Die Hauptachsentransformation HAT ist in der euklidischen Geometrie ein Verfahren mit dem man die Gleichungen von Quadriken Ellipse Hyperbel Ellipsoid Hyperboloid durch eine geeignete Koordinatentransformation auf die jeweilige Normalform bringt und damit ihren Typ und ihre geometrischen Eigenschaften Mittelpunkt Scheitel Halbachsen bestimmen kann Damit Langen und Winkel bei der Transformation nicht verandert werden muss man orthogonale Koordinatentransformationen Drehungen Spiegelungen Verschiebungen verwenden s u Das wesentliche Hilfsmittel dieses Verfahrens ist die Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix mit Hilfe einer orthogonalen Matrix Hauptachsentransformation einer Ellipse mit Hilfe einer Drehung des KoordinatensystemsNeben der rein mathematisch geometrischen Bedeutung der Hauptachsentransformation zur Bestimmung des Typs von Quadriken wird sie in zahlreichen Disziplinen der theoretischen Physik sowie in der Informatik und den Geowissenschaften eingesetzt s Abschnitt Anwendung Inhaltsverzeichnis 1 Einfache Beispiele und Motivation des Verfahrens 1 1 Beispiel 1 1 2 Beispiel 2 1 3 Beispiel 3 1 4 Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix Hauptachsentheorem 2 Hauptachsentransformation eines Kegelschnitts 2 1 Beschreibung der Methode 2 2 Beispiel 3 Fortsetzung 2 3 Beispiel 4 Hyperbel 2 4 Beispiel 5 Parabel 3 Hauptachsentransformation von Flachen 3 1 Beispiel Hyperboloid 3 2 Beispiel Kegel 4 Hauptachsentransformation in beliebiger Dimension 5 Anwendung 6 Literatur 7 EinzelnachweiseEinfache Beispiele und Motivation des Verfahrens BearbeitenBeispiel 1 Bearbeiten Dass die Gleichung x 2 y 2 4 x 2 y 4 0 displaystyle x 2 y 2 4x 2y 4 0 nbsp den Kreis mit Mittelpunkt 2 1 displaystyle 2 1 nbsp und Radius 3 displaystyle 3 nbsp beschreibt erkennt man indem man die Gleichung durch quadratische Erganzung auf die Form x 2 2 y 1 2 9 displaystyle x 2 2 y 1 2 9 nbsp bringt nbsp Ellipse mit achsenparallelen HauptachsenBeispiel 2 Bearbeiten Auch die Gleichung 4 x 2 9 y 2 8 x 36 y 4 0 displaystyle 4x 2 9y 2 8x 36y 4 0 nbsp lasst sich durch quadratische Erganzung auf die Form x 1 2 9 y 2 2 4 1 displaystyle tfrac x 1 2 9 tfrac y 2 2 4 1 nbsp bringen und man erkennt dass es sich um eine Ellipse mit Mittelpunkt 1 2 displaystyle 1 2 nbsp und den Halbachsen a 3 b 2 displaystyle a 3 b 2 nbsp handelt Beispiel 3 Bearbeiten Deutlich schwieriger ist es der Gleichung 5 x 2 2 3 x y 7 y 2 16 0 displaystyle 5x 2 2 sqrt 3 color red xy 7y 2 16 0 nbsp anzusehen dass es sich um eine Ellipse mit den Halbachsen a 2 b 2 displaystyle a sqrt 2 b 2 nbsp handelt Das Problem ruhrt von dem gemischten Term x y displaystyle dots color red xy nbsp her Er ist ein Zeichen dafur dass die zueinander senkrechten Hauptachsen in diesem Fall nicht parallel zu den Koordinatenachsen sind Dies lasst sich durch Anwendung einer geeigneten Drehung des Koordinatensystems um den Nullpunkt andern Der Drehwinkel ergibt sich aus den Koeffizienten bei x 2 y 2 x y displaystyle x 2 y 2 xy nbsp s Kegelschnitte Dieses anschauliche Verfahren wird aber bei der Untersuchung von Quadriken im euklidischen Raum sehr unubersichtlich Die Lineare Algebra stellt