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Flächenträgheitsmoment Dieser Artikel behandelt den Widerstand gegen Verbiegen oder Torsion Für den Widerstand gegen Dre

Flächenträgheitsmoment

Physikalische Größe
Name Flächenträgheitsmoment
Formelzeichen , veraltet

Das Flächenträgheitsmoment, auch als Flächenmoment 2. Grades bezeichnet, ist eine in der Festigkeitslehre verwendete, aus dem Querschnitt eines Trägers abgeleitete geometrische Größe, die zu dessen Verformungs- und Spannungsberechnung bei Biege- und Torsionsbeanspruchung eingeführt wurde. Die verwendeten Formeln enthalten das Flächenträgheitsmoment neben anderen Größen, wie solchen für die Belastung und für die Eigenschaften des verwendeten Werkstoffs.

Mit Hilfe des Flächenträgheitsmomentes werden auch diejenigen Belastungen berechnet, deren Überschreiten zum Knicken von Stäben oder Beulen von Schalen führt.

Das Flächenträgheitsmoment darf nicht mit dem (Massen-)Trägheitsmoment verwechselt werden, das die Trägheit eines rotierenden Körpers gegenüber einer Winkelbeschleunigung charakterisiert.

Arten Bearbeiten

Symmetrische und asymmetrische Querschnitte eines Balkens, der beispielsweise einseitig eingespannt (1 und 2, Kragträger) auf Biegung (3) oder Torsion (4) beansprucht wird.

Axiales Flächenträgheitsmoment Bearbeiten

Mit dem axialen Flächenträgheitsmoment Ia wird die Querschnitts-Abhängigkeit der Verbiegung eines Balkens unter Belastung zusammenfassend beschrieben. Die Verbiegung und die im Querschnitt entstehenden inneren Spannungen sind umso kleiner, je größer das axiale Flächenträgheitsmoment ist. Das wesentlichste Maß im Querschnitt ist dabei die Ausdehnung in Richtung der angreifenden Kraft. Im nebenstehenden Bild ist dargestellt, dass eine vertikale Last einen Balken weniger verbiegt, wenn er hochkant anstatt flach angeordnet ist (Vergleich zwischen den Teilbildern 1 und 2).

Polares Flächenträgheitsmoment Bearbeiten

Mit dem polaren Flächenträgheitsmoment Ip wird das Flächenträgheitsmoment einer Fläche um einen zu definierenden Punkt (meist ihr Schwerpunkt) beschrieben. Das wesentlichste Maß im Querschnitt ist dabei die radiale Ausdehnung (R im Teilbild 4 der nebenstehenden Abbildung). Nur bei kreisförmigen Flächen stimmt das polare Flächenträgheitsmoment mit dem Torsionsträgheitsmoment überein. Für andere Geometrien der Fläche lässt sich das Torsionsträgheitsmoment meist nur numerisch berechnen.

Biaxiales Flächenträgheitsmoment Bearbeiten

Das biaxiale Flächenträgheitsmoment, auch als Flächendeviationsmoment oder Flächenzentrifugalmoment bezeichnet, wird benutzt zur Berechnung der Verformung und der Spannungen

  • bei belasteten asymmetrischen Profilen (Teilbild 3 in nebenstehender Abbildung)
  • bei asymmetrischer Belastung symmetrischer (oder beliebiger) Profile.

Das Flächendeviationsmoment bzw. Flächenzentrifugalmoment (Einheit m4) darf nicht mit dem (Massen-)Deviationsmoment bzw. (Massen-)Zentrifugalmoment verwechselt werden (Einheit kg·m²).

Berechnung Bearbeiten

Einheiten Bearbeiten

Flächenträgheitsmomente haben die Dimension der vierten Potenz einer Länge (L4). Ihre Werte werden daher in der SI-Einheit m4 angegeben. SI-Präfixe werden in Form von mm4 oder cm4 genutzt, um handliche Zahlenangaben zu erhalten. Im angloamerikanischen Maßsystem erfolgt die Angabe in der Einheit in4.

Axiales Flächenträgheitsmoment Bearbeiten

Die axialen Flächenträgheitsmomente lassen sich durch diese Integrale berechnen:

  • ist der Abstand der y-Achse zum Flächenelement
  • ist der Abstand der z-Achse zum Flächenelement

Beide Größen können nur positive Werte annehmen.

