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Hausdorffs Maximalkettensatz Der Maximalkettensatz auch als Maximalitätsprinzip von Hausdorff bezeichnet englisch Hausdo

Hausdorffs Maximalkettensatz

Der Maximalkettensatz, auch als Maximalitätsprinzip von Hausdorff bezeichnet, englisch Hausdorff's maximal principle, ist ein grundlegendes Prinzip sowohl der Mengenlehre als auch der Ordnungstheorie. Felix Hausdorff veröffentlichte sein Maximalitätsprinzip im Jahre 1914 in seinem bedeutenden Werk Grundzüge der Mengenlehre. Der Maximalkettensatz ist engstens verbunden mit dem Lemma von Zorn und zu diesem und damit auch (im Rahmen der Mengenlehre auf Grundlage der Zermelo-Fraenkel-Axiome) zum Auswahlaxiom logisch äquivalent.

Formulierung Bearbeiten

Das Maximalitätsprinzip lässt sich wie folgt formulieren:

In Kurzform besagt das Maximalitätsprinzip also, dass in einer geordneten Menge jede Kette zu einer bezüglich der Inklusionsrelation maximalen Kette erweitert werden kann. Dies motiviert auch den Namen des Prinzips als Maximalkettensatz.

Herleitung aus dem Auswahlaxiom nach Paul Halmos Bearbeiten

Eine gut nachvollziehbare direkte Herleitung des Maximalkettensatzes aus dem Auswahlaxiom (ohne Benutzung des Wohlordnungssatzes) gibt Walter Rudin im Anhang seines bekannten Lehrbuches Reelle und komplexe Analysis. Wie Rudin zeigt, liegt der entscheidende Beweisschritt in folgendem Hilfssatz, den Paul Halmos in seinem Lehrbuch Naive Mengenlehre (siehe Literatur) benutzt, um das Lemma von Zorn aus dem Auswahlaxiom abzuleiten.

Hilfssatz von Halmos Bearbeiten

Eigentliche Herleitung Bearbeiten

Für die gegebene teilweise geordnete Menge sei das Mengensystem der Ketten bezüglich innerhalb von

ist stets nicht-leer und ein induktives Mengensystem.

Das vorausgesetzte Auswahlaxiom sichert nun die Existenz einer Auswahlfunktion für also eine Funktion mit für alle

Damit setzt man für

und definiert dann:

Nach dem Halmosschen Hilfssatz ist nun für mindestens ein

Dieses ist nun nach Definition ein bezüglich der Inklusionsrelation maximales Element von

Dieser Schluss zeigt, dass das Auswahlaxiom den Hausdorffschen Maximalkettensatz nach sich zieht.

Historische Anmerkungen Bearbeiten

Felix Hausdorff veröffentlichte den Maximalkettensatz im Jahre 1914 in seinem bedeutenden Werk Grundzüge der Mengenlehre. Die oben wiedergegebene Formulierung ist diejenige, die in der mathematischen Literatur üblicherweise genannt wird. Streng bewiesen – ausgehend vom Wohlordnungssatz – hat Felix Hausdorff in den Grundzügen eine äquivalente und nur scheinbar schwächere Fassung:

Hausdorff weist in einer Bemerkung im Anschluss an seinen Beweis darauf hin, dass der Maximalkettensatz in seiner obigen Formulierung mit einem ganz gleichartigen Beweis ebenfalls abgeleitet werden kann.

Manche Autoren der englischsprachigen Literatur ordnen den Maximalkettensatz Kazimierz Kuratowski zu und bezeichnen ihn als Kuratowski Lemma. Hinsichtlich der mathematikgeschichtlichen Zusammenhänge ist anzumerken, dass der Maximalkettensatz in einer jeweils anderen, jedoch äquivalenten, Form mehrfach entdeckt oder wiederentdeckt wurde. Das bekannteste Beispiel ist hier wohl das Lemma von Zorn.

Interessant ist in diesem Zusammenhang der Hinweis von Walter Rudin in seiner Reellen und komplexen Analysis, dass der Beweis des Maximalkettensatzes auf dem Wege über den Hilfssatz von Halmos demjenigen ähnelt, den Ernst Zermelo im Jahre 1908 als zweite Herleitung des Wohlordnungsatzes aus dem Auswahlaxiom vorgelegt hat.

Zur Entwicklungsgeschichte von Auswahlaxiom, Wohlordnungssatz, Maximalkettensatz, Lemma von Zorn und anderen gleichwertigen Maximalprinzipien gibt die Monographie von Moore eine ausführliche Darstellung (siehe Literatur).