ein Verfahren zur Verfugung das in jeder Dimension anwendbar ist die Diagonalisierung symmetrischer Matrizen Hierzu schreibt man die Gleichung der Quadrik mit Hilfe einer symmetrischen Matrix Auf der Diagonalen der Matrix stehen die Koeffizienten von x 2 y 2 displaystyle x 2 y 2 nbsp auf der Nebendiagonale jeweils die Halfte des Koeffizienten von x y displaystyle color red xy nbsp 5 x 2 2 3 x y 7 y 2 16 x y 5 3 3 7 x y 16 x T A x 16 0 displaystyle 5x 2 2 sqrt 3 color red xy 7y 2 16 begin pmatrix x amp y end pmatrix begin pmatrix 5 amp color red sqrt 3 color red sqrt 3 amp 7 end pmatrix begin pmatrix x y end pmatrix 16 vec x T A vec x 16 0 nbsp Nun diagonalisiert man die Matrix A displaystyle A nbsp durch Anwendung einer orthogonalen Koordinatentransformation Drehung oder Drehspiegelung im R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp Bei einer orthogonalen Koordinatentransformation werden Langen nicht verandert sodass man nach der Transformation und einer eventuell notigen quadratischen Erganzung s oben die Langen der Halbachsen und Lagen von Mittelpunkt und Scheitel ablesen kann Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix Hauptachsentheorem Bearbeiten Zu einer symmetrischen n n displaystyle left n times n right nbsp Matrix A displaystyle A nbsp gibt es immer eine orthogonale Matrix S displaystyle S nbsp sodass D A S T A S displaystyle D A S T AS nbsp eine Diagonalmatrix ist Die Hauptdiagonale der Diagonalmatrix D A displaystyle D A nbsp besteht aus den Eigenwerten l 1 l n displaystyle lambda 1 ldots lambda n nbsp der Matrix A displaystyle A nbsp Eine symmetrische n n displaystyle left n times n right nbsp Matrix besitzt immer n displaystyle n nbsp reelle Eigenwerte unter Beachtung der jeweiligen Vielfachheit Fur die Matrix S displaystyle S nbsp wahlt man als Spaltenvektoren n displaystyle n nbsp orthonormierte Eigenvektoren e 1 e n displaystyle vec e 1 ldots vec e n nbsp der Matrix Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten sind immer orthogonal Falls ein Eigenraum eine Dimension grosser als 1 hat muss man beispielsweise mit Hilfe des Gram Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens eine Orthonormalbasis des Eigenraums bestimmen Die Determinante von S displaystyle S nbsp ist 1 displaystyle pm 1 nbsp Damit im ebenen Fall S displaystyle S nbsp eine Drehmatrix ist muss man die Orientierungen der benutzten Eigenvektoren so wahlen dass det S 1 displaystyle det S 1 nbsp ist Interpretiert man die Matrix A displaystyle A nbsp als lineare Abbildung im R n displaystyle mathbb R n nbsp so kann man die Matrix S displaystyle S nbsp als eine Transformation auf die neue Basis e 1 e n displaystyle vec e 1 ldots vec e n nbsp auffassen Zwischen den alten und neuen Koordinaten besteht die Beziehung x S 3 displaystyle vec x S vec xi nbsp Die Wirkung der Matrix A displaystyle A nbsp im neuen Koordinatensystem ubernimmt die Diagonalmatrix D A displaystyle D A nbsp Eine wichtige Eigenschaft der orthogonalen Matrix S displaystyle S nbsp ist S 1 S T displaystyle S 1 S T nbsp Damit lassen sich auch leicht alte Koordinaten in neue umrechnen 3 S 1 x S T x displaystyle vec xi S 1 vec x S