hilfe von Brüchen in der folgenden äquivalenten Gleichung dargestellt:

Dabei bezeichnet den Umkreisradius und den Inkreisradius. Aus dem Satz folgt unmittelbar die eulersche Ungleichung:

Beweis Bearbeiten

Skizze zum Beweis

Es seien der Umkreismittelpunkt und der Inkreismittelpunkt des Dreiecks . Die Gerade schneidet als Winkelhalbierende nach dem Südpolsatz den Umkreis in einem Punkt , der auch auf der zugehörigen Mittelsenkrechten liegt. Der zweite Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten () mit dem Umkreis sei . Bezeichnet man den Fußpunkt des von aus gefällten Lotes zu mit , dann gilt .

Wegen Übereinstimmung in zwei Winkeln ( (Umfangswinkelsatz) und (Lot und Satz des Thales)) sind die Dreiecke und zueinander ähnlich. Daher gilt und weiter . Damit ist gezeigt:

Verbindet man mit , so kann man den Außenwinkelsatz verwenden, nach dem ein Außenwinkel () eines Dreiecks () so groß ist wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel:

Außerdem folgt mithilfe des Umfangswinkelsatzes

woraus sich ergibt. Dreieck ist also gleichschenklig; es gilt . Aus dem schon Bewiesenen erhält man

Nun seien und die Schnittpunkte der Geraden mit dem Umkreis. Anwendung des Sehnensatzes ergibt

Die Streckenlängen auf der linken Seite lassen sich durch den Umkreisradius und die Entfernung ausdrücken:

Durch eine kurze Umformung erhält man die Behauptung:

Geschichte Bearbeiten

Der Satz ist nach Euler benannt, der ihn 1765 publizierte. Der englische Landvermesser William Chapple hatte allerdings dasselbe Resultat bereits 1746 in einer englischen Zeitschrift veröffentlicht.

Die eulersche Ungleichung in der absoluten Geometrie Bearbeiten

Die eulersche Ungleichung in der Form, die behauptet, dass das Maximum der Inkreisradien aller Dreiecke, die in einem gegebenen Kreis eingeschrieben sind, nur beim gleichseitigen Dreieck erreicht wird, ist gültig in der absoluten Geometrie.

Siehe auch Bearbeiten

Egan-Vermutung, Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen

Literatur Bearbeiten

Günter Aumann: Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3, S. 137–140 (Auszug (Google))
Gerry Leversha, G. C. Smith: Euler and Triangle Geometry. In: The Mathematical Gazette, Vol. 91, No. 522, Nov., 2007, S. 436–452 (JSTOR:40378417)
Roger B. Nelsen: Euler’s Triangle Inequality via Proofs without Words. In: Mathematics Magazine, Vol. 81, No. 1, Feb., 2008, S. 58–61 (JSTOR:27643082)
Victor Pambuccian, Celia Schacht: Euler's inequality in absolute geometry. In: Journal of Geometry, Vol. 109, Art. 8, 2018, S. 1–11

Weblink Bearbeiten

Eric W. Weisstein: Euler Triangle Formula. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise Bearbeiten

Victor Pambuccian, Celia Schacht: Euler's inequality in absolute geometry. In: Journal of Geometry Bd. 109, 2018, Art. 8, S. 1–11.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 05:46 am

