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Widerstandsmoment Als W displaystyle W wird in der technischen Mechanik eine allein aus der Geometrie Form und Maße eine

Widerstandsmoment

Als Widerstandsmoment wird in der technischen Mechanik eine allein aus der Geometrie (Form und Maße) eines Balkenquerschnitts abgeleitete Größe bezeichnet. Sie ist ein Maß dafür, welchen Widerstand ein Balken bei Belastung der Entstehung innerer Spannungen entgegensetzt. Der Begriff des Widerstandsmomentes geht auf Friedrich Laissle (1829–1907) und Adolf von Schübler (1829–1904) zurück, die 1857 bei einfachsymmetrischen Querschnitten von „Widerstandsvermögen gegen Druck bzw. Zug“ sprachen.

  • Bei der Belastung Biegen wird vom axialen oder Biegewiderstandsmoment gesprochen
  • beim Verwinden (Torsion) wird vom polaren Widerstandsmoment oder Torsionswiderstandsmoment gesprochen.

Das Widerstandsmoment eines Querschnitts steht in einfachem geometrischen Zusammenhang mit dem Flächenträgheitsmoment, mit dessen Hilfe bei der Querschnitts-Bemessung die Verformung eines Balkens bei Belastung berechnet wird (siehe auch Steifigkeit). Widerstandsmoment und Flächenträgheitsmoment sind, in Abhängigkeit von den typischen Abmessungen geometrisch einfacher Flächen und standardisierter Materialprofile (z. B. Stahlprofile), in allgemeinen technischen Handbüchern enthalten, oft in gemeinsamen Tabellen.

Grundlagen Bearbeiten

Bei Kräften senkrecht zu einer Bezugsachse will die Kraft den Körper biegen bzw. – sofern ein Hebel vorhanden – um diese Achse drehen. Wird die Drehung durch Einspannung verhindert, entsteht ein Biege- oder Torsionsmoment. Widerstandmomente werden immer in Bezug auf die jeweilige Momentenachse berechnet.

Berechnung Bearbeiten

Das Widerstandsmoment ist definiert als:

mit

Die Einheit des Widerstandsmoments ist .

Für symmetrische Querschnitte sind die Widerstandsmomente in den Randfasern parallel zur Symmetrieachse gleich. Deshalb sind auch die Spannungen in diesen Fasern gleich, wenn die Biegekräfte senkrecht zu dieser Symmetrieachse wirken.

Anwendung Bearbeiten

Bei einer rein elastischen Verformung werden die in den Randfasern auftretenden maximalen Spannungen ermittelt durch:

mit

und durch:

mit

Die so ermittelten maximal auftretenden Spannungen werden mit den vom Werkstoff erträglichen Spannungen (Festigkeit) verglichen, um zu überprüfen, ob der Balken versagt.

Beispiele Bearbeiten

Rechteck und Kreis

Anmerkung: Für nicht kreisförmige Querschnitte können zwar die polaren Widerstandsmomente berechnet werden. Sie besitzen jedoch wenig praktische Bedeutung, da die Verteilung der Torsionsspannung für derartige Querschnitte anderen Gesetzen unterliegt.

Kreisring
Trapez
Rechteckrohr
  • Hohlprofil (Rechteckrohr)
Profil n η
I-Profil 3 ≈1,3
Winkelprofil 2 ≈1,0
T-Profil 2 1,12
U-Profil 3 1<η<1,3
Plus-Profil 2 1,17