Literatur Bearbeiten

Originalarbeiten

  • Ernst Zermelo: Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann. In: Math. Ann. Band 59, 1904, S. 514–516.
  • Ernst Zermelo: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. In: Math. Ann. Band 65, 1908, S. 107–128.

Monografien

  • E. Brieskorn, S. D. Chatterji u. a. (Hrsg.): Felix Hausdorff. Gesammelte Werke. Band II: Grundzüge der Mengenlehre. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 2002, ISBN 3-540-42224-2, Kapitel 6, § 1 (books.google.de).
  • Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 2002, ISBN 3-540-42948-4.
  • Keith Devlin: The Joy of Sets. 2. Auflage. Springer-Verlag, New York u. a. 1993, ISBN 0-387-94094-4.
  • Alan G. Hamilton: Numbers, sets and axioms. The apparatus of mathematics. Cambridge University Press, Cambridge 1982, ISBN 0-521-24509-5.
  • Paul Halmos: Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1976, ISBN 3-525-40527-8.
  • Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York 2005, ISBN 0-387-24219-8, S. 206 ff. (MR2127991).
  • Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Kapitel 6, § 1, Veit & Comp., Leipzig 1914 (reproduziert in Srishti D. Chatterji u. a. (Hrsg.): Felix Hausdorff. Gesammelte Werke. Band II: Grundzüge der Mengenlehre. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42224-2 books.google.de).
  • John L. Kelley: General topology. Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1975, ISBN 3-540-90125-6.
  • Gregory H. Moore: Zermelo’s axiom of choice. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1982, ISBN 3-540-90670-3.
  • Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-486-59186-6.

