In der Mathematik versteht man unter dem Kern einer Menge eine Teilmenge die klein genug ist um bestimmte Anforderungen zu erfullen und zugleich die grosste Menge ist die diese Anforderungen erfullt Das wichtigste Beispiel ist der offene Kern bzw das Innere einer Teilmenge eines topologischen Raums Kernoperator bezeichnet die Vorschrift durch die jeder Menge von Objekten ihr Kern zugeordnet wird Die durch einen Kernoperator gegebene Kerne bilden ein Kernsystem also ein Mengensystem mit bestimmten Eigenschaften Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Kernoperatoren 1 2 Kernsysteme 2 Zusammenhang zwischen Kernsystemen und Kernoperatoren 3 Beispiel 4 Siehe auch 5 LiteraturDefinitionen BearbeitenKernoperatoren Bearbeiten Uber einer gegebenen Grundmenge X displaystyle X nbsp ist ein Kernoperator eine intensive monotone idempotente Abbildung K P X P X displaystyle K colon mathcal P X to mathcal P X nbsp auf der Potenzmenge von X displaystyle X nbsp die jeder Teilmenge A X displaystyle A subseteq X nbsp eine weitere Teilmenge von X displaystyle X nbsp namlich den Kern K A X displaystyle K A subseteq X nbsp zuordnet wobei folgende Bedingungen erfullt sind Intensivitat K A A displaystyle K A subseteq A nbsp das heisst Der Kern von A displaystyle A nbsp ist in der Menge A displaystyle A nbsp selbst enthalten Monotonie bzw Isotonie A B K A K B displaystyle A subseteq B Rightarrow K A subseteq K B nbsp das heisst Wenn A displaystyle A nbsp Teilmenge von B displaystyle B nbsp ist so gilt das entsprechend auch fur ihre Kerne Idempotenz K K A K A displaystyle K K A K A nbsp das heisst Bildet man vom Kern einer Menge nochmals den Kern so bleibt dieser unverandert Aufgrund der beiden anderen Anforderungen genugt es auch an Stelle der Idempotenz nur K A K K A displaystyle K A subseteq K K A nbsp zu fordern das heisst Bildet man vom Kern einer Menge nochmals den Kern so wird nichts mehr weggenommen Aquivalent zu den drei genannten Einzelforderungen ist folgende K P X P X displaystyle K colon mathcal P X to mathcal P X nbsp heisst Kernoperator wenn fur alle A B X displaystyle A B subseteq X nbsp gilt K A K B K A B displaystyle K A subseteq K B Longleftrightarrow K A subseteq B nbsp Kernsysteme Bearbeiten Ein Kernsystem ist ein unter beliebiger Vereinigungsmengenbildung abgeschlossenes Mengensystem d h ein Kernsystem uber einer Menge X displaystyle X nbsp ist eine aus Teilmengen der Grundmenge X displaystyle X nbsp bestehende Menge S displaystyle mathcal S nbsp mit folgenden Eigenschaften S displaystyle mathcal S nbsp enthalt die leere Menge S displaystyle emptyset in mathcal S nbsp Fur jede nichtleere Teilmenge T displaystyle mathcal T nbsp von S displaystyle mathcal S nbsp ist die Vereinigung der Elemente von T displaystyle mathcal T nbsp ein Element aus S displaystyle mathcal S nbsp oder kurz T S T T S displaystyle forall mathcal T subseteq mathcal S mathcal T neq emptyset colon bigcup mathcal T in mathcal S nbsp Wegen displaystyle bigcup emptyset emptyset nbsp lassen sich die beiden genannten Bedingungen zu einer einzigen aquivalenten Bedingung vereinfachen Fur jede Teilmenge T displaystyle mathcal T nbsp von S displaystyle mathcal S nbsp ist die Vereinigung der Elemente von T displaystyle mathcal T nbsp ein Element aus S displaystyle mathcal S nbsp oder kurz T S T S displaystyle forall mathcal T subseteq mathcal S colon bigcup mathcal T in mathcal S nbsp Zusammenhang zwischen Kernsystemen und Kernoperatoren BearbeitenKernsysteme und Kernoperatoren entsprechen einander Ist S displaystyle mathcal S nbsp ein Kernsystem uber X displaystyle X nbsp dann kann man einen Kernoperator K S displaystyle K mathcal S nbsp auf X displaystyle X nbsp wie folgt definieren K S A Y S Y A displaystyle K mathcal S A bigcup Y in mathcal S mid Y subseteq A nbsp fur alle A X displaystyle A subseteq X nbsp dd Umgekehrt kann aus jedem Kernoperator K displaystyle K nbsp auf X displaystyle X nbsp ein Kernsystem S K displaystyle mathcal S K nbsp uber X displaystyle X nbsp gewonnen werden S K K A A X displaystyle mathcal S K K A mid A subseteq X nbsp dd Beispiel BearbeitenDie offenen Mengen eines topologischen Raumes bilden ein Kernsystem namlich die Topologie des Raumes Der zugehorige Kernoperator ist die Bildung des Inneren einer Teilmenge Siehe auch BearbeitenHullenoperatorLiteratur BearbeitenMarcel Erne Einfuhrung in die Ordnungstheorie Bibliographisches Institut Mannheim 1982 ISBN 3 411 01638 8 Heinrich Werner Einfuhrung in die allgemeine Algebra Bibliographisches Institut Mannheim 1978 ISBN 3 411 00120 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kernoperator amp oldid 231431460 Kernsysteme