T vec x nbsp Die Gleichung einer Quadrik i j 1 n a i j x i x j 2 i 1 n b i x i c 0 displaystyle sum i j 1 n a ij x i x j 2 sum i 1 n b i x i c 0 nbsp hat einen quadratischen Anteil i j 1 n a i j x i x j displaystyle sum i j 1 n a ij x i x j nbsp der durch eine o B d A symmetrische Matrix a i j displaystyle left a ij right nbsp beschrieben werden kann Mit dem Hauptachsentheorem wird dieser quadratische Anteil in die Diagonalgestalt i 1 n l i 3 i 2 displaystyle sum i 1 n lambda i xi i 2 nbsp transformiert Es kommen danach also keine gemischten Terme 3 i 3 j displaystyle xi i xi j nbsp mit i j displaystyle i not j nbsp mehr vor Hauptachsentransformation eines Kegelschnitts BearbeitenBeschreibung der Methode Bearbeiten Ein Kegelschnitt im R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp genugt einer Gleichung a x 2 b x y c y 2 d x e y f 0 displaystyle color blue a x 2 color red b xy color blue c y 2 dx ey f 0 nbsp Diese Gleichung lasst sich in Matrizenform so schreiben x y a b 2 b 2 c x y d x e y f 0 displaystyle begin pmatrix x amp y end pmatrix begin pmatrix a amp b 2 b 2 amp c end pmatrix begin pmatrix x y end pmatrix dx ey f 0 nbsp 1 Schritt Setze A a b 2 b 2 c displaystyle A begin pmatrix color blue a amp color red b 2 color red b 2 amp color blue c end pmatrix nbsp 2 Schritt Bestimme die Eigenwerte der Matrix A displaystyle A nbsp als Losungen der Eigenwertgleichung det A l E 0 displaystyle det left A lambda E right 0 nbsp Die Eigenwerte seien l 1 l 2 displaystyle lambda 1 lambda 2 nbsp 3 Schritt Bestimme normierte Eigenvektoren aus den 2 Gleichungssystemen A l 1 E x 0 e 1 displaystyle left A lambda 1 E right cdot vec x 0 quad rightarrow quad vec e 1 nbsp A l 2 E x 0 e 2 displaystyle left A lambda 2 E right cdot vec x 0 quad rightarrow quad vec e 2 nbsp 4 Schritt Setze S e 1 e 2 displaystyle S vec e 1 vec e 2 nbsp und ersetze x y displaystyle x y nbsp durch 3 h displaystyle xi eta nbsp mit Hilfe von x y S 3 h displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix S begin pmatrix xi eta end pmatrix nbsp 5 Schritt Es ergibt sich die Gleichung des Kegelschnitts in den neuen Koordinaten l 1 3 2 l 2 h 2 e 3 d h w 0 displaystyle lambda 1 xi 2 lambda 2 eta 2 varepsilon xi delta eta omega 0 nbsp Da der quadratische Teil in dieser Gleichung durch die Eigenwerte als Koeffizienten und das Verschwinden des gemischten Teils festliegt mussen nur im linearen Teil d x e y displaystyle dx ey nbsp die alten Koordinaten x und y ersetzt werden 6 Schritt Durch quadratische Erganzung erhalt man die Mittelpunkts bzw Scheitelform des Kegelschnitts und kann Mittelpunkt bei Ellipse Hyperbel bzw Scheitel bei Parabel und eventuell Halbachsen ablesen 7 Schritt Mit Hilfe der Beziehung x y S 3 h displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix S begin pmatrix xi eta end pmatrix nbsp lassen sich schliesslich die x displaystyle color red x nbsp y displaystyle color red y nbsp Koordinaten von Mittelpunkt und Scheitel berechnen Beispiel 3 Fortsetzung Bearbeiten nbsp Hauptachsentransformation Ellipse mit NICHT achsenparallelen Hauptachsen5 x 2 2 3 x y 7 y 2 16 0 displaystyle 5x 2 2 sqrt 3 color red xy 7y 2 16 0 nbsp 