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Trilineare Koordinaten genauer homogene trilineare Koordinaten sind in der Dreiecksgeometrie ein von Julius Plücker eing

Trilineare Koordinaten

Trilineare Koordinaten (genauer: homogene trilineare Koordinaten) sind in der Dreiecksgeometrie ein von Julius Plücker eingeführtes Hilfsmittel, um die Lage eines Punktes bezüglich eines Dreiecks zu beschreiben.

Definition und Schreibweise Bearbeiten

Gegeben sei ein Dreieck ABC. Für einen beliebigen Punkt P der Zeichenebene heißen drei reelle Zahlen , und (homogene) trilineare Koordinaten von P, wenn es eine von 0 verschiedene reelle Zahl gibt, sodass

gilt. Dabei bezeichnen , und die vorzeichenbehafteten Abstände des Punktes P von den Geraden BC, CA bzw. AB. Die Größe erhält positives Vorzeichen, wenn P auf derselben Seite von BC liegt wie die Ecke A, und negatives Vorzeichen, wenn sich P und A auf verschiedenen Seiten von BC befinden. Entsprechend werden die beiden anderen Vorzeichen festgelegt.

Die Gesamtheit der trilinearen Koordinaten eines Punktes wird entweder als geordnetes Tripel geschrieben oder in der Form .

Trilineare Koordinaten sind nicht eindeutig definiert: Multiplikation mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 liefert wieder trilineare Koordinaten des gegebenen Punktes.

Beispiele Bearbeiten

  • Die Ecken A, B und C des gegebenen Dreiecks haben die trilinearen Koordinaten , bzw. .
  • Der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks hat die trilinearen Koordinaten , da er von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand hat.
  • Für den Schwerpunkt eines Dreiecks lauten die trilinearen Koordinaten gleichwertig oder oder . Dabei stehen , , für die Seitenlängen, , , für die Größen der Innenwinkel und für den Cosecans.

Zusammenhang mit den baryzentrischen Koordinaten Bearbeiten

Zwischen den trilinearen Koordinaten und den in der Dreiecksgeometrie ebenfalls häufig verwendeten baryzentrischen Koordinaten besteht ein einfacher Zusammenhang: Sind die trilinearen Koordinaten durch gegeben, so erhält man als baryzentrische Koordinaten , wobei , und für die Seitenlängen stehen.

Formeln Bearbeiten

Trilineare Koordinaten ermöglichen in vielen Fällen die Anwendung algebraischer Methoden in der Dreiecksgeometrie. Beispielsweise sind drei Punkte , und mit den trilinearen Koordinaten

genau dann kollinear, wenn die Determinante

gleich 0 ist. Die zu diesem Satz duale Aussage ist ebenfalls richtig: Drei Geraden, die durch die Gleichungen

gegeben sind, haben genau dann einen gemeinsamen Punkt, wenn gilt.

Literatur Bearbeiten

  • William Allen Whitworth: Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. Cambridge, 1866 (Online-Kopie im Internetarchiv)
  • Oene Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008, ISBN 9780387781310, S. 25-28