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. ↑ Grundzüge der Mengenlehre. S. 140–141.
  2. Vgl. etwa Brieskorn, Chatterji u. a.: Gesammelte Werke. Band II, 2002, S. 602–604. und Harzheim: Ordered Sets. 2005, S. 50–52.
  3. Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-486-59186-6, S. 473–475, 483–484.
  4. Der Beweis dieses Hilfssatzes lässt sich im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Benutzung des Auswahlaxioms führen.
  5. Kette in Bezug auf die Inklusionsrelation
  6. Da nun das Lemma von Zorn aus dem Maximalkettensatz gefolgert werden kann und dieses wiederum das Auswahlaxiom impliziert, findet man, dass es sich um drei logisch äquivalente Prinzipien handelt.
  7. Etwa Kelley oder Hamilton; siehe Literatur!
  8. Vgl. Brieskorn, Chatterji u. a.: Gesammelte Werke. Band II, S. 603.
  9. Daher wird das Zornsche Lemma auch als Lemma von Kuratowski-Zorn bezeichnet; vgl. Brieskorn, Chatterji u. a.: Gesammelte Werke. Band II, S. 603.
  10. Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-486-59186-6, S. 483–484.
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Der Maximalkettensatz auch als Maximalitatsprinzip von Hausdorff bezeichnet englisch Hausdorff s maximal principle ist ein grundlegendes Prinzip sowohl der Mengenlehre als auch der Ordnungstheorie Felix Hausdorff veroffentlichte sein Maximalitatsprinzip im Jahre 1914 in seinem bedeutenden Werk Grundzuge der Mengenlehre 1 Der Maximalkettensatz ist engstens verbunden mit dem Lemma von Zorn und zu diesem und damit auch im Rahmen der Mengenlehre auf Grundlage der Zermelo Fraenkel Axiome zum Auswahlaxiom logisch aquivalent 2 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Herleitung aus dem Auswahlaxiom nach Paul Halmos 2 1 Hilfssatz von Halmos 2 2 Eigentliche Herleitung 3 Historische Anmerkungen 4 Literatur 5 Einzelnachweise und AnmerkungenFormulierung BearbeitenDas Maximalitatsprinzip lasst sich wie folgt formulieren Gegeben sei eine teilweise geordnete Menge P displaystyle P leq nbsp und darin eine Teilmenge K displaystyle K nbsp die bzgl der gegebenen Ordnungsrelation displaystyle leq nbsp eine Kette darstellt d h fur je zwei Elemente k 1 displaystyle k 1 nbsp und k 2 displaystyle k 2 nbsp von K displaystyle K nbsp gilt entweder k 1 k 2 displaystyle k 1 leq k 2 nbsp oder k 2 k 1 displaystyle k 2 leq k 1 nbsp Dann existiert eine K displaystyle K nbsp umfassende Kette K 0 displaystyle K 0 nbsp von P displaystyle P leq nbsp die ihrerseits von keiner anderen Kette von P displaystyle P leq nbsp echt umfasst wird In Kurzform besagt das Maximalitatsprinzip also dass in einer geordneten Menge jede Kette zu einer bezuglich der Inklusionsrelation maximalen Kette erweitert werden kann Dies motiviert auch den Namen des Prinzips als Maximalkettensatz Herleitung aus dem Auswahlaxiom nach Paul Halmos BearbeitenEine gut nachvollziehbare direkte Herleitung des Maximalkettensatzes aus dem Auswahlaxiom ohne Benutzung des Wohlordnungssatzes gibt Walter Rudin im Anhang seines bekannten Lehrbuches Reelle und komplexe Analysis Wie Rudin zeigt liegt der entscheidende Beweisschritt in folgendem Hilfssatz den Paul Halmos in seinem Lehrbuch Naive Mengenlehre siehe Literatur benutzt um das Lemma von Zorn aus dem Auswahlaxiom abzuleiten 3 4 Hilfssatz von Halmos Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp eine gegebene Grundmenge und F 2 X displaystyle mathcal F subseteq 2 X nbsp ein nicht leeres induktives Teilmengensystem in der zugehorigen Potenzmenge 2 X displaystyle 2 X nbsp also ein Teilmengensystem mit der Eigenschaft dass fur jede nicht leere Kette von Teilmengen 5 K F displaystyle mathcal K subseteq mathcal F nbsp deren Vereinigung K displaystyle bigcup mathcal K nbsp wiederum zu F displaystyle mathcal F nbsp gehort Weiter sei gegeben eine Funktion g F F displaystyle g colon mathcal F to mathcal F nbsp mit A g A displaystyle A mapsto g A nbsp fur A F displaystyle A in mathcal F nbsp sodass folgende zwei Eigenschaften erfullt sind 1 A g A displaystyle A subseteq g A nbsp 2 g A A 1 displaystyle g A setminus A leq 1 nbsp dd Dann existiert ein A 1 F displaystyle A 1 in mathcal F nbsp mit g A 1 A 1 displaystyle g A 1 A 1 nbsp Eigentliche Herleitung Bearbeiten Fur die gegebene teilweise geordnete Menge P displaystyle P leq nbsp sei F 2 P displaystyle mathcal F subseteq 2 P nbsp das Mengensystem der Ketten bezuglich displaystyle leq nbsp innerhalb von P displaystyle P nbsp F displaystyle mathcal F nbsp ist stets nicht leer und ein induktives Mengensystem Das vorausgesetzte Auswahlaxiom sichert nun die Existenz einer Auswahlfunktion fur P displaystyle P nbsp also eine Funktion f 2 P P displaystyle f colon 2 P setminus emptyset to P nbsp mit A f A A displaystyle A mapsto f A in A nbsp fur alle A 2 P displaystyle A in 2 P setminus emptyset nbsp Damit setzt man fur A F displaystyle A in mathcal F nbsp A x P A A x F displaystyle A x in P setminus A mid A cup x in mathcal F nbsp und definiert