Polares Flächenträgheitsmoment Bearbeiten

Das polare Flächenträgheitsmoment setzt sich aus den beiden Flächenträgheitsmomenten und zusammen:

Biaxiales Flächenträgheitsmoment Bearbeiten

Das biaxiale Flächenträgheitsmoment wird durch diese Gleichung beschrieben:

Diese auch Deviations- oder Zentrifugalmoment genannte Größe ist gleich Null, wenn die y-Achse oder die z-Achse eine Symmetrieachse des Querschnitts ist. Die zugehörigen Flächenträgheitsmomente heißen dann Hauptträgheitsmomente, sie nehmen in diesem Falle extremale Werte an. Im Gegensatz zu den axialen und zum polaren Flächenträgheitsmoment kann diese Größe sowohl positive als auch negative Werte annehmen. Neben dieser Definition mit negativem Vorzeichen wird je nach Literatur auch eine Definition mit positivem Vorzeichen verwendet, dies ist in allen Formeln, die das Deviationsmoment verwenden, zu berücksichtigen.

Satz von Steiner Bearbeiten

Alle hier genannten Flächenträgheitsmomente werden auf einen speziellen Punkt, nämlich den Flächenschwerpunkt (Flächenmittelpunkt), bezogen. Für alle anderen Punkte können die Flächenträgheitsmomente mit dem Steinerschen Satz berechnet werden.

Der 1840 von Jakob Steiner aufgestellte Satz besagt, dass sich das Flächenträgheitsmoment einer beliebigen Querschnittsfläche zusammensetzt aus den Flächenträgheitsmomenten in den Flächenmittelpunkten der einzelnen Teilflächen und dem Produkt aus dem Quadrat des Abstandes z von Schwerachse-Gesamtfläche zu Schwerachse-Teilfläche und Teilfläche A. Ein Anwendungsbeispiel ist die I-Form. Die Flächenträgheitsmomente der drei rechteckigen Teilflächen, nämlich der beiden horizontalen Flansche und des vertikalen Stegs, lassen sich über die unten angegebenen Formeln bestimmen und für die vertikale z-Achse zu einfach summieren, denn alle Schwerpunkte der Teilflächen liegen auf der gemeinsamen Schwerachse z der Gesamtfläche. Das Flächenträgheitsmoment bezüglich der y-Achse setzt sich ebenfalls aus den drei Summanden plus dem Steiner’schen Anteil der beiden Flansche zusammen.

Die Formeln sind nur gültig, wenn auf der rechten Seite der Gleichung die Flächenträgheitsmomente stehen, die sich auf ein Koordinatensystem im Flächenmittelpunkt beziehen, während die Flächenträgheitsmomente auf der linken Seite für ein beliebiges (dazu parallel liegendes) Koordinatensystem gelten.

Flächenträgheitsmoment für beliebige Polygone Bearbeiten

Trägheitsmomente beliebiger geschlossener Polygone können mit folgenden Formeln berechnet werden, wenn die Punkte gegen den Uhrzeigersinn eingegeben werden. Die Trägheitsmomente beziehen sich auf den Koordinatenursprung. Das Vorzeichen des Deviationsmoments ist konform zu den Formeln zur Koordinatentransformation. Das Polygon hat n-1 Punkte und beginnt mit Punkt 1 und endet mit Punkt n, welcher identisch Punkt 1 ist. Der Punkt i hat also die Koordinaten .

Die Formeln wurden durch Anwendung der Gaußschen Trapezformel hergeleitet.

Hauptträgheitsmomente und verdrehte Trägheitsmomente Bearbeiten

Winkel zur Hauptträgheitsachse:

Mit Hilfe dieser Formeln kann man die zugehörigen Trägheitsmomente einer Fläche berechnen, wenn die Koordinatenachsen der Fläche um einen beliebigen Winkel verdreht werden. Bei Drehung um den Winkel werden und extremal und . Bezugsachsen, die durch den Winkel beschrieben werden, nennt man Hauptträgheitsachsen. Da in früheren Jahren noch keine zuverlässigen Rechenmaschinen zur Verfügung standen, wurde ein grafisches Verfahren von Christian Otto Mohr angegeben. Der Mohrsche Trägheitskreis ist noch in vielen Lehrbüchern über die Technische Mechanik zu finden. Eine praktische Anwendung finden die verdrehten Flächenträgheitsmomente bei der Berechnung von Spannungen, wenn bei der Biegung das belastende Biegemoment nicht in die Richtung eines der beiden Hauptträgheitsmomente fällt.

