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Dynkin System Ein manchmal auch λ System genannt ist ein Begriff aus der Maßtheorie einem Teilgebiet der Mathematik Es i

Dynkin-System

Ein Dynkin-System (manchmal auch λ-System genannt) ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin. Sie sind in Kombination mit dem Dynkinschen π-λ-Satz ein wichtiges Hilfsmittel zur Herleitung von Eindeutigkeitsaussagen in der Maßtheorie und Stochastik (siehe Maßeindeutigkeitssatz).

Definition Bearbeiten

Eine Teilmenge der Potenzmenge einer nichtleeren Grundmenge heißt Dynkin-System über , falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:

  • Das System enthält die Grundmenge:
  • Das System ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen:

δ-Operator Bearbeiten

Beliebige Durchschnitte von Dynkin-Systemen über ergeben wieder ein Dynkin-System. Ist daher ein Mengensystem, dann wird durch

ein Dynkin-System definiert, genannt das von erzeugte Dynkin-System. Es ist das kleinste Dynkin-System, welches enthält. heißt Erzeuger von .

Der δ-Operator ist ein Hüllenoperator. Teilweise wird er entsprechend der Namensgebung als -System auch als -Operator notiert. Weitere alternative Bezeichnungen sind oder .

Das Dynkin-System-Argument Bearbeiten

Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei eine Aussage, die für Mengen entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger , für dessen Elemente man zeigen kann. Nach dem Prinzip der guten Mengen betrachtet man nun das Mengensystem und zeigt, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von einerseits , andererseits gilt aber auch und damit wegen schon .

Die definierenden Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind oft einfacher nachzuweisen, weil bei der Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung nur Folgen von paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden müssen, während bei σ-Algebren diese Zusatzeigenschaft nicht zur Verfügung steht.

Zusammenhang mit weiteren Mengensystemen Bearbeiten

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme

σ-Algebren Bearbeiten

Jede σ-Algebra ist immer auch ein Dynkin-System. Umgekehrt ist jedes durchschnittsstabile Dynkinsystem auch eine σ-Algebra. Ein Beispiel für ein Dynkin-System, das keine σ-Algebra ist, ist

auf der Grundmenge . Das Mengensystem ist ein Dynkin-System, aber keine Algebra (da nicht schnittstabil) und damit auch keine σ-Algebra.

Es gilt außerdem der dynkinsche π-λ-Satz: Ist ein durchschnittsstabiles Mengensystem, so stimmen die von erzeugte σ-Algebra und das von erzeugte Dynkin-System überein.