In der Geometrie bezeichnet der Satz von Euler benannt nach dem im 18 Jahrhundert lebenden Leonhard Euler eine Formel fur die Entfernung d displaystyle d der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks Satz von Euler d U I R R 2 r displaystyle d UI sqrt R R 2r d 2 R R 2 r displaystyle d 2 R R 2r Diese Beziehung wird auch oft mit Hilfe von Bruchen in der folgenden aquivalenten Gleichung dargestellt 1 R d 1 R d 1 r displaystyle frac 1 R d frac 1 R d frac 1 r Dabei bezeichnet R displaystyle R den Umkreisradius und r displaystyle r den Inkreisradius Aus dem Satz folgt unmittelbar die eulersche Ungleichung R 2 r displaystyle R geq 2r Inhaltsverzeichnis 1 Beweis 2 Verwandte Aussagen 3 Geschichte 4 Die eulersche Ungleichung in der absoluten Geometrie 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblink 8 EinzelnachweiseBeweis Bearbeiten nbsp Skizze zum BeweisEs seien U displaystyle U nbsp der Umkreismittelpunkt und I displaystyle I nbsp der Inkreismittelpunkt des Dreiecks A B C displaystyle ABC nbsp Die Gerade A I displaystyle AI nbsp schneidet als Winkelhalbierende nach dem Sudpolsatz den Umkreis in einem Punkt L displaystyle L nbsp der auch auf der zugehorigen Mittelsenkrechten liegt Der zweite Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten U L displaystyle UL nbsp mit dem Umkreis sei M displaystyle M nbsp Bezeichnet man den Fusspunkt des von I displaystyle I nbsp aus gefallten Lotes zu A B displaystyle AB nbsp mit D displaystyle D nbsp dann gilt I D r displaystyle overline ID r nbsp Wegen Ubereinstimmung in zwei Winkeln D A I B M L displaystyle angle DAI angle BML nbsp Umfangswinkelsatz und A D I M B L 90 displaystyle angle ADI angle MBL 90 circ nbsp Lot und Satz des Thales sind die Dreiecke A D I displaystyle ADI nbsp und M B L displaystyle MBL nbsp zueinander ahnlich Daher gilt I D L B A I M L displaystyle overline ID overline LB overline AI overline ML nbsp und weiter M L I D A I L B displaystyle overline ML cdot overline ID overline AI cdot overline LB nbsp Damit ist gezeigt 2 R r A I L B displaystyle 2Rr overline AI cdot overline LB nbsp Verbindet man B displaystyle B nbsp mit I displaystyle I nbsp so kann man den Aussenwinkelsatz verwenden nach dem ein Aussenwinkel B I L displaystyle angle BIL nbsp eines Dreiecks A B I displaystyle ABI nbsp so gross ist wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel B I L a 2 b 2 displaystyle angle BIL frac alpha 2 frac beta 2 nbsp Ausserdem folgt mithilfe des Umfangswinkelsatzes L B I b 2 L B C b 2 L A C b 2 a 2 displaystyle angle LBI frac beta 2 angle LBC frac beta 2 angle LAC frac beta 2 frac alpha 2 nbsp woraus sich B I L L B I displaystyle angle BIL angle LBI nbsp ergibt Dreieck I B L displaystyle IBL nbsp ist also gleichschenklig es gilt L I L B displaystyle overline LI overline LB nbsp Aus dem schon Bewiesenen erhalt man A I L I 2 R r displaystyle overline AI cdot overline LI 2Rr nbsp Nun seien P displaystyle P nbsp und Q displaystyle Q nbsp die Schnittpunkte der Geraden U I displaystyle UI nbsp mit dem Umkreis Anwendung des Sehnensatzes ergibt P I Q I A I L I 2 R r displaystyle overline PI cdot overline QI overline AI cdot overline LI 2Rr nbsp Die Streckenlangen auf der linken Seite lassen sich durch den Umkreisradius R displaystyle R nbsp und die Entfernung d U I displaystyle d overline UI nbsp ausdrucken R d R d 2 R r displaystyle R d cdot R d 2Rr nbsp Durch eine kurze Umformung erhalt man die Behauptung R 2 d 2 2 R r displaystyle R 2 d 2 2Rr nbsp d 2 R 2 2 R r R R 2 r displaystyle d 2 R 2 2Rr R R 2r nbsp Verwandte Aussagen BearbeitenIst r a displaystyle r a nbsp der Radius des zur Seite a displaystyle a nbsp gehorigen Ankreises so gilt fur die Entfernung d a displaystyle d a nbsp zwischen dem Mittelpunkt dieses Ankreises und dem Umkreismittelpunkt d a 2 R R 2 r a displaystyle d a 2 R R 2r a nbsp Entsprechendes gilt fur die beiden anderen Ankreise Der Satz von Fuss liefert eine zum Satz von Euler analoge Aussage fur Sehnentangentenvierecke Geschichte BearbeitenDer Satz ist nach Euler benannt der ihn 1765 publizierte Der englische Landvermesser William Chapple hatte allerdings dasselbe Resultat bereits 1746 in einer englischen Zeitschrift veroffentlicht Die eulersche Ungleichung in der absoluten Geometrie BearbeitenDie eulersche Ungleichung in der Form die behauptet dass das Maximum der Inkreisradien aller Dreiecke die in einem gegebenen Kreis eingeschrieben sind nur beim gleichseitigen Dreieck erreicht wird ist gultig in der absoluten Geometrie 1 Siehe auch BearbeitenEgan Vermutung Verallgemeinerung auf hohere DimensionenLiteratur BearbeitenGunter Aumann Kreisgeometrie Eine elementare Einfuhrung Springer 2015 ISBN 978 3 662 45306 3 S 137 140 Auszug Google Gerry Leversha G C Smith Euler and Triangle Geometry In The Mathematical Gazette Vol 91 No 522 Nov 2007 S 436 452 JSTOR 40378417 Roger B Nelsen Euler s Triangle Inequality via Proofs without Words In Mathematics Magazine Vol 81 No 1 Feb 2008 S 58 61 JSTOR 27643082 Victor Pambuccian Celia Schacht Euler s inequality in absolute geometry In Journal of Geometry Vol 109 Art 8 2018 S 1 11Weblink BearbeitenEric W Weisstein Euler Triangle Formula In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Victor Pambuccian Celia Schacht Euler s inequality in absolute geometry In Journal of Geometry Bd 109 2018 Art 8 S 1 11 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Euler Geometrie amp oldid 239375108