Abgeleitete Größen Bearbeiten

Widerstandsmoment Bearbeiten

Das Widerstandsmoment kann man in der linearen Elastizitätstheorie verwenden, um die am Querschnitts-Rand auftretende größte Beanspruchung (Spannung) zu bestimmen. Es ist der Quotient aus dem Flächenträgheitsmoment und dem Abstand des Randes von der neutralen Faser:

Flächenträgheitsradius Bearbeiten

Für geometrisch ähnliche Bauteile (z. B. Rechtecke mit gleichem Breiten/Höhen-Verhältnis) lässt sich auch der Flächenträgheitsradius mit der Dimension Länge definieren, mit dem man Körper vergleichen kann, die im Sinne des Flächenmomentes 2. Grades ähnlich sind:

Der Flächenträgheitsradius wird oft „Trägheitsradius“ genannt, was aber Verwechslungsgefahr zum Streumassenradius birgt. Außerdem ist der Flächenträgheitsradius im Schlankheitsgrad enthalten.

Flächensteife / Flächensteifigkeit Bearbeiten

Die selten verwendete Flächensteife (kein Formelzeichen), auch Flächensteifigkeit genannt, ist das Quadrat des Trägheitsradius bzw. der Quotient aus Flächenträgheitsmoment und Querschnittsfläche:

Sowohl Flächensteife als auch Flächenträgheitsradius sollten für eine gute Materialausnutzung möglichst groß sein. Dies führt jedoch zu immer größeren, dünnwandigeren Objekten, die dann zunehmend beulgefährdet sind.

Beispiele Bearbeiten

Bezugsachsen und Bezeichnungen bei ausgewählten Querschnitten

Das Polare Trägheitsmoment 2. Grades ist , sofern der Bezugspunkt des polaren Flächenmomentes im Schnittpunkt der y- und z-Achse liegt.

Nr. Fläche Axiales Flächenmoment
2. Grades		 Bemerkungen
um y-Achse um z-Achse
1: Rechteck Das Quadrat kann als Spezialfall des Rechtecks mit berechnet werden
2: Dreieck Das oben gezeichnete gleichschenklige Dreieck ist im Allgemeinen nur um die z-Achse symmetrisch
3: Kreisring Der Kreis kann als Spezialfall des Kreisrings mit berechnet werden.
4: Ellipsenring Das Verhältnis ist das Verhältnis der halben Achsen des Ellipsen­ringes und muss bei der Berechnung des polaren Flächen­momentes für die Ellipse am Innen­rand gleich dem Verhältnis der Ellipse am Außenrand sein.

Die Ellipse kann als Spezialfall des Ellipsen­ringes mit betrachtet werden.

5: Symmetrisches Trapez
6: Regelmäßiges n-Eck ist um alle Achsen gleich
7: Kastenprofil
8: I-Träger

(Doppel-T-Träger)

9: U-Profil Für den Spezialfall mit gleicher Wandstärke ergibt sich .

Weitere Beispiele aus dem Lexikon der gesamten Technik:

Beispiel gerechnet: Flächenträgheitsmoment eines Kreises mit Radius

Skizze

Für den Kreis gilt:

Allgemein gilt:

Daher ergibt sich das axiale Flächenträgheitsmoment eines Kreises zu:

Beispiel gerechnet: Flächenträgheitsmoment eines Rechtecks

Rechteck mit Höhe h und Breite b

Moment (Integration) Bearbeiten

Momente sind in Naturwissenschaften und Technik Kenngrößen einer Verteilung, welche die Lage und Form dieser Verteilung beschreiben. Sie werden durch Integration über die mit einem potenzierten Abstand gewichteten Verteilung berechnet. In diesem Sinne ist das Flächenträgheitsmoment mit dem Massenträgheitsmoment verwandt.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Flächenträgheitsmomente – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Technische Mechanik für Dummies. Wiley-VCH Verlag, ISBN 3-527-70756-5
  2. Eintrag in Maschinenbau-Wissen.de
  3. Torsion (Mechanik) #Torsion ohne Verwölbung
  4. Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, Berlin, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 87 f.
  5. Carsten Steger: (Memento vom 3. Oktober 2018 im Internet Archive) (PDF) semanticscholar.org, 1996.
  6. Schneider Bautabellen. 20. Auflage. Werner Verlag.
  7. Hans Albert Richard, Manuela Sanders: Technische Mechanik. Festigkeitslehre (= Studium). Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0454-9, doi:10.1007/978-3-8348-9514-1.
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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel behandelt den Widerstand gegen Verbiegen oder Torsion Fur den Widerstand gegen Drehbeschleunigung siehe Massentragheitsmoment Tragheitsmoment Physikalische GrosseName FlachentragheitsmomentFormelzeichen I displaystyle I veraltet J displaystyle J Grossen undEinheitensystem Einheit DimensionSI cm4 mm4 m4 L4Das Flachentragheitsmoment auch als Flachenmoment 2 Grades bezeichnet ist eine in der Festigkeitslehre verwendete aus dem Querschnitt eines Tragers abgeleitete geometrische Grosse die zu dessen Verformungs und Spannungsberechnung bei Biege und Torsionsbeanspruchung eingefuhrt wurde Die verwendeten Formeln enthalten das Flachentragheitsmoment neben anderen Grossen wie solchen fur die Belastung und fur die Eigenschaften des verwendeten Werkstoffs 1 2 Mit Hilfe des Flachentragheitsmomentes werden auch diejenigen Belastungen berechnet deren Uberschreiten zum Knicken von Staben oder Beulen von Schalen fuhrt Das Flachentragheitsmoment darf nicht mit dem Massen Tragheitsmoment verwechselt werden das die Tragheit eines rotierenden Korpers gegenuber einer Winkelbeschleunigung charakterisiert Inhaltsverzeichnis 1 Arten 1 1 Axiales Flachentragheitsmoment 1 2 Polares Flachentragheitsmoment 1 3 Biaxiales Flachentragheitsmoment 2 Berechnung 2 1 Einheiten 2 2 Axiales Flachentragheitsmoment 2 3 Polares Flachentragheitsmoment 2 4 Biaxiales Flachentragheitsmoment 2 5 Satz von Steiner 2 6 Flachentragheitsmoment fur beliebige Polygone 2 7 Haupttragheitsmomente und verdrehte Tragheitsmomente 3 Abgeleitete Grossen 3 1 Widerstandsmoment 3 2 Flachentragheitsradius 3 2 1 Flachensteife Flachensteifigkeit 4 Beispiele 5 Moment Integration 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseArten Bearbeiten nbsp Symmetrische und asymmetrische Querschnitte eines Balkens der beispielsweise einseitig eingespannt 1 und 2 Kragtrager auf Biegung 3 oder Torsion 4 beansprucht wird Axiales Flachentragheitsmoment Bearbeiten Mit dem axialen Flachentragheitsmoment Ia wird die Querschnitts Abhangigkeit der Verbiegung eines Balkens unter Belastung zusammenfassend beschrieben Die Verbiegung und die im Querschnitt entstehenden inneren Spannungen sind umso kleiner je grosser das axiale Flachentragheitsmoment ist Das wesentlichste Mass im Querschnitt ist dabei die Ausdehnung in Richtung der angreifenden Kraft Im nebenstehenden Bild ist dargestellt dass eine vertikale Last einen Balken weniger verbiegt wenn er hochkant anstatt flach angeordnet ist Vergleich zwischen den Teilbildern 1 und 2 Polares Flachentragheitsmoment Bearbeiten Mit dem polaren Flachentragheitsmoment