1 Schritt A 5 3 3 7 displaystyle A begin pmatrix 5 amp color red sqrt 3 color red sqrt 3 amp 7 end pmatrix nbsp 2 Schritt det A l E 5 l 3 3 7 l l 2 12 l 32 l 8 l 4 0 displaystyle det left A lambda E right begin vmatrix 5 lambda amp sqrt 3 sqrt 3 amp 7 lambda end vmatrix lambda 2 12 lambda 32 lambda 8 lambda 4 0 nbsp l 1 8 l 2 4 displaystyle lambda 1 8 lambda 2 4 nbsp 3 Schritt Ein normierter Eigenvektor zu l 1 8 displaystyle lambda 1 8 nbsp ergibt sich aus dem linearen Gleichungssystem 3 x 3 y 0 3 x y 0 displaystyle begin matrix 3x sqrt 3 y amp amp 0 sqrt 3 x y amp amp 0 end matrix nbsp zu e 1 1 2 3 2 displaystyle vec e 1 begin pmatrix 1 2 sqrt 3 2 end pmatrix nbsp Ein normierter Eigenvektor zu l 2 4 displaystyle lambda 2 4 nbsp ergibt sich aus dem linearen Gleichungssystem x 3 y 0 3 x 3 y 0 displaystyle begin matrix x sqrt 3 y amp amp 0 sqrt 3 x 3y amp amp 0 end matrix nbsp zu e 2 3 2 1 2 displaystyle vec e 2 begin pmatrix sqrt 3 2 1 2 end pmatrix nbsp 4 Schritt S 1 2 3 2 3 2 1 2 displaystyle S begin pmatrix 1 2 amp sqrt 3 2 sqrt 3 2 amp 1 2 end pmatrix nbsp und aus x y S 3 h displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix S begin pmatrix xi eta end pmatrix nbsp ergibt sich x 1 2 3 1 2 3 h y 1 2 3 3 1 2 h displaystyle begin matrix x amp amp tfrac 1 2 xi tfrac 1 2 sqrt 3 eta y amp amp tfrac 1 2 sqrt 3 xi tfrac 1 2 eta end matrix nbsp Wegen det S 1 displaystyle det S 1 nbsp ist die Transformation eine Drehung und zwar um den Winkel f 60 displaystyle varphi 60 circ nbsp Letzteres folgt aus cos f 1 2 sin f 3 2 displaystyle cos varphi 1 2 sin varphi sqrt 3 2 nbsp s Drehmatrix 5 Schritt 8 3 2 4 h 2 16 3 2 2 h 2 4 1 displaystyle 8 xi 2 4 eta 2 16 quad rightarrow quad frac xi 2 2 frac eta 2 4 1 nbsp 6 Schritt Da in der letzten Gleichung weder 3 displaystyle xi nbsp noch h displaystyle eta nbsp linear vorkommen ist keine quadratische Erganzung notig Ergebnis Der Kegelschnitt ist eine Ellipse mit Mittelpunkt im Nullpunkt und den Halbachsen a 2 b 2 displaystyle a sqrt 2 b 2 nbsp Die Scheitel sind in 3 displaystyle xi nbsp h displaystyle eta nbsp Koordinaten 2 0 3 h 0 2 3 h displaystyle pm sqrt 2 0 xi eta 0 pm 2 xi eta nbsp 7 Schritt Die x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp Koordinaten der Scheitel sind s 4 Schritt 1 2 3 2 1 2 3 2 3 1 3 1 displaystyle tfrac 1 sqrt 2 sqrt tfrac 3 2 tfrac 1 sqrt 2 sqrt tfrac 3 2 sqrt 3 1 sqrt 3 1 nbsp Bemerkung Das neue Koordinatensystem und die Matrix S sind nicht eindeutig bestimmt Beide hangen von der Reihenfolge der Eigenwerte und der Orientierung der gewahlten Eigenvektoren ab Die Lage des Kegelschnitts Mittelpunkt Scheitel im x y Koordinatensystem ist aber durch die gegebene Kegelschnittgleichung eindeutig bestimmt Beispiel 4 Hyperbel Bearbeiten nbsp Hauptachsentransformation einer HyperbelDer Kegelschnitt hat die Gleichung 3 x 2 6 x y 5 y 2 48 10 x 64 10 y 19 0 displaystyle 3x 2 6xy 5y 2 frac 48 sqrt 10 x frac 64 sqrt 10 y 19 0 nbsp 1 Schritt A 3 3 3 5 displaystyle A begin pmatrix 3 amp color red 3 color red 3 amp 5 end pmatrix nbsp 2 Schritt det A l E 3 l 3 3 5 l l 2 2 l 24 0 displaystyle det left A lambda E right begin vmatrix 3 lambda amp 3 3 amp 