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Trilineare Koordinaten genauer homogene trilineare Koordinaten sind in der Dreiecksgeometrie ein von Julius Plucker eingefuhrtes Hilfsmittel um die Lage eines Punktes bezuglich eines Dreiecks zu beschreiben Inhaltsverzeichnis 1 Definition und Schreibweise 2 Beispiele 3 Zusammenhang mit den baryzentrischen Koordinaten 4 Formeln 5 Literatur 6 WeblinksDefinition und Schreibweise BearbeitenGegeben sei ein Dreieck ABC Fur einen beliebigen Punkt P der Zeichenebene heissen drei reelle Zahlen x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp und z displaystyle z nbsp homogene trilineare Koordinaten von P wenn es eine von 0 verschiedene reelle Zahl r displaystyle r nbsp gibt sodass x r d B C y r d C A z r d A B displaystyle x rd BC quad y rd CA quad z rd AB nbsp gilt Dabei bezeichnen d B C displaystyle d BC nbsp d C A displaystyle d CA nbsp und d A B displaystyle d AB nbsp die vorzeichenbehafteten Abstande des Punktes P von den Geraden BC CA bzw AB Die Grosse d B C displaystyle d BC nbsp erhalt positives Vorzeichen wenn P auf derselben Seite von BC liegt wie die Ecke A und negatives Vorzeichen wenn sich P und A auf verschiedenen Seiten von BC befinden Entsprechend werden die beiden anderen Vorzeichen festgelegt Die Gesamtheit der trilinearen Koordinaten eines Punktes wird entweder als geordnetes Tripel x y z displaystyle x y z nbsp geschrieben oder in der Form x y z displaystyle x y z nbsp nbsp Trilineare Koordinaten sind nicht eindeutig definiert Multiplikation mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 liefert wieder trilineare Koordinaten des gegebenen Punktes Beispiele BearbeitenDie Ecken A B und C des gegebenen Dreiecks haben die trilinearen Koordinaten 1 0 0 displaystyle 1 0 0 nbsp 0 1 0 displaystyle 0 1 0 nbsp bzw 0 0 1 displaystyle 0 0 1 nbsp Der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks hat die trilinearen Koordinaten 1 1 1 displaystyle 1 1 1 nbsp da er von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand hat Fur den Schwerpunkt eines Dreiecks lauten die trilinearen Koordinaten gleichwertig 1 a 1 b 1 c displaystyle left frac 1 a frac 1 b frac 1 c right nbsp oder b c c a a b displaystyle left bc ca ab right nbsp oder csc a csc b csc g displaystyle left csc alpha csc beta csc gamma right nbsp Dabei stehen a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp fur die Seitenlangen a displaystyle alpha nbsp b displaystyle beta nbsp g displaystyle gamma nbsp fur die Grossen der Innenwinkel und csc displaystyle csc nbsp fur den Cosecans Zusammenhang mit den baryzentrischen Koordinaten BearbeitenZwischen den trilinearen Koordinaten und den in der Dreiecksgeometrie ebenfalls haufig verwendeten baryzentrischen Koordinaten besteht ein einfacher Zusammenhang Sind die trilinearen Koordinaten durch x y z displaystyle left x y z right nbsp gegeben so erhalt man als baryzentrische Koordinaten a x b y c z displaystyle left ax by cz right nbsp wobei a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp fur die Seitenlangen stehen Formeln BearbeitenTrilineare Koordinaten ermoglichen in vielen Fallen die Anwendung algebraischer Methoden in der Dreiecksgeometrie Beispielsweise sind drei Punkte P 1 displaystyle P 1 nbsp P 2 displaystyle P 2 nbsp und P 3 displaystyle P 3 nbsp mit den trilinearen Koordinaten x 1 y 1 z 1 displaystyle x 1 y 1 z 1 nbsp x 2 y 2 z 2 displaystyle x 2 y 2 z 2 nbsp x 3 y 3 z 3 displaystyle x 3 y 3 z 3 nbsp genau dann kollinear wenn die Determinante D x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 displaystyle D left begin matrix x 1 amp y 1 amp z 1 x 2 amp y 2 amp z 2 x 3 amp y 3 amp z 3 end matrix right nbsp gleich 0 ist Die zu diesem Satz duale Aussage ist ebenfalls richtig Drei Geraden die durch die Gleichungen x 1 a y 1 b z 1 g 0 displaystyle x 1 alpha y 1 beta z 1 gamma 0 nbsp x 2 a y 2 b z 2 g 0 displaystyle x 2 alpha y 2 beta z 2 gamma 0 nbsp x 3 a y 3 b z 3 g 0 displaystyle x 3 alpha y 3 beta z 3 gamma 0 nbsp gegeben sind haben genau dann einen gemeinsamen Punkt wenn D 0 displaystyle D 0 nbsp gilt Literatur BearbeitenWilliam Allen Whitworth Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions Cambridge 1866 Online Kopie im Internetarchiv Oene Bottema Topics in Elementary Geometry Springer 2008 ISBN 9780387781310 S 25 28Weblinks BearbeitenEric W Weisstein TrilinearCoordinates In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Trilineare Koordinaten amp oldid 238098741