Ip wird das Flachentragheitsmoment einer Flache um einen zu definierenden Punkt meist ihr Schwerpunkt beschrieben Das wesentlichste Mass im Querschnitt ist dabei die radiale Ausdehnung R im Teilbild 4 der nebenstehenden Abbildung Nur bei kreisformigen Flachen stimmt das polare Flachentragheitsmoment mit dem Torsionstragheitsmoment I P I T r 4 p 2 displaystyle I mathrm P I mathrm T frac r 4 cdot pi 2 nbsp 3 uberein Fur andere Geometrien der Flache lasst sich das Torsionstragheitsmoment meist nur numerisch berechnen Biaxiales Flachentragheitsmoment Bearbeiten Das biaxiale Flachentragheitsmoment auch als Flachendeviationsmoment oder Flachenzentrifugalmoment bezeichnet wird benutzt zur Berechnung der Verformung und der Spannungen bei belasteten asymmetrischen Profilen Teilbild 3 in nebenstehender Abbildung bei asymmetrischer Belastung symmetrischer oder beliebiger Profile Das Flachendeviationsmoment bzw Flachenzentrifugalmoment Einheit m4 darf nicht mit dem Massen Deviationsmoment bzw Massen Zentrifugalmoment verwechselt werden Einheit kg m Berechnung BearbeitenEinheiten Bearbeiten Flachentragheitsmomente haben die Dimension der vierten Potenz einer Lange L4 Ihre Werte werden daher in der SI Einheit m4 angegeben SI Prafixe werden in Form von mm4 oder cm4 genutzt um handliche Zahlenangaben zu erhalten Im angloamerikanischen Masssystem erfolgt die Angabe in der Einheit in4 Axiales Flachentragheitsmoment Bearbeiten Die axialen Flachentragheitsmomente lassen sich durch diese Integrale berechnen I y A z 2 d A displaystyle I y int A z 2 mathrm d A nbsp z displaystyle z nbsp ist der Abstand der y Achse zum Flachenelement d A displaystyle mathrm d A nbsp I z A y 2 d A displaystyle I z int A y 2 mathrm d A nbsp y displaystyle y nbsp ist der Abstand der z Achse zum Flachenelement d A displaystyle mathrm d A nbsp Beide Grossen konnen nur positive Werte annehmen Polares Flachentragheitsmoment Bearbeiten Das polare Flachentragheitsmoment setzt sich aus den beiden Flachentragheitsmomenten I y displaystyle I y nbsp und I z displaystyle I z nbsp zusammen I P A r 2 d A I y I z displaystyle I mathrm P int A r 2 mathrm d A I y I z nbsp Biaxiales Flachentragheitsmoment Bearbeiten Das biaxiale Flachentragheitsmoment wird durch diese Gleichung beschrieben I z y I y z A z y d A displaystyle I zy I yz int A zy mathrm d A nbsp Diese auch Deviations oder Zentrifugalmoment genannte Grosse ist gleich Null wenn die y Achse oder die z Achse eine Symmetrieachse des Querschnitts ist Die zugehorigen Flachentragheitsmomente heissen dann Haupttragheitsmomente sie nehmen in diesem Falle extremale Werte an Im Gegensatz zu den axialen und zum polaren Flachentragheitsmoment kann diese Grosse sowohl positive als auch negative Werte annehmen Neben dieser Definition mit negativem Vorzeichen wird je nach Literatur auch eine Definition mit positivem Vorzeichen verwendet dies ist in allen Formeln die das Deviationsmoment verwenden zu berucksichtigen Satz von Steiner Bearbeiten Alle hier genannten Flachentragheitsmomente werden auf einen speziellen Punkt namlich den Flachenschwerpunkt Flachenmittelpunkt bezogen Fur alle anderen Punkte konnen die Flachentragheitsmomente mit dem Steinerschen Satz berechnet werden Der 1840 von Jakob Steiner aufgestellte Satz 4 besagt dass sich das Flachentragheitsmoment einer beliebigen Querschnittsflache zusammensetzt aus den Flachentragheitsmomenten in den Flachenmittelpunkten der einzelnen Teilflachen und dem Produkt aus dem Quadrat des Abstandes z von Schwerachse Gesamtflache zu Schwerachse Teilflache und Teilflache A Ein Anwendungsbeispiel ist die I Form Die Flachentragheitsmomente der drei rechteckigen Teilflachen namlich der beiden horizontalen Flansche und des vertikalen Stegs lassen sich uber die unten angegebenen Formeln bestimmen und fur die vertikale z Achse zu I z z displaystyle I zz nbsp einfach summieren