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Dynkinscher π λ Satz Der Dynkinsche π λ Satz nach Eugene Dynkin ist ein Satz aus der Maßtheorie einem Teilgebiet der Mat

Dynkinscher π-λ-Satz

Der Dynkinsche π-λ-Satz (nach Eugene Dynkin) ist ein Satz aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er trifft eine Aussagen darüber, unter welchen Bedingungen zwei Mengensysteme übereinstimmen. Er dient beispielsweise beim Prinzip der guten Mengen als Hilfsmittel.

Aussage Bearbeiten

Sei ein Mengensystem sowie die von dem Mengensystem erzeugte σ-Algebra und das von dem Mengensystem erzeugte Dynkin-System.

Die Aussage lautet nun: Ist ein durchschnittsstabiles Mengensystem, so stimmen die von ihm erzeugte σ-Algebra und das von ihm erzeugte Dynkin-System überein. Es gilt dann also

Namensgebung Bearbeiten

Die Benennung des Satzes folgt daraus, dass Dynkin-Systeme auch λ-Systeme genannt werden und durchschnittsstabile Mengensysteme auch π-Systeme heißen. Somit lässt sich der Satz auch wie folgend formulieren: Die erzeugte σ-Algebra eines π-Systems ist gleich dem erzeugten λ-System des π-Systems.

Beweisskizze Bearbeiten

Es ist , da jede σ-Algebra ein Dynkin-System ist und das kleinste Dynkin-System, das enthält.

Es ist dann noch zu zeigen, dass . Dazu zeigt man, dass das Dynkin-System eine σ-Algebra ist. Dann enthält das Dynkin-System die σ-Algebra, da das Dynkin-System den Erzeuger enthält und die kleinste σ-Algebra ist, die den Erzeuger enthält.

Ein Dynkin-System ist aber genau dann eine σ-Algebra, wenn es durchschnittsstabil ist. Also ist die Durchschnittsstabilität zu zeigen. Dazu definiert man das Hilfsmengensystem

da ein durchschnittsstabiles Mengensystem ist. Nun kann man zeigen, dass auch ein Dynkin-System ist. Da aber ist und gilt, ist dann .

Nun bildet man das zweite Hilfsmengensystem der durchschnittstabilen Mengen des Dynkinsystems

Per Definition ist dann , aber da nach der obigen Aussage auch gilt, ist . Nun lässt sich zeigen, dass auch ein Dynkin-System ist, also ist und damit auch . Da nach Definition durchschnittsstabil ist, ist auch durchschnittsstabil, also eine σ-Algebra, was zu zeigen war.

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Dynkinsche p l Satz nach Eugene Dynkin ist ein Satz aus der Masstheorie einem Teilgebiet der Mathematik Er trifft eine Aussagen daruber unter welchen Bedingungen zwei Mengensysteme ubereinstimmen Er dient beispielsweise beim Prinzip der guten Mengen als Hilfsmittel Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Namensgebung 3 Beweisskizze 4 LiteraturAussage BearbeitenSei M displaystyle mathcal M nbsp ein Mengensystem sowie s M displaystyle sigma mathcal M nbsp die von dem Mengensystem erzeugte s Algebra und d M displaystyle delta mathcal M nbsp das von dem Mengensystem erzeugte Dynkin System Die Aussage lautet nun Ist M displaystyle mathcal M nbsp ein durchschnittsstabiles Mengensystem so stimmen die von ihm erzeugte s Algebra und das von ihm erzeugte Dynkin System uberein Es gilt dann also s M d M displaystyle sigma mathcal M delta mathcal M nbsp Namensgebung BearbeitenDie Benennung des Satzes folgt daraus dass Dynkin Systeme auch l Systeme genannt werden und durchschnittsstabile Mengensysteme auch p Systeme heissen Somit lasst sich der Satz auch wie folgend formulieren Die erzeugte s Algebra eines p Systems ist gleich dem erzeugten l System des p Systems Beweisskizze BearbeitenEs ist d M s M displaystyle delta mathcal M subset sigma mathcal M nbsp da jede s Algebra ein Dynkin System ist und d M displaystyle delta mathcal M nbsp das kleinste Dynkin System das M displaystyle mathcal M nbsp enthalt Es ist dann noch zu zeigen dass d M s M displaystyle delta mathcal M supset sigma mathcal M nbsp Dazu zeigt man dass das Dynkin System d M displaystyle delta mathcal M nbsp eine s Algebra ist Dann enthalt das Dynkin System die s Algebra da das Dynkin System den Erzeuger M displaystyle mathcal M nbsp enthalt und s M displaystyle sigma mathcal M nbsp die kleinste s Algebra ist die den Erzeuger enthalt Ein Dynkin System ist aber genau dann eine s Algebra wenn es durchschnittsstabil ist Also ist die Durchschnittsstabilitat zu zeigen Dazu definiert man das Hilfsmengensystem D 1 A d M A B d M B M A M A B d M B M M displaystyle mathcal D 1 A in delta mathcal M A cap B in delta mathcal M B in mathcal M supset A in mathcal M A cap B in delta mathcal M B in mathcal M mathcal M nbsp da M displaystyle mathcal M nbsp ein durchschnittsstabiles Mengensystem ist Nun kann man zeigen dass auch D 1 displaystyle mathcal D 1 nbsp ein Dynkin System ist Da aber D 1 d M displaystyle mathcal D 1 subset delta mathcal M nbsp ist und M D 1 displaystyle mathcal M subset mathcal D 1 nbsp gilt ist dann D 1 d M displaystyle mathcal D 1 delta mathcal M nbsp Nun bildet man das zweite Hilfsmengensystem der durchschnittstabilen Mengen des Dynkinsystems D 2 A d M A B d M B d M displaystyle mathcal D 2 A in delta mathcal M A cap B in delta mathcal M B in delta mathcal M nbsp Per Definition ist dann D 2 d M displaystyle mathcal D 2 subset delta mathcal M nbsp aber da nach der obigen Aussage auch D 1 d M displaystyle mathcal D 1 delta mathcal M nbsp gilt ist M D 2 displaystyle mathcal M subset mathcal D 2 nbsp Nun lasst sich zeigen dass auch D 2 displaystyle mathcal D 2 nbsp ein Dynkin System ist also ist D 2 d M displaystyle mathcal D 2 supset delta mathcal M nbsp und damit auch D 2 d M displaystyle mathcal D 2 delta mathcal M nbsp Da D 2 displaystyle mathcal D 2 nbsp nach Definition durchschnittsstabil ist ist auch d M displaystyle delta mathcal M nbsp durchschnittsstabil also eine s Algebra was zu zeigen war Literatur BearbeitenChristian Hesse Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Auflage Vieweg Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 03183 2 S 21 22 doi 10 1007 978 3 663 01244 3 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dynkinscher p l Satz amp oldid 224871834