dann g A A fur A A f A fur A displaystyle g A begin cases A amp text fur A emptyset A cup f A amp text fur A neq emptyset end cases nbsp Nach dem Halmosschen Hilfssatz ist nun fur mindestens ein A 1 F displaystyle A 1 in mathcal F colon nbsp A 1 displaystyle A 1 emptyset nbsp Dieses A 1 displaystyle A 1 nbsp ist nun nach Definition ein bezuglich der Inklusionsrelation maximales Element von F displaystyle mathcal F nbsp Dieser Schluss zeigt dass das Auswahlaxiom den Hausdorffschen Maximalkettensatz nach sich zieht 6 Historische Anmerkungen BearbeitenFelix Hausdorff veroffentlichte den Maximalkettensatz im Jahre 1914 in seinem bedeutenden Werk Grundzuge der Mengenlehre Die oben wiedergegebene Formulierung ist diejenige die in der mathematischen Literatur ublicherweise genannt wird Streng bewiesen ausgehend vom Wohlordnungssatz hat Felix Hausdorff in den Grundzugen eine aquivalente und nur scheinbar schwachere Fassung In einer geordneten Menge P displaystyle P leq nbsp existiert stets mindestens eine Kette die von keiner anderen Kette von P displaystyle P leq nbsp echt umfasst wird Hausdorff weist in einer Bemerkung im Anschluss an seinen Beweis darauf hin dass der Maximalkettensatz in seiner obigen Formulierung mit einem ganz gleichartigen Beweis ebenfalls abgeleitet werden kann 1 Manche Autoren der englischsprachigen Literatur ordnen den Maximalkettensatz Kazimierz Kuratowski zu und bezeichnen ihn als Kuratowski Lemma 7 Hinsichtlich der mathematikgeschichtlichen Zusammenhange ist anzumerken dass der Maximalkettensatz in einer jeweils anderen jedoch aquivalenten Form mehrfach entdeckt oder wiederentdeckt wurde Das bekannteste Beispiel ist hier wohl das Lemma von Zorn 8 9 Interessant ist in diesem Zusammenhang der Hinweis von Walter Rudin in seiner Reellen und komplexen Analysis 10 dass der Beweis des Maximalkettensatzes auf dem Wege uber den Hilfssatz von Halmos demjenigen ahnelt den Ernst Zermelo im Jahre 1908 als zweite Herleitung des Wohlordnungsatzes aus dem Auswahlaxiom vorgelegt hat Zur Entwicklungsgeschichte von Auswahlaxiom Wohlordnungssatz Maximalkettensatz Lemma von Zorn und anderen gleichwertigen Maximalprinzipien gibt die Monographie von Moore eine ausfuhrliche Darstellung siehe Literatur Literatur BearbeitenOriginalarbeiten Ernst Zermelo Beweis dass jede Menge wohlgeordnet werden kann In Math Ann Band 59 1904 S 514 516 Ernst Zermelo Neuer Beweis fur die Moglichkeit einer Wohlordnung In Math Ann Band 65 1908 S 107 128 Monografien E Brieskorn S D Chatterji u a Hrsg Felix Hausdorff Gesammelte Werke Band II Grundzuge der Mengenlehre Springer Verlag Berlin u a 2002 ISBN 3 540 42224 2 Kapitel 6 1 books google de Oliver Deiser Einfuhrung in die Mengenlehre Springer Verlag Berlin u a 2002 ISBN 3 540 42948 4 Keith Devlin The Joy of Sets 2 Auflage Springer Verlag New York u a 1993 ISBN 0 387 94094 4 Alan G Hamilton Numbers sets and axioms The apparatus of mathematics Cambridge University Press Cambridge 1982 ISBN 0 521 24509 5 Paul Halmos Naive Mengenlehre Vandenhoeck amp Ruprecht Gottingen 1976 ISBN 3 525 40527 8 Egbert Harzheim Ordered Sets Advances in Mathematics Band 7 Springer Verlag New York 2005 ISBN 0 387 24219 8 S 206 ff MR2127991 Felix Hausdorff Grundzuge der Mengenlehre Kapitel 6 1 Veit amp Comp Leipzig 1914 reproduziert in Srishti D Chatterji u a Hrsg Felix Hausdorff Gesammelte Werke Band II Grundzuge der Mengenlehre Springer Berlin 2002 ISBN 3 540 42224 2 books google de John L Kelley General topology Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1975 ISBN 3 540 90125 6 Gregory H Moore Zermelo s axiom of choice Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1982 ISBN 3 540 90670 3 Walter Rudin Reelle und komplexe Analysis 2 Auflage Oldenbourg Wissenschaftsverlag Berlin 2009 ISBN 978 3 486 59186 6 Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten a b Grundzuge der Mengenlehre S 140 141 Vgl etwa Brieskorn Chatterji u a Gesammelte Werke Band II 2002 S 602 604 und Harzheim Ordered Sets 2005 S 50 52 Walter Rudin Reelle und komplexe Analysis 2 Auflage Oldenbourg Wissenschaftsverlag Berlin 2009 ISBN 978 3 486 59186 6 S 473 475 483 484 Der Beweis dieses Hilfssatzes lasst sich im Rahmen der Zermelo Fraenkel Mengenlehre ohne Benutzung des Auswahlaxioms fuhren Kette in Bezug auf die Inklusionsrelation Da nun das Lemma von Zorn aus dem Maximalkettensatz gefolgert werden kann und dieses wiederum das Auswahlaxiom impliziert findet man dass es sich um drei logisch aquivalente Prinzipien handelt Etwa Kelley oder Hamilton siehe Literatur Vgl Brieskorn Chatterji u a Gesammelte Werke Band II S 603 Daher wird das Zornsche Lemma auch als Lemma von Kuratowski Zorn bezeichnet vgl Brieskorn Chatterji u a Gesammelte Werke Band II S 603 Walter Rudin Reelle und komplexe Analysis 2 Auflage Oldenbourg Wissenschaftsverlag Berlin 2009 ISBN 978 3 486 59186 6 S 483 484 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hausdorffs Maximalkettensatz amp oldid 233895505