denn alle Schwerpunkte der Teilflachen liegen auf der gemeinsamen Schwerachse z der Gesamtflache Das Flachentragheitsmoment I y y displaystyle I yy nbsp bezuglich der y Achse setzt sich ebenfalls aus den drei Summanden plus dem Steiner schen Anteil der beiden Flansche zusammen I y y I y y z s 2 A displaystyle I yy I yy z s 2 cdot A nbsp I z z I z z y s 2 A displaystyle I zz I zz y s 2 cdot A nbsp I y z I z y I y z y s z s A displaystyle I yz I zy I yz y s z s cdot A nbsp Die Formeln sind nur gultig wenn auf der rechten Seite der Gleichung die Flachentragheitsmomente stehen die sich auf ein Koordinatensystem im Flachenmittelpunkt beziehen wahrend die Flachentragheitsmomente auf der linken Seite fur ein beliebiges dazu parallel liegendes Koordinatensystem gelten Flachentragheitsmoment fur beliebige Polygone Bearbeiten Tragheitsmomente beliebiger geschlossener Polygone konnen mit folgenden Formeln berechnet werden wenn die Punkte gegen den Uhrzeigersinn eingegeben werden Die Tragheitsmomente beziehen sich auf den Koordinatenursprung Das Vorzeichen des Deviationsmoments I y z displaystyle I yz nbsp ist konform zu den Formeln zur Koordinatentransformation Das Polygon hat n 1 Punkte und beginnt mit Punkt 1 und endet mit Punkt n welcher identisch Punkt 1 ist Der Punkt i hat also die Koordinaten y i z i displaystyle y i z i nbsp I y y 1 12 i 1 n 1 z i 2 z i z i 1 z i 1 2 a i displaystyle I yy frac 1 12 sum i 1 n 1 z i 2 z i z i 1 z i 1 2 cdot a i nbsp I z z 1 12 i 1 n 1 y i 2 y i y i 1 y i 1 2 a i displaystyle I zz frac 1 12 sum i 1 n 1 y i 2 y i y i 1 y i 1 2 cdot a i nbsp I y z 1 24 i 1 n 1 y i z i 1 2 y i z i 2 y i 1 z i 1 y i 1 z i a i displaystyle I yz frac 1 24 sum i 1 n 1 y i z i 1 2y i z i 2y i 1 z i 1 y i 1 z i cdot a i nbsp a i y i z i 1 y i 1 z i displaystyle a i y i z i 1 y i 1 z i nbsp Die Formeln wurden durch Anwendung der Gaussschen Trapezformel hergeleitet 5 Haupttragheitsmomente und verdrehte Tragheitsmomente Bearbeiten I h h 1 2 I y y I z z 1 2 I y y I z z cos 2 ϕ I y z sin 2 ϕ displaystyle I eta eta frac 1 2 I yy I zz frac 1 2 I yy I zz cdot cos 2 cdot phi I yz sin 2 cdot phi nbsp I 3 3 1 2 I y y I z z 1 2 I y y I z z cos 2 ϕ I y z sin 2 ϕ displaystyle I xi xi frac 1 2 I yy I zz frac 1 2 I yy I zz cdot cos 2 cdot phi I yz sin 2 cdot phi nbsp I h 3 1 2 I y y I z z sin 2 ϕ I y z cos 2 ϕ displaystyle I eta xi frac 1 2 I yy I zz cdot sin 2 cdot phi I yz cdot cos 2 cdot phi nbsp Winkel zur Haupttragheitsachse ϕ 1 2 arctan 2 I y z I y y I z z displaystyle phi frac 1 2 cdot arctan frac 2 cdot I yz I yy I zz nbsp 6 Mit Hilfe dieser Formeln kann man die zugehorigen Tragheitsmomente einer Flache berechnen wenn die Koordinatenachsen der Flache um einen beliebigen Winkel ϕ displaystyle phi nbsp verdreht werden Bei Drehung um den Winkel ϕ displaystyle phi nbsp werden I h h displaystyle I eta eta nbsp und I 3 3 displaystyle I xi xi nbsp extremal und I h 3 0 displaystyle I eta xi 0 nbsp Bezugsachsen die durch den Winkel ϕ displaystyle phi nbsp beschrieben werden nennt man Haupttragheitsachsen 7 Da in fruheren Jahren noch keine zuverlassigen Rechenmaschinen zur Verfugung standen wurde ein grafisches Verfahren von Christian Otto Mohr angegeben Der Mohrsche Tragheitskreis ist noch in vielen Lehrbuchern uber die Technische Mechanik zu finden Eine praktische Anwendung finden die verdrehten Flachentragheitsmomente bei der Berechnung von Spannungen wenn bei der Biegung das belastende Biegemoment nicht in die Richtung eines der beiden Haupttragheitsmomente fallt Abgeleitete Grossen BearbeitenWiderstandsmoment Bearbeiten Das Widerstandsmoment W displaystyle W nbsp kann man in der linearen Elastizitatstheorie verwenden um die am Querschnitts Rand auftretende grosste Beanspruchung Spannung zu bestimmen Es ist der Quotient aus dem Flachentragheitsmoment und dem Abstand a max displaystyle a max nbsp des Randes von der