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, Berlin, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 449.
  2. Kurt Gieck, Reiner Gieck: Technische Formelsammlung. Carl Hanser Verlag, ISBN 978-3-446-46115-4. hanser-elibrary.com
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Veröffentlichungsdatum:
Als Widerstandsmoment W displaystyle W wird in der technischen Mechanik eine allein aus der Geometrie Form und Masse eines Balkenquerschnitts abgeleitete Grosse bezeichnet Sie ist ein Mass dafur welchen Widerstand ein Balken bei Belastung der Entstehung innerer Spannungen entgegensetzt Der Begriff des Widerstandsmomentes geht auf Friedrich Laissle 1829 1907 und Adolf von Schubler 1829 1904 zuruck die 1857 bei einfachsymmetrischen Querschnitten von Widerstandsvermogen gegen Druck bzw Zug sprachen 1 Bei der Belastung Biegen wird vom axialen oder Biegewiderstandsmoment W a x displaystyle W mathrm ax gesprochen beim Verwinden Torsion wird vom polaren Widerstandsmoment W p displaystyle W p oder Torsionswiderstandsmoment W t displaystyle W t gesprochen Das Widerstandsmoment eines Querschnitts steht in einfachem geometrischen Zusammenhang mit dem Flachentragheitsmoment mit dessen Hilfe bei der Querschnitts Bemessung die Verformung eines Balkens bei Belastung berechnet wird siehe auch Steifigkeit Widerstandsmoment und Flachentragheitsmoment sind in Abhangigkeit von den typischen Abmessungen geometrisch einfacher Flachen und standardisierter Materialprofile z B Stahlprofile in allgemeinen technischen Handbuchern enthalten oft in gemeinsamen Tabellen Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1 Berechnung 1 2 Anwendung 2 Beispiele 3 Siehe auch 4 EinzelnachweiseGrundlagen BearbeitenBei Kraften senkrecht zu einer Bezugsachse will die Kraft den Korper biegen bzw sofern ein Hebel vorhanden um diese Achse drehen Wird die Drehung durch Einspannung verhindert entsteht ein Biege oder Torsionsmoment Widerstandmomente werden immer in Bezug auf die jeweilige Momentenachse berechnet Berechnung Bearbeiten Das Widerstandsmoment ist definiert als W I a m a x displaystyle W frac I a mathrm max nbsp mit dem Flachentragheitsmoment I displaystyle I nbsp dem maximalen senkrechten Abstand a m a x displaystyle a mathrm max nbsp der Randfaser Querschnittsrand zur neutralen spannungsfreien Faser In der Randfaser treten die gesuchten maximalen Bauteilbeanspruchungen auf siehe unten Anwendung Die Einheit des Widerstandsmoments ist m 3 displaystyle mathrm m 3 nbsp Fur symmetrische Querschnitte sind die Widerstandsmomente in den Randfasern parallel zur Symmetrieachse gleich Deshalb sind auch die Spannungen in diesen Fasern gleich wenn die Biegekrafte senkrecht zu dieser Symmetrieachse wirken Anwendung Bearbeiten Bei einer rein elastischen Verformung werden die in den Randfasern auftretenden maximalen Spannungen ermittelt durch s m a x M b W ax M b a m a x I ax displaystyle sigma mathrm max frac M b W text ax M b cdot frac a mathrm max I text ax nbsp mit s m a x displaystyle sigma mathrm max nbsp maximale Normalspannung M b displaystyle M b nbsp Biegemoment um die Bezugsachse I ax displaystyle I text ax nbsp axiales Flachentragheitsmoment a max displaystyle a text max nbsp maximaler senkrechter Abstand der Randfaser zur neutralen Faserund durch t m a x M t W p M t a m a x I p displaystyle tau mathrm max frac M t W p M t cdot frac a mathrm max I p nbsp mit t m a x displaystyle tau mathrm max nbsp maximale Tangentialspannung Schubspannung M t displaystyle M t nbsp Torsionsmoment um die Bezugsachse I p displaystyle I p nbsp