5 lambda end vmatrix lambda 2 2 lambda 24 0 nbsp l 1 6 l 2 4 displaystyle rightarrow quad lambda 1 6 lambda 2 4 nbsp 3 Schritt e 1 1 10 1 3 e 2 1 10 3 1 displaystyle vec e 1 frac 1 sqrt 10 begin pmatrix 1 3 end pmatrix quad vec e 2 frac 1 sqrt 10 begin pmatrix 3 1 end pmatrix nbsp 4 Schritt S 1 10 3 10 3 10 1 10 x 1 10 3 3 10 h y 3 10 3 1 10 h displaystyle S begin pmatrix tfrac 1 sqrt 10 amp tfrac 3 sqrt 10 tfrac 3 sqrt 10 amp tfrac 1 sqrt 10 end pmatrix quad rightarrow quad begin matrix x amp amp tfrac 1 sqrt 10 xi tfrac 3 sqrt 10 eta y amp amp tfrac 3 sqrt 10 xi tfrac 1 sqrt 10 eta end matrix nbsp 5 Schritt 6 3 2 4 h 2 24 3 8 h 19 0 displaystyle 6 xi 2 4 eta 2 24 xi 8 eta 19 0 nbsp 6 Schritt 6 3 2 2 4 h 1 2 1 displaystyle 6 xi 2 2 4 eta 1 2 1 nbsp Der Kegelschnitt ist eine Hyperbel mit dem Mittelpunkt 2 1 3 h displaystyle 2 1 xi eta nbsp und den Halbachsen a 1 6 b 1 2 displaystyle a tfrac 1 sqrt 6 b tfrac 1 2 nbsp 7 SchrittDie x y Koordinaten des Mittelpunktes sind 1 10 7 10 displaystyle tfrac 1 sqrt 10 tfrac 7 sqrt 10 nbsp s 4 Schritt Beispiel 5 Parabel Bearbeiten nbsp Hauptachsentransformation einer ParabelDer Kegelschnitt hat die Gleichung x 2 2 3 x y 3 y 2 4 3 x 4 y 24 0 displaystyle x 2 2 sqrt 3 xy 3y 2 4 sqrt 3 x 4y 24 0 nbsp Es ist A 1 3 3 3 displaystyle A begin pmatrix 1 amp sqrt 3 sqrt 3 amp 3 end pmatrix nbsp Die zugehorigen Eigenwerte sind l 1 0 l 2 4 displaystyle lambda 1 color red 0 lambda 2 4 nbsp und die Transformationsmatrix ist S 3 2 1 2 1 2 3 2 displaystyle S begin pmatrix sqrt 3 2 amp 1 2 1 2 amp sqrt 3 2 end pmatrix nbsp In 3 displaystyle xi nbsp h displaystyle eta nbsp Koordinaten genugt der Kegelschnitt der Gleichung 4 h 2 8 3 24 0 3 1 2 h 2 3 displaystyle 4 eta 2 8 xi 24 0 quad rightarrow quad xi tfrac 1 2 eta 2 3 nbsp Also ist der Kegelschnitt eine Parabel mit dem Scheitel 3 0 3 h displaystyle 3 0 xi eta nbsp bzw in x y Koordinaten 3 2 3 3 2 displaystyle tfrac 3 2 sqrt 3 tfrac 3 2 nbsp Die Matrix S displaystyle S nbsp beschreibt eine Drehung um den Winkel 30 displaystyle 30 circ nbsp Hauptachsentransformation von Flachen BearbeitenDie Hauptachsentransformation fur Quadriken im Raum lauft nach der gleichen Methode ab wie im ebenen Fall fur Kegelschnitte Allerdings sind die Rechnungen deutlich umfangreicher Beispiel Hyperboloid Bearbeiten Mit Hilfe der Hauptachsentransformation soll festgestellt werden welche Flache durch die folgende Gleichung beschrieben wird x 2 3 y 2 z 2 6 x z 1 displaystyle x 2 3y 2 z 2 6xz 1 nbsp 1 Schritt A 1 0 3 0 3 0 3 0 1 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 0 amp 3 0 amp 3 amp 0 3 amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp 2 Schritt det A l E 1 l 0 3 0 3 l 0 3 0 1 l 3 l l 2 2 l 8 0 displaystyle det left A lambda E right begin vmatrix 1 lambda amp 0 amp 3 0 amp 3 lambda amp 0 3 amp 0 amp 1 lambda end vmatrix 3 lambda lambda 2 2 lambda 8 0 nbsp Die Eigenwerte sind l 1 3 l 2 2 l 3 4 displaystyle lambda 1 3 lambda 2 2 lambda 3 4 nbsp 3 SchrittBestimmung der Eigenvektoren zu l 1 3 4 x 3 z 0 0 0 3 x 4 z 0 e 1 0 1 0 displaystyle lambda 1 3 qquad begin matrix 4x amp amp 3z amp amp 0 amp amp 0 amp amp 0 3x amp amp 4z amp amp 0 end matrix