neutralen Faser W I a max displaystyle W frac I a max nbsp Flachentragheitsradius Bearbeiten Fur geometrisch ahnliche Bauteile z B Rechtecke mit gleichem Breiten Hohen Verhaltnis lasst sich auch der Flachentragheitsradius mit der Dimension Lange definieren mit dem man Korper vergleichen kann die im Sinne des Flachenmomentes 2 Grades ahnlich sind i y I y A i z I z A displaystyle i y sqrt I y over A qquad i z sqrt I z over A nbsp i P I P A displaystyle i P sqrt I P over A nbsp Der Flachentragheitsradius wird oft Tragheitsradius genannt was aber Verwechslungsgefahr zum Streumassenradius birgt Ausserdem ist der Flachentragheitsradius im Schlankheitsgrad l displaystyle lambda nbsp enthalten Flachensteife Flachensteifigkeit Bearbeiten Die selten verwendete Flachensteife kein Formelzeichen auch Flachensteifigkeit genannt ist das Quadrat des Tragheitsradius bzw der Quotient aus Flachentragheitsmoment und Querschnittsflache F l a c h e n s t e i f e i 2 I A displaystyle mathrm Fl ddot a chensteife i 2 frac I A nbsp Sowohl Flachensteife als auch Flachentragheitsradius sollten fur eine gute Materialausnutzung moglichst gross sein Dies fuhrt jedoch zu immer grosseren dunnwandigeren Objekten die dann zunehmend beulgefahrdet sind Beispiele Bearbeiten nbsp Bezugsachsen und Bezeichnungen bei ausgewahlten QuerschnittenDas Polare Tragheitsmoment 2 Grades ist I p I y I z displaystyle I p I y I z nbsp sofern der Bezugspunkt des polaren Flachenmomentes im Schnittpunkt der y und z Achse liegt Nr Flache Axiales Flachenmoment2 Grades Bemerkungenum y Achse um z Achse1 Rechteck A b h displaystyle A b cdot h nbsp I y b h 3 12 A h 2 12 displaystyle I y frac b cdot h 3 12 A cdot frac h 2 12 nbsp I z h b 3 12 A b 2 12 displaystyle I z frac h cdot b 3 12 A cdot frac b 2 12 nbsp Das Quadrat kann als Spezialfall des Rechtecks mit b h displaystyle b h nbsp berechnet werden2 Dreieck A a h 2 displaystyle A frac a cdot h 2 nbsp I y a h 3 36 A h 2 18 displaystyle I y frac a cdot h 3 36 frac A cdot h 2 18 nbsp I z h a 3 48 A a 2 24 displaystyle I z frac h cdot a 3 48 frac A cdot a 2 24 nbsp Das oben gezeichnete gleichschenklige Dreieck ist im Allgemeinen nur um die z Achse symmetrisch3 Kreisring A p R 2 r 2 displaystyle A pi cdot R 2 r 2 nbsp I y I z p 4 R 4 r 4 A 4 R 2 r 2 displaystyle I y I z frac pi 4 cdot R 4 r 4 frac A 4 cdot R 2 r 2 nbsp Der Kreis kann als Spezialfall des Kreisrings mit r 0 displaystyle r 0 nbsp berechnet werden 4 Ellipsenring A p A B a b displaystyle A pi cdot A cdot B a cdot b nbsp I y p 4 A B 3 a b 3 displaystyle I y frac pi 4 cdot A cdot B 3 a cdot b 3 nbsp I z p 4 A 3 B a 3 b displaystyle I z frac pi 4 cdot A 3 cdot B a 3 cdot b nbsp Das Verhaltnis n A B a b 1 displaystyle n A B a b geq 1 nbsp ist das Verhaltnis der halben Achsen des Ellipsen ringes und muss bei der Berechnung des polaren Flachen momentes fur die Ellipse am Innen rand gleich dem Verhaltnis der Ellipse am Aussenrand sein Die Ellipse kann als Spezialfall des Ellipsen ringes mit a b 0 displaystyle a b 0 nbsp betrachtet werden 5 Symmetrisches Trapez A b 1 b 2 h 2 displaystyle A b 1 b 2 cdot frac h 2 nbsp I y h 3 b 1 b 2 2 2 b 1 b 2 36 b 1 b 2 displaystyle I y h 3 cdot frac b 1 b 2 2 2 cdot b 1 cdot b 2 36 cdot b 1 b 2 nbsp I z h 48 b 1 b 2 b 1 2 b 2 2 displaystyle I z frac h 48 cdot b 1 b 2 cdot b 1 2 b 2 2 nbsp 6 Regelmassiges n Eck A n a 2 4 tan p n displaystyle A frac n cdot a 2 4 cdot tan frac pi n nbsp I y n 96 a 4 2 cos a 1 cos a 2 sin a displaystyle I y frac n 96 cdot a 4 cdot frac 2 cos alpha 1 cos alpha 2 cdot sin alpha nbsp I y displaystyle I y nbsp ist um alle Achsen gleich7 Kastenprofil A H B h b displaystyle A H cdot B h cdot b nbsp I y 1 12 B H 3 b h 3 displaystyle I y frac 1 12 cdot B cdot H 3 b cdot h 3 nbsp I z 1 12 B 3 H b 3 h displaystyle I z frac 1 12 cdot B 3 cdot H b 3 cdot h nbsp 8 I Trager Doppel T Trager I z H h B 3 h B b 3 12 