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Prinzip der guten Mengen Das ist eine vor allem in der Maßtheorie häufig angewendete Beweismethode 1 2 Sie kann verwende

Prinzip der guten Mengen

Das Prinzip der guten Mengen ist eine vor allem in der Maßtheorie häufig angewendete Beweismethode. Sie kann verwendet werden, um zu beweisen, dass eine Aussage für alle Elemente einer σ-Algebra oder eines anderen Mengensystems zutrifft. Da im Allgemeinen die Elemente einer σ-Algebra, wie beispielsweise bei der borelschen σ-Algebra, nicht explizit angegeben werden können, sondern nur ein Erzeuger bekannt ist, muss für solche Beweise häufig indirekt vorgegangen werden.

Das Prinzip Bearbeiten

Sei eine σ-Algebra über einer Grundmenge . Um zu zeigen, dass alle Elemente von eine gegebene Eigenschaft besitzen, wird die Menge aller Teilmengen von (oder aller Elemente von ) betrachtet, für die diese Eigenschaft zutrifft, also alle „guten Mengen“. Gilt nun

  1. enthält einen Erzeuger von und
  2. ist eine σ-Algebra,

so folgt, dass die Eigenschaft für alle gilt. Mit anderen Worten: Es ist nur zu zeigen, dass von gewissen „guten Mengen“ erzeugt wird und dass die Menge aller „guten Mengen“ eine σ-Algebra bildet.

Begründung: Wird von einem Mengensystem erzeugt, so folgt wegen der Monotonie und Idempotenz des σ-Operators aus :

Falls es schwierig ist, für den Punkt 2 zu zeigen, dass abgeschlossen gegenüber abzählbaren Vereinigungen beliebiger Elemente ist, kann das Prinzip aufgrund des Dynkinschen π-λ-Satzes mit einem Dynkin-System-Argument kombiniert werden. Ist der Erzeuger durchschnittsstabil, so genügt es zu zeigen, dass ein Dynkin-System ist, denn in diesem Fall gilt , wobei das von erzeugte Dynkin-System bezeichnet.

Beispiel Bearbeiten

Ist eine Abbildung und ein Mengensystem aus Teilmengen von , dann gilt

d. h., das Urbild der von erzeugten σ-Algebra ist die vom Urbild von erzeugte σ-Algebra.

Um die Inklusion zu beweisen, kann das Prinzip der guten Mengen angewendet werden, denn dazu ist zu zeigen, dass alle die Eigenschaft besitzen. Dazu wird also

als Menge der guten Mengen gewählt. Die beiden obigen Bedingungen sind damit erfüllt:

  1. Für alle gilt , also .
  2. ist eine σ-Algebra: Das prüft man direkt anhand der Definition mit Hilfe der Rechenregeln für Urbilder nach.

Damit ist die Inklusion gezeigt.

Die umgekehrte Inklusion folgt hingegen mit einem einfachen Monotonieargument. Da Urbilder von σ-Algebren wieder σ-Algebren sind, gilt