quad rightarrow quad vec e 1 begin pmatrix 0 1 0 end pmatrix nbsp zu l 2 2 e 2 1 2 1 0 1 displaystyle lambda 2 2 quad rightarrow quad vec e 2 tfrac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 0 1 end pmatrix nbsp und zu l 3 4 e 3 1 2 1 0 1 displaystyle lambda 3 4 quad rightarrow quad vec e 3 tfrac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 0 1 end pmatrix nbsp nbsp Hauptachsentransformation einschaliges Hyperboloid in 3 displaystyle xi nbsp h displaystyle eta nbsp z displaystyle zeta nbsp Koordinaten mit 2 Scheiteln und einem Nebenscheitel4 Schritt S 0 1 2 1 2 1 0 0 0 1 2 1 2 x 1 2 h 1 2 z y 3 z 1 2 h 1 2 z displaystyle S begin pmatrix 0 amp tfrac 1 sqrt 2 amp tfrac 1 sqrt 2 1 amp 0 amp 0 0 amp tfrac 1 sqrt 2 amp tfrac 1 sqrt 2 end pmatrix quad rightarrow quad begin matrix x amp amp tfrac 1 sqrt 2 eta tfrac 1 sqrt 2 zeta y amp amp xi z amp amp tfrac 1 sqrt 2 eta tfrac 1 sqrt 2 zeta end matrix nbsp 5 Schritt 3 3 2 2 h 2 4 z 2 1 displaystyle 3 xi 2 2 eta 2 4 zeta 2 1 nbsp 6 SchrittDie Quadrik ist ein einschaliges Hyperboloid s Liste der Quadriken mit dem Mittelpunkt im Nullpunkt den Halbachsen a 1 3 b 1 2 c 1 2 displaystyle a tfrac 1 sqrt 3 b tfrac 1 sqrt 2 c tfrac 1 2 nbsp den Scheiteln a 0 0 0 b 0 displaystyle pm a 0 0 0 pm b 0 nbsp und den Nebenscheiteln 0 0 c displaystyle 0 0 pm c nbsp 7 SchrittMit den Beziehungen in Schritt 4 erhalt man die Scheitel bzw Nebenscheitel in x y z Koordinaten 0 a 0 b 2 0 b 2 c 2 0 c 2 displaystyle 0 pm a 0 tfrac pm b sqrt 2 0 tfrac pm b sqrt 2 tfrac pm c sqrt 2 0 tfrac pm c sqrt 2 nbsp der Mittelpunkt ist der Nullpunkt Beispiel Kegel Bearbeiten Gegeben sei die Gleichung x 2 2 x y y 2 2 y z z 2 2 x z 2 x 2 y 2 z 3 0 displaystyle x 2 2xy y 2 2yz z 2 2xz 2x 2y 2z 3 0 nbsp Mittels Hauptachsentransformation soll diese Gleichung nun in eine Normalform uberfuhrt werden und der Typ der durch die Gleichung dargestellten Quadrik bestimmt werden 1 Schritt A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 end pmatrix nbsp 2 Schritt Die Eigenwerte der Matrix A displaystyle A nbsp sind l 1 l 2 2 l 3 1 displaystyle color red lambda 1 lambda 2 2 quad lambda 3 1 nbsp 3 SchrittDer Eigenraum zu l 1 2 2 displaystyle lambda 1 2 2 nbsp ist Losung der einen Gleichung x y z 0 displaystyle x y z 0 nbsp Es mussen zwei zueinander orthogonale Losungsvektoren bestimmt werden Eine Losung ist v 1 1 1 0 T displaystyle vec v 1 1 1 0 T nbsp Ein dazu orthogonaler Losungsvektor muss zusatzlich die Gleichung x y 0 displaystyle x y 0 nbsp erfullen Offensichtlich erfullt der Vektor 1 1 2 T displaystyle 1 1 2 T nbsp beide Gleichungen Nun mussen beide Vektoren noch normiert werden e 1 1 2 1 1 0 e 2 1 6 1 1 2 displaystyle vec e 1 frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 1 0 end pmatrix quad vec e 2 frac 1 sqrt 6 begin pmatrix 1 1 2 end pmatrix nbsp Ein normierter Eigenvektor zu l 3 1 displaystyle lambda 3 1 nbsp ist e 3 1 3 1 1 1 displaystyle quad vec e 3 frac 1 sqrt 3 begin pmatrix 1 1 1 end pmatrix nbsp 4 Schritt S 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 3 0 2 6 1 3 x 1 2 3 1 6 h 1 3 z y 1 2 3 1 6 h 1 3 z z 2 6 h 1 3 z displaystyle S begin pmatrix frac 1 sqrt 2 