displaystyle I z frac left H h right cdot B 3 h cdot left B b right 3 12 nbsp 9 U Profil I z B b 3 h B 3 H h 3 B b 2 h B 2 H h 2 4 B b h B H h displaystyle I z frac B b 3 cdot h B 3 cdot H h 3 frac B b 2 cdot h B 2 cdot H h 2 4 cdot B b cdot h B cdot H h nbsp Fur den Spezialfall mit gleicher Wandstarke t displaystyle t nbsp ergibt sich I z b 3 t 6 H t 3 12 B 2 H b t 2 2 2 b t H t displaystyle I z frac b 3 cdot t 6 frac H cdot t 3 12 frac B 2 cdot H cdot b cdot t 2 2 cdot 2 cdot b cdot t H cdot t nbsp Weitere Beispiele aus dem Lexikon der gesamten Technik nbsp nbsp nbsp Beispiel gerechnet Flachentragheitsmoment eines Kreises mit Radius R displaystyle R nbsp nbsp SkizzeI p A r 2 d A displaystyle I p int limits A r 2 cdot dA nbsp 0 R r 2 2 p r d r displaystyle int limits 0 R r 2 cdot 2 cdot pi cdot r cdot dr nbsp 2 p 0 R r 3 d r 2 p r 4 4 0 R p 2 R 4 displaystyle 2 cdot pi cdot int limits 0 R r 3 cdot dr 2 cdot pi cdot left frac r 4 4 right 0 R frac pi 2 cdot R 4 nbsp Fur den Kreis gilt I x I y displaystyle I x I y nbsp Allgemein gilt I p I x I y displaystyle I p I x I y nbsp Daher ergibt sich das axiale Flachentragheitsmoment eines Kreises zu I x I y I p 2 p 4 R 4 displaystyle I x I y frac I p 2 frac pi 4 cdot R 4 nbsp Beispiel gerechnet Flachentragheitsmoment eines Rechtecks nbsp Rechteck mit Hohe h und Breite bFur I y displaystyle I y nbsp I y A z 2 d A b 2 b 2 h 2 h 2 z 2 d z d y b z 3 3 h 2 h 2 b 3 h 3 2 3 h 3 2 3 h 3 b 12 displaystyle begin aligned I y amp int A z 2 mathrm dA int frac b 2 frac b 2 int frac h 2 frac h 2 z 2 mathrm dz dy left b frac z 3 3 right frac h 2 frac h 2 frac b 3 left frac h 3 2 3 left frac h 3 2 3 right right frac h 3 b 12 end aligned nbsp Fur I z displaystyle I z nbsp Mit I z A y 2 d A displaystyle I z textstyle iint limits A y 2 mathrm d A nbsp ergibt sich I z b 2 b 2 h 2 h 2 y 2 d z d y displaystyle I z int limits frac b 2 frac b 2 int limits frac h 2 frac h 2 y 2 mathrm d z mathrm d y nbsp Das Ausfuhren der inneren Integration h 2 h 2 y 2 d z displaystyle textstyle int h 2 h 2 y 2 mathrm d z nbsp und danach der ausseren Integration fuhrt schliesslich auf I z displaystyle I z nbsp Innere Integration h 2 h 2 y 2 d z y 2 h 2 h 2 d z y 2 h 2 h 2 y 2 h displaystyle int limits frac h 2 frac h 2 y 2 mathrm d z y 2 int limits frac h 2 frac h 2 mathrm d z y 2 left frac h 2 frac h 2 right y 2 h nbsp Aussere Integration I z b 2 b 2 y 2 h d y h b 2 b 2 y 2 d y 2 h b 2 3 3 h b 3 12 displaystyle I z int limits frac b 2 frac b 2 y 2 h mathrm d y h int limits frac b 2 frac b 2 y 2 mathrm d y 2h frac b 2 3 3 frac hb 3 12 nbsp Moment Integration BearbeitenMomente sind in Naturwissenschaften und Technik Kenngrossen einer Verteilung welche die Lage und Form dieser Verteilung beschreiben Sie werden durch Integration uber die mit einem potenzierten Abstand gewichteten Verteilung berechnet In diesem Sinne ist das Flachentragheitsmoment mit dem Massentragheitsmoment verwandt Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Flachentragheitsmomente Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Onlineberechnung von Flachentragheitsmomenten und WiderstandsmomentenEinzelnachweise Bearbeiten Technische Mechanik fur Dummies Wiley VCH Verlag ISBN 3 527 70756 5 Eintrag in Maschinenbau Wissen de Torsion Mechanik Torsion ohne Verwolbung Karl Eugen Kurrer The History of the Theory of Structures Searching for Equilibrium Ernst amp Sohn Berlin ISBN 978 3 433 03229 9 S 87 f Carsten Steger On the Calculation of Arbitrary Moments of Polygons Memento vom 3 Oktober 2018 im Internet Archive PDF semanticscholar org 1996 Schneider Bautabellen 20 Auflage Werner Verlag Hans Albert Richard Manuela Sanders Technische Mechanik Festigkeitslehre Studium Vieweg Teubner Wiesbaden 2008 ISBN 978 3 8348 0454 9 doi 10 1007 978 3 8348 9514 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Flachentragheitsmoment amp oldid 236681597