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage, Springer, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, S. 19.
  2. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung. Springer, Wien 2011, ISBN 978-3-7091-0684-6, S. 24.
  3. Dirk Werner: Einführung in die höhere Analysis. 2. Auflage, Springer, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-79599-5, S. 213.
  4. Jochen Wengenroth: Wahrscheinlichkeitstheorie. Walter de Gruyter, 2008, ISBN 978-3-11-020358-5, S. 11.
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Das Prinzip der guten Mengen ist eine vor allem in der Masstheorie haufig angewendete Beweismethode 1 2 Sie kann verwendet werden um zu beweisen dass eine Aussage fur alle Elemente einer s Algebra oder eines anderen Mengensystems zutrifft Da im Allgemeinen die Elemente einer s Algebra wie beispielsweise bei der borelschen s Algebra nicht explizit angegeben werden konnen sondern nur ein Erzeuger bekannt ist muss fur solche Beweise haufig indirekt vorgegangen werden Das Prinzip BearbeitenSei A displaystyle mathcal A nbsp eine s Algebra uber einer Grundmenge W displaystyle Omega nbsp Um zu zeigen dass alle Elemente von A displaystyle mathcal A nbsp eine gegebene Eigenschaft besitzen wird die Menge G displaystyle mathcal G nbsp aller Teilmengen von W displaystyle Omega nbsp oder aller Elemente von A displaystyle mathcal A nbsp betrachtet fur die diese Eigenschaft zutrifft also alle guten Mengen Gilt nun G displaystyle mathcal G nbsp enthalt einen Erzeuger von A displaystyle mathcal A nbsp und G displaystyle mathcal G nbsp ist eine s Algebra so folgt dass die Eigenschaft fur alle A A displaystyle A in mathcal A nbsp gilt Mit anderen Worten Es ist nur zu zeigen dass A displaystyle mathcal A nbsp von gewissen guten Mengen erzeugt wird und dass die Menge aller guten Mengen eine s Algebra bildet 3 Begrundung Wird A displaystyle mathcal A nbsp von einem Mengensystem E displaystyle mathcal E nbsp erzeugt so folgt wegen der Monotonie und Idempotenz des s Operators aus E G displaystyle mathcal E subseteq mathcal G nbsp A s E s G G displaystyle mathcal A sigma mathcal E subseteq sigma mathcal G mathcal G nbsp Falls es schwierig ist fur den Punkt 2 zu zeigen dass G displaystyle mathcal G nbsp abgeschlossen gegenuber abzahlbaren Vereinigungen beliebiger Elemente ist kann das Prinzip aufgrund des Dynkinschen p l Satzes mit einem Dynkin System Argument kombiniert werden Ist der Erzeuger E displaystyle mathcal E nbsp durchschnittsstabil so genugt es zu zeigen dass G displaystyle mathcal G nbsp ein Dynkin System ist denn in diesem Fall gilt s E d E G displaystyle sigma mathcal E delta mathcal E subseteq mathcal G nbsp wobei d E displaystyle delta mathcal E nbsp das von E displaystyle mathcal E nbsp erzeugte Dynkin System bezeichnet Beispiel BearbeitenIst f W W displaystyle f colon Omega to Omega nbsp eine Abbildung und E P W displaystyle mathcal E subseteq mathcal P Omega nbsp ein Mengensystem aus Teilmengen von W displaystyle Omega nbsp dann gilt 4 f 1 s E s f 1 E displaystyle f 1 sigma mathcal E sigma f 1 mathcal E nbsp d h das Urbild der von E displaystyle mathcal E nbsp erzeugten s Algebra ist die vom Urbild von E displaystyle mathcal E nbsp erzeugte s Algebra Um die Inklusion f 1 s E s f 1 E displaystyle f 1 sigma mathcal E subseteq sigma f 1 mathcal E nbsp zu beweisen kann das Prinzip der guten Mengen angewendet werden denn dazu ist zu zeigen dass alle A A s E displaystyle A in mathcal A sigma mathcal E nbsp die Eigenschaft f 1 A s f 1 E displaystyle f 1 A in sigma f 1 mathcal E nbsp besitzen Dazu wird also G A W f 1 A s f 1 E displaystyle mathcal G A subseteq Omega mid f 1 A in sigma f 1 mathcal E nbsp als Menge der guten Mengen gewahlt Die beiden obigen Bedingungen sind damit erfullt Fur alle E E displaystyle E in mathcal E nbsp gilt f 1 E s f 1 E displaystyle f 1 E in sigma f 1 mathcal E nbsp also E G displaystyle E in mathcal G nbsp G displaystyle mathcal G nbsp ist eine s Algebra Das pruft man direkt anhand der Definition mit Hilfe der Rechenregeln fur Urbilder nach Damit ist die Inklusion gezeigt Die umgekehrte Inklusion folgt hingegen mit einem einfachen Monotonieargument Da Urbilder von s Algebren wieder s Algebren sind gilt s f 1 E s f 1 s E f 1 s E displaystyle sigma f 1 mathcal E subseteq sigma f 1 sigma mathcal E f 1 sigma mathcal E nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 Auflage Springer Berlin 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 S 19 Norbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung Springer Wien 2011 ISBN 978 3 7091 0684 6 S 24 Dirk Werner Einfuhrung in die hohere Analysis 2 Auflage Springer Berlin 2009 ISBN 978 3 540 79599 5 S 213 Jochen Wengenroth Wahrscheinlichkeitstheorie Walter de Gruyter 2008 ISBN 978 3 11 020358 5 S 11 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Prinzip der guten Mengen amp oldid 239497214