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Satz von Fuss Der benannt nach Nikolaus Fuss 1755 1826 liefert eine Formel für den Abstand zwischen dem Mittelpunkt des

Satz von Fuss

Der Satz von Fuss, benannt nach Nikolaus Fuss (1755–1826), liefert eine Formel für den Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Inkreises und dem Mittelpunkt des Umkreises eines Sehnentangentenvierecks.

Satz von Fuss

Hierbei bezeichnet den Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten, den Radius des Umkreises und den Radius des Inkreises. Der Satz wird jedoch meist nicht als explizite Abstandsformel dargestellt, sondern als Bruchgleichung, die die drei Größen zueinander in Beziehung setzt.

Eine weitere alternative Darstellung als Gleichung ohne Brüche ist:

Fuss, der Sekretär von Euler in Sankt Petersburg war, übertrug mit dem nach ihm benannten Satz einen entsprechenden Satz von Euler über den Abstand der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis bei Dreiecken auf Sehnentangentenvierecke. Mit der Carlitz-Identität existiert eine weitere Formel für den Abstand der Mittelpunkte, die allerdings nicht nur die beiden Radien, sondern auch die Seitenlängen des Sehnentangentenvierecks benötigt.

Wenn man in der letzten der drei obigen Darstellungsformen berücksichtigt, dass gilt, so erhält man und damit eine Ungleichung für die beiden Radien, die man als Analogon zur eulerschen Ungleichung im Dreieck auffassen kann.

Es gilt auch die Umkehrung, das heißt, erfüllen zwei Kreise die obigen Gleichungen, so existiert ein Sehnentangentenviereck, das die Kreise als Umkreis und Inkreis besitzt. Aufgrund des Schließungssatzes von Poncelet existieren dann sogar immer unendlich viele Sehnentangentenvierecke mit dieser Eigenschaft.

Literatur Bearbeiten

  • W. E. Byerly: The In- and-Circumscribed Quadrilateral. Annals of Mathematics, Second Series, Band 10, Nr. 3 (Apr., 1909), S. 123–128 (JSTOR:1967103)
  • Juan Carlos Salazar: 90.46 Fuss' Theorem. The Mathematical Gazette, Band 90, Nr. 518 (Juli, 2006), S. 306–307 (JSTOR:1967103)
  • Heinrich Dörrie: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover Publications, New York 1965, ISBN 0-486-61348-8, S. 188–193
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 9783662454619, S. 123 (Auszug aus der englischen Ausgabe (Google))
  • Albrecht Hess: Bicentric Quadrilaterals through Inversion. Forum Geometricorum, Band 13 (2013), ISSN 1534-1178, S. 11–15

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Fuss benannt nach Nikolaus Fuss 1755 1826 liefert eine Formel fur den Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Inkreises und dem Mittelpunkt des Umkreises eines Sehnentangentenvierecks Satz von Fuss x R 2 r 2 r 4 R 2 r 2 displaystyle x sqrt R 2 r 2 r sqrt 4R 2 r 2 Hierbei bezeichnet x displaystyle x den Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten R displaystyle R den Radius des Umkreises und r displaystyle r den Radius des Inkreises Der Satz wird jedoch meist nicht als explizite Abstandsformel dargestellt sondern als Bruchgleichung die die drei Grossen zueinander in Beziehung setzt 1 R x 2 1 R x 2 1 r 2 displaystyle frac 1 R x 2 frac 1 R x 2 frac 1 r 2 Eine weitere alternative Darstellung als Gleichung ohne Bruche ist 2 r 2 R 2 x 2 R 2 x 2 2 displaystyle displaystyle 2r 2 R 2 x 2 R 2 x 2 2 Fuss der Sekretar von Euler in Sankt Petersburg war ubertrug mit dem nach ihm benannten Satz einen entsprechenden Satz von Euler uber den Abstand der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis bei Dreiecken auf Sehnentangentenvierecke Mit der Carlitz Identitat existiert eine weitere Formel fur den Abstand der Mittelpunkte die allerdings nicht nur die beiden Radien sondern auch die Seitenlangen des Sehnentangentenvierecks benotigt Wenn man in der letzten der drei obigen Darstellungsformen berucksichtigt dass x 2 gt 0 displaystyle x 2 gt 0 gilt so erhalt man 2 r 2 R 2 lt R 2 2 displaystyle 2r 2 R 2 lt R 2 2 und damit 2 r lt R displaystyle sqrt 2 r lt R eine Ungleichung fur die beiden Radien die man als Analogon zur eulerschen Ungleichung im Dreieck auffassen kann Es gilt auch die Umkehrung das heisst erfullen zwei Kreise die obigen Gleichungen so existiert ein Sehnentangentenviereck das die Kreise als Umkreis und Inkreis besitzt Aufgrund des Schliessungssatzes von Poncelet existieren dann sogar immer unendlich viele Sehnentangentenvierecke mit dieser Eigenschaft Literatur BearbeitenW E Byerly The In and Circumscribed Quadrilateral Annals of Mathematics Second Series Band 10 Nr 3 Apr 1909 S 123 128 JSTOR 1967103 Juan Carlos Salazar 90 46 Fuss Theorem The Mathematical Gazette Band 90 Nr 518 Juli 2006 S 306 307 JSTOR 1967103 Heinrich Dorrie 100 Great Problems of Elementary Mathematics Dover Publications New York 1965 ISBN 0 486 61348 8 S 188 193 Claudi Alsina Roger B Nelsen Perlen der Mathematik 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte fur mathematische Erkundungsreisen Springer 2015 ISBN 9783662454619 S 123 Auszug aus der englischen Ausgabe Google Albrecht Hess Bicentric Quadrilaterals through Inversion Forum Geometricorum Band 13 2013 ISSN 1534 1178 S 11 15Weblinks BearbeitenFuss theorem auf cut the knot org Paul Yiu Euclidean Geometry Notes Skript Florida Atlantic University S 159 162 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Fuss amp oldid 240557699