amp frac 1 sqrt 6 amp frac 1 sqrt 3 frac 1 sqrt 2 amp frac 1 sqrt 6 amp frac 1 sqrt 3 0 amp frac 2 sqrt 6 amp frac 1 sqrt 3 end pmatrix quad rightarrow quad begin matrix x amp amp frac 1 sqrt 2 xi amp amp frac 1 sqrt 6 eta amp amp frac 1 sqrt 3 zeta y amp amp frac 1 sqrt 2 xi amp amp frac 1 sqrt 6 eta amp amp frac 1 sqrt 3 zeta z amp amp amp amp frac 2 sqrt 6 eta amp amp frac 1 sqrt 3 zeta end matrix nbsp nbsp Hauptachsentransformation eines Kegels Die Spitze ist der Punkt 1 1 1 der Mittelpunkt des dargestellten Basiskreises ist der Nullpunkt 5 Schritt 2 3 2 2 h 2 z 2 2 3 z 3 0 displaystyle 2 xi 2 2 eta 2 zeta 2 2 sqrt 3 zeta 3 0 nbsp 6 SchrittQuadratische Erganzung liefert 3 2 h 2 z 3 2 2 0 displaystyle xi 2 eta 2 frac zeta sqrt 3 2 2 0 nbsp Die Quadrik ist ein senkrechter Kreiskegel mit der Spitze im Punkt 0 0 3 displaystyle 0 0 sqrt 3 nbsp und der z displaystyle zeta nbsp Achse als Rotationsachse 7 SchrittDie Spitze ist in x y z Koordinaten der Punkt 1 1 1 displaystyle 1 1 1 nbsp Die Kegelachse hat die Richtung 1 1 1 T displaystyle 1 1 1 T nbsp Hauptachsentransformation in beliebiger Dimension BearbeitenEine Quadrik Q displaystyle Q nbsp im R n displaystyle mathbb R n nbsp ist analog zu n 2 die Losungsmenge einer allgemeinen quadratischen Gleichung s Quadrik Q x R n x T A x 2 b T x c 0 displaystyle Q left x in mathbb R n mid x T Ax 2b T x c 0 right nbsp wobei A a i j R n n displaystyle A a ij in mathbb R n times n nbsp eine symmetrische Matrix und b b i R n displaystyle b b i in mathbb R n nbsp sowie x x i R n displaystyle x x i in mathbb R n nbsp Spaltenvektoren sind Die Hauptachsentransformation in diesem allgemeinen Fall lauft nach dem gleichen Schema ab wie fur Kegelschnitte s o Nach der Diagonalisierung wird allerdings oft noch eine Verschiebung des Nullpunktes in den Mittelpunkt oder Scheitel der Quadrik vorgenommen so dass die Normalform der Quadrik entsteht an der man die Art und Eigenschaften der Quadrik ablesen kann Anwendung BearbeitenIn der theoretischen Physik wird die Hauptachsentransformation in der klassischen Mechanik zur Beschreibung der Kinematik starrer Korper verwendet Hier konnen uber eine Hauptachsentransformation des Tragheitstensors der die Tragheiten des Korpers bezuglich Drehungen um verschiedene Achsen angibt eventuell vorhandene Deviationsmomente zum Beispiel bei einem Kreisel zum Verschwinden gebracht werden Ein Deviationsmoment ist ein Mass fur das Bestreben eines starren Korpers seine Drehachse zu verandern Deviationsmomente werden mit den Tragheitsmomenten in Tragheitstensoren zusammengefasst wobei die Tragheitsmomente sich auf der Hauptdiagonalen des Tensors die Deviationsmomente auf den Nebendiagonalen befinden Wie oben gezeigt kann der symmetrische Tragheitstensor auf eine Diagonalform gebracht werden Die durch die Hauptachsentransformation festgelegten Achsen des neuen angepassten Koordinatensystems bezeichnet man als Haupttragheitsachsen das neue Koordinatensystem als Hauptachsensystem Die Diagonalelemente des transformierten Tensors werden konsequent Haupttragheitsmomente genannt Auch in weiteren Teilgebieten der klassischen Mechanik wird die Hauptachsentransformation