polares Flachentragheitsmoment a max displaystyle a text max nbsp maximaler senkrechter Abstand der Randfaser zur neutralen FaserDie so ermittelten maximal auftretenden Spannungen werden mit den vom Werkstoff ertraglichen Spannungen Festigkeit verglichen um zu uberprufen ob der Balken versagt Beispiele Bearbeiten nbsp Rechteck und KreisAnmerkung Fur nicht kreisformige Querschnitte konnen zwar die polaren Widerstandsmomente berechnet werden Sie besitzen jedoch wenig praktische Bedeutung da die Verteilung der Torsionsspannung fur derartige Querschnitte anderen Gesetzen unterliegt RechteckFur ein Rechteck mit der Breite b displaystyle b nbsp parallel zur y Achse und der Hohe h displaystyle h nbsp ist das Widerstandsmoment bezuglich der Horizontalachse dd W y b h 2 6 displaystyle W y frac b cdot h 2 6 nbsp dd Fur dasselbe Rechteck ist das Widerstandsmoment bezuglich der Vertikalachse dd W z h b 2 6 displaystyle W z frac h cdot b 2 6 nbsp dd Quadratfur ein Quadrat mit der Seitenlange a b h displaystyle a b h nbsp vereinfacht sich das Widerstandsmoment zu W y W z a 3 6 displaystyle W y W z frac a 3 6 nbsp dd KreisFur einen Kreis mit Durchmesser D displaystyle D nbsp dd W ax p 32 D 3 displaystyle W text ax frac pi 32 D 3 nbsp dd W p p 16 D 3 displaystyle W p frac pi 16 D 3 nbsp dd nbsp KreisringKreisringFur einen Kreisring mit Aussendurchmesser D displaystyle D nbsp und Innendurchmesser d displaystyle d nbsp ist das Widerstandsmoment dd W ax p 32 D 4 d 4 D displaystyle W text ax frac pi 32 cdot frac D 4 d 4 D nbsp dd W p p 16 D 4 d 4 D displaystyle W p frac pi 16 cdot frac D 4 d 4 D nbsp dd nbsp TrapezTrapezFur ein Trapez mit der Basis B displaystyle B nbsp parallel zur y Achse und der Hohe h displaystyle h nbsp W o h 2 B 2 4 B b b 2 12 2 B b W m i n displaystyle W o frac h 2 B 2 4Bb b 2 12 2B b W mathrm min nbsp W u h 2 B 2 4 B b b 2 12 B 2 b displaystyle W u frac h 2 B 2 4Bb b 2 12 B 2b nbsp dd nbsp RechteckrohrHohlprofil Rechteckrohr Fur ein Rechteckrohr Vierkantrohr mit der Aussenbreite Hohe B displaystyle B nbsp und H displaystyle H nbsp der Innenbreite b displaystyle b nbsp und h displaystyle h nbsp ausserdem muss das Profil symmetrisch sein d h die gegenuberliegenden Wandstarken mussen gleich gross sein dd W y B H 3 b h 3 6 H displaystyle W y frac BH 3 bh 3 6H nbsp W z B 3 H b 3 h 6 B displaystyle W z frac B 3 H b 3 h 6B nbsp dd Fur dunnwandige Rechteckprofile mit der gleichmassigen Wandstarke t displaystyle t nbsp ist das Torsionswiderstandsmoment W t displaystyle W t nbsp W t t H h B b 2 displaystyle W t frac t H h B b 2 nbsp oder W t 2 t H t B t displaystyle W t 2t H t B t nbsp dd Walzprofile 2 Fur Profile bestehend aus n displaystyle n nbsp Rechteckquerschnitten welche jeweils die Breiten b i displaystyle b i nbsp und die Hohen h i displaystyle h i nbsp mit h i gt b i displaystyle h i gt b i nbsp besitzen lasst sich das Torsionswiderstandsmoment angenahert berechnen als W t h 3 b max i 1 n b i 3 h i displaystyle W t frac eta 3b text max cdot sum i 1 n b i 3 cdot h i nbsp dd Profil n hI Profil 3 1 3Winkelprofil 2 1 0T Profil 2 1 12U Profil 3 1 lt h lt 1 3Plus Profil 2 1 17Siehe auch BearbeitenStatisches Moment Spannungstrapezverfahren FestigkeitslehreEinzelnachweise Bearbeiten Karl Eugen Kurrer The History of the Theory of Structures Searching for Equilibrium Ernst amp Sohn Berlin ISBN 978 3 433 03229 9 S 449 Kurt Gieck Reiner Gieck Technische Formelsammlung Carl Hanser Verlag ISBN 978 3 446 46115 4 hanser elibrary com Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Widerstandsmoment amp oldid 234185264