Monotone Klassen Bearbeiten

Dynkin-Systeme lassen sich auch über monotone Klassen definieren: Ein Mengensystem ist genau dann ein Dynkin-System, wenn eine monotone Klasse ist, welche die Obermenge enthält und in der für beliebige Mengen mit auch gilt.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 4, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
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Ein Dynkin System manchmal auch l System genannt ist ein Begriff aus der Masstheorie einem Teilgebiet der Mathematik Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin Sie sind in Kombination mit dem Dynkinschen p l Satz ein wichtiges Hilfsmittel zur Herleitung von Eindeutigkeitsaussagen in der Masstheorie und Stochastik siehe Masseindeutigkeitssatz Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 d Operator 3 Das Dynkin System Argument 4 Zusammenhang mit weiteren Mengensystemen 4 1 s Algebren 4 2 Monotone Klassen 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Teilmenge D displaystyle mathcal D nbsp der Potenzmenge P W displaystyle mathcal P Omega nbsp einer nichtleeren Grundmenge W displaystyle Omega nbsp heisst Dynkin System uber W displaystyle Omega nbsp falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt Das System enthalt die Grundmenge W D displaystyle Omega in mathcal D nbsp dd Das System ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen A D A c D displaystyle A in mathcal D implies A c in mathcal D nbsp dd Das System ist abgeschlossen bezuglich abzahlbarer Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen A n n N D displaystyle A n n in mathbb N subset mathcal D nbsp disjunkt n N A n D displaystyle implies bigcup n in mathbb N A n in mathcal D nbsp dd d Operator BearbeitenBeliebige Durchschnitte von Dynkin Systemen uber W displaystyle Omega nbsp ergeben wieder ein Dynkin System Ist daher E P W displaystyle mathcal E subseteq mathcal P Omega nbsp ein Mengensystem dann wird durch d E E S S Dynkin System S displaystyle delta mathcal E bigcap mathcal E subseteq mathcal S atop mathcal S text Dynkin System mathcal S nbsp ein Dynkin System d E displaystyle delta mathcal E nbsp definiert genannt das von E displaystyle mathcal E nbsp erzeugte Dynkin System Es ist das kleinste Dynkin System welches E displaystyle mathcal E nbsp enthalt E displaystyle mathcal E nbsp heisst Erzeuger von d E displaystyle delta mathcal E nbsp Der d Operator ist ein Hullenoperator Teilweise wird er entsprechend der Namensgebung als l displaystyle lambda nbsp System auch als l displaystyle lambda nbsp Operator l displaystyle lambda cdot nbsp notiert Weitere alternative Bezeichnungen sind d E displaystyle d mathcal E nbsp oder D E displaystyle mathcal D mathcal E nbsp Das Dynkin System Argument BearbeitenMit Dynkin Systemen lassen sich in vielen Fallen Aussagen uber s Algebren relativ einfach beweisen Sei a displaystyle alpha nbsp eine Aussage die fur Mengen A W displaystyle A subseteq Omega nbsp entweder zutrifft oder nicht Weiter sei S displaystyle Sigma nbsp eine s Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger E displaystyle mathcal E nbsp fur dessen Elemente man a displaystyle alpha nbsp zeigen kann Nach dem Prinzip der guten Mengen betrachtet man nun das Mengensystem D A S A erfullt a displaystyle mathcal D A in Sigma colon A mbox erfullt alpha nbsp und zeigt dass es ein Dynkin System ist Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilitat von E displaystyle mathcal E nbsp einerseits d E s E displaystyle delta mathcal E sigma mathcal E nbsp andererseits gilt aber auch E D S displaystyle mathcal E subseteq mathcal D subseteq Sigma nbsp und damit wegen S s E d E D displaystyle Sigma sigma mathcal E delta mathcal E subseteq mathcal D nbsp schon S D displaystyle Sigma mathcal D nbsp Die definierenden Eigenschaften eines Dynkin Systems sind oft einfacher nachzuweisen weil bei der Abgeschlossenheit gegenuber abzahlbarer Vereinigung nur Folgen von paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden mussen wahrend bei s Algebren diese Zusatzeigenschaft nicht zur Verfugung steht Zusammenhang mit weiteren Mengensystemen Bearbeiten nbsp Hierarchie der in der Masstheorie verwendeten Mengensystemes Algebren Bearbeiten Jede s Algebra ist immer auch ein Dynkin System Umgekehrt ist jedes durchschnittsstabile Dynkinsystem auch eine s Algebra Ein Beispiel 1 fur ein Dynkin System das keine s Algebra ist ist M 1 2 3 4 1 4 2 3 1 2 3 4 displaystyle mathcal M emptyset 1 2 3 4 1 4 2 3 1 2 3 4 nbsp auf der Grundmenge W 1 2 3 4 displaystyle Omega 1 2 3 4 nbsp Das Mengensystem ist ein Dynkin System aber keine Algebra da nicht schnittstabil und damit auch keine s Algebra Es gilt ausserdem der dynkinsche p l Satz Ist E displaystyle mathcal E nbsp ein durchschnittsstabiles Mengensystem so stimmen die von E displaystyle mathcal E nbsp erzeugte s Algebra und das von E displaystyle mathcal E nbsp erzeugte Dynkin System uberein Monotone Klassen Bearbeiten Dynkin Systeme lassen sich auch uber monotone Klassen definieren Ein Mengensystem D displaystyle mathcal D nbsp ist genau dann ein Dynkin System wenn D displaystyle mathcal D nbsp eine monotone Klasse ist welche die Obermenge W displaystyle Omega nbsp enthalt und in der fur beliebige Mengen A B D displaystyle A B in mathcal D nbsp mit B A displaystyle B subset A nbsp auch A B D displaystyle A setminus B in mathcal D nbsp gilt Literatur BearbeitenChristian Hesse Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Auflage Vieweg Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 03183 2 S 20 21 doi 10 1007 978 3 663 01244 3 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Heinz Bauer Mass und Integrationstheorie Walter de Gruyter Berlin u a 1992 ISBN 3 11 013626 0 Einzelnachweise Bearbeiten Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 S 4 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dynkin System amp oldid 225955856