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Christoffelsymbole In der Differentialgeometrie sind die nach Elwin Bruno Christoffel 1829 1900 Hilfsgrößen zur Beschrei

Christoffelsymbole

In der Differentialgeometrie sind die Christoffelsymbole, nach Elwin Bruno Christoffel (1829–1900), Hilfsgrößen zur Beschreibung der kovarianten Ableitung auf Mannigfaltigkeiten. Sie geben an, um wie viel sich Vektorkomponenten bei der Parallelverschiebung entlang einer Kurve ändern. In älterer Literatur findet sich auch die Bezeichnung Christoffel’sche Dreizeigersymbole (erster und zweiter Art).

Im euklidischen Vektorraum sind die Christoffelsymbole die Komponenten der Gradienten der ko- und kontravarianten Basisvektoren eines krummlinigen Koordinatensystems. In der allgemeinen Relativitätstheorie dienen die Christoffelsymbole zur Herleitung des Riemannschen Krümmungstensors.

Christoffelsymbole einer Fläche Bearbeiten

In der klassischen Differentialgeometrie wurden die Christoffelsymbole erstmals für gekrümmte Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert. Sei also eine orientierte reguläre Fläche und eine Parametrisierung von . Die Vektoren und bilden eine Basis der Tangentialebene , und mit wird der Normalenvektor zur Tangentialebene bezeichnet. So bilden die Vektoren eine Basis des . Die Christoffelsymbole , werden bezüglich der Parametrisierung dann durch das folgende Gleichungssystem definiert:

Schreibt man für , für und für , für und für , so lassen sich die definierenden Gleichungen zusammenfassend als

schreiben. Aufgrund des Satzes von Schwarz gilt , das heißt, , und daraus folgt die Symmetrie der Christoffelsymbole, das heißt und . Die Koeffizienten , und sind die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform.

Ist eine Kurve bezüglich der gaußschen Parameterdarstellung , so ist der tangentiale Anteil ihrer zweiten Ableitung durch

gegeben. Durch Lösen des Differentialgleichungssystems findet man also die Geodäten auf der Fläche.

Allgemeine Definition Bearbeiten

Die im vorigen Abschnitt definierten Christoffelsymbole kann man auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Sei also eine -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Zusammenhang . Bezüglich einer Karte erhält man mittels eine Basis des Tangentialraums und somit auch ein lokales Reper (Basisfeld) des Tangentialbündels. Für alle Indizes und sind dann die Christoffelsymbole durch

definiert. Die Symbole bilden also ein System von Funktionen, welche vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängen (dieses System bildet aber keinen Tensor, s. u.).

Man kann die Christoffelsymbole auch für ein n-Bein, d. h. eine lokale Basis die nicht unmittelbar durch eine Karte festgelegt wird, gemäß

definieren, wobei hier und im Folgenden die Summenzeichen gemäß der Einsteinschen Summenkonvention weggelassen werden.

Eigenschaften Bearbeiten

Kovariante Ableitung von Vektorfeldern Bearbeiten

Im Folgenden bezeichnet, genauso wie im vorigen Abschnitt, einen lokalen Rahmen, welcher durch eine Karte induziert wird, und einen beliebigen lokalen Rahmen.

Seien Vektorfelder mit den in lokalen Darstellungen und . Dann gilt für die kovariante Ableitung von in Richtung von :

Dabei bezeichnet die Anwendung der Derivation auf die Komponentenfunktion .

Wählt man einen lokalen Rahmen , der von einer Karte induziert wird, und wählt man für das Vektorfeld speziell das Basisvektorfeld , so erhält man

bzw. für die -te Komponente

Im Indexkalkül für Tensoren schreibt man dafür auch oder , während man die partielle Ableitung als bezeichnet. Es ist bei aber zu beachten, dass hier nicht nur die Komponente abgeleitet wird, sondern dass es sich um die -te Komponente der kovarianten Ableitung des gesamten Vektorfelds handelt. Obige Gleichung schreibt sich dann als

bzw.

Wählt man für und den Tangentialvektor einer Kurve und ist eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit, so hat die gleiche lokale Darstellung bezüglich der Christoffelsymbole wie aus dem ersten Abschnitt.

Christoffelsymbole bei riemannschen und pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Sei eine riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit und der Levi-Civita-Zusammenhang. Der lokale Rahmen sei der durch eine Karte induzierte .

Hier kann man die Christoffelsymbole durch

aus dem metrischen Tensor gewinnen, wobei, wie in der Allgemeinen Relativitätstheorie üblich, griechische Buchstaben für die Raumzeit-Indizes benutzt wurden. In diesem Fall sind die Christoffelsymbole symmetrisch, das heißt, es gilt für alle und . Diese Christoffelsymbole nennt man auch Christoffelsymbole zweiter Art.