eingesetzt so zum Beispiel in der Festigkeitslehre zur Berechnung der Hauptspannungen die auf einen Korper einwirken Haufig angewandt werden Hauptachsentransformationen weiterhin in der relativistischen Mechanik zur Basisdarstellung der Raumzeit im vierdimensionalen Minkowski Raum oder zum Beispiel in der Elektrostatik beim Quadrupolmoment und anderen hoheren Multipolmomenten Ausserdem ist die Hauptachsentransformation in der multivariaten Statistik ein Teil der Hauptkomponentenanalyse die vor allem in der Bildverarbeitung auch als Karhunen Loeve Transformation bezeichnet wird Manchmal werden die Begriffe synonym gebraucht doch sind beide Transformationen nicht identisch 1 Praktisch wird die Hauptachsentransformation als Teil der Hauptkomponentenanalyse dazu verwendet die Grosse umfangreicher Datensatze ohne wesentlichen Datenverlust zu vermindern Dabei werden vorhandene Beziehungen zwischen einzelnen statistischen Variablen durch Uberfuhrung in ein neues linear unabhangiges problemangepasstes Koordinatensystem so weit wie moglich reduziert Beispielsweise kann die Anzahl der benotigten Signalkanale verringert werden indem diese nach Varianz geordnet und die Kanale geringster Varianz gegebenenfalls ohne relevanten Datenverlust aus dem Datensatz entfernt werden Dadurch konnen Effizienz und Ergebnis einer spateren Analyse der Daten verbessert werden 2 In der elektronischen Bildverarbeitung wird die Reduktion der Datensatzgrosse durch Hauptkomponentenanalysen besonders in der Fernerkundung durch Satellitenbilder sowie den zugehorigen naturwissenschaftlichen Disziplinen der Geodasie Geographie Kartografie und Klimatologie eingesetzt Hier kann die Qualitat der Satellitenaufnahmen durch Unterdruckung des Rauschens mittels Hauptkomponentenanalyse deutlich verbessert werden 3 In der Informatik wird die Hauptachsentransformation vor allem bei der Mustererkennung zur Schaffung kunstlicher neuronaler Netze einem Teilgebiet der kunstlichen Intelligenz zur Datenreduktion angewandt s Hauptkomponentenanalyse 3 Literatur BearbeitenBurg amp Haf amp Wille Hohere Mathematik fur Ingenieure Band II Lineare Algebra Teubner Verlag Stuttgart 1992 ISBN 3 519 22956 0 S 214 335 Meyberg amp Vachenauer Hohere Mathematik 1 Springer Verlag 1995 ISBN 3 540 59188 5 S 341 W Nolting Grundkurs Theoretische Physik 1 Klassische Mechanik 7 Auflage Springer Berlin 2004 ISBN 3 540 21474 7 T Fliessbach Mechanik 2 Auflage Spektrum Heidelberg 1996 ISBN 3 86025 686 6 W Greiner Theoretische Physik Band 2 Mechanik Teil 2 5 Auflage Harri Deutsch Thun Frankfurt am Main 1989 ISBN 3 8171 1136 3 Einzelnachweise Bearbeiten Vgl Skript Mustererkennung Kap 5 2 Karhunen Loeve Transformation PDF Laboratorium fur Nachrichtenverarbeitung Universitat Hannover Gesellschaft fur Datenanalyse und Fernerkundung Hannover Memento vom 10 Juli 2009 im Internet Archive a b Probabilistische Hauptachsentransformation zur generischen Objekterkennung Memento vom 18 Juli 2007 im Internet Archive Postscript Diplomarbeit im Fach Informatik Friedrich Alexander Universitat Erlangen Nurnberg Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hauptachsentransformation amp oldid 237484267