Als Christoffelsymbole erster Art werden die Ausdrücke

bezeichnet.

Ältere, besonders in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendete Notationen sind für die Christoffelsymbole erster Art

sowie für die Christoffelsymbole zweiter Art

Anwendung auf Tensorfelder Bearbeiten

Die kovariante Ableitung kann von Vektorfeldern auf beliebige Tensorfelder verallgemeinert werden. Auch hier treten in der Koordinatendarstellung die Christoffelsymbole auf. In diesem Abschnitt wird durchgehend der oben beschriebene Indexkalkül verwendet. Wie in der Relativitätstheorie üblich, werden die Indizes mit griechischen Kleinbuchstaben bezeichnet.

Die kovariante Ableitung eines Skalarfeldes ist

Die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes ist

und bei einem Kovektorfeld, also einem (0,1)-Tensorfeld erhält man

Die kovariante Ableitung eines (2,0)-Tensorfeldes ist

Bei einem (1,1)-Tensorfeld lautet sie

und für ein (0,2)-Tensorfeld erhält man

Erst die hier auftretenden Summen bzw. Differenzen, nicht aber die Christoffelsymbole selbst, besitzen die Tensoreigenschaften (z. B. das korrekte Transformationsverhalten).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Karl Strubecker: Differentialgeometrie, Band 2, S. 204 ff.
  2. Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik, Band 1 S. 313 ff.
  3. Eric Weisstein: Christoffel Symbols of the Second Kind (Wolfram Mathworld)
  4. Bruce Kusse, Erik Westwig: Christoffel Symbols and covariant derivatives (Seite 5, Formel F.24)

Literatur Bearbeiten

  • Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, S. 313 ff., doi:10.1007/978-3-658-25272-4.
  • Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoren in Mathematik und Physik. Band 2. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25279-3, doi:10.1007/978-3-658-25280-9.
  • Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.
  • Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
  • John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics. 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.
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In der Differentialgeometrie sind die Christoffelsymbole nach Elwin Bruno Christoffel 1829 1900 Hilfsgrossen zur Beschreibung der kovarianten Ableitung auf Mannigfaltigkeiten Sie geben an um wie viel sich Vektorkomponenten bei der Parallelverschiebung entlang einer Kurve andern In alterer Literatur findet sich auch die Bezeichnung Christoffel sche Dreizeigersymbole erster und zweiter Art 1 Im euklidischen Vektorraum sind die Christoffelsymbole die Komponenten der Gradienten der ko und kontravarianten Basisvektoren eines krummlinigen Koordinatensystems 2 In der allgemeinen Relativitatstheorie dienen die Christoffelsymbole zur Herleitung des Riemannschen Krummungstensors Inhaltsverzeichnis 1 Christoffelsymbole einer Flache 2 Allgemeine Definition 3 Eigenschaften 3 1 Kovariante Ableitung von Vektorfeldern 3 2 Christoffelsymbole bei riemannschen und pseudo riemannschen Mannigfaltigkeiten 4 Anwendung auf Tensorfelder 5 Einzelnachweise 6 LiteraturChristoffelsymbole einer Flache BearbeitenIn der klassischen Differentialgeometrie wurden die Christoffelsymbole erstmals fur gekrummte Flachen im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert Sei also S R 3 displaystyle S subset mathbb R 3 nbsp eine orientierte regulare Flache und X U R 2 S displaystyle X colon U subset mathbb R 2 to S nbsp eine Parametrisierung von S displaystyle S nbsp Die Vektoren X u p displaystyle textstyle frac partial X partial u p nbsp und X v p displaystyle textstyle frac partial X partial v p nbsp bilden eine Basis der Tangentialebene T p S displaystyle T p S nbsp und mit N p displaystyle N p nbsp wird der Normalenvektor zur Tangentialebene bezeichnet So bilden die Vektoren X u p X v p N p displaystyle textstyle frac partial X partial u p tfrac partial X partial v p N p nbsp eine Basis des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Die Christoffelsymbole G i j k displaystyle Gamma ij k nbsp i j k 1 2 displaystyle i j k 1 2 nbsp werden bezuglich der Parametrisierung X displaystyle X nbsp dann durch das folgende Gleichungssystem definiert 2 X u 2 G 11 1 X u G 11 2 X v h 11 N 2 X u v G 12 1 X u G 12 2 X v h 12 N 2 X v u G 21 1 X u G 21 2 X v h 21 N 2 X v 2 G 22 1 X u G 22 2 X v h 22 N displaystyle textstyle begin aligned frac partial 2 X partial u 2 amp Gamma 11 1 frac partial X partial u Gamma 11 2 frac partial X partial v h 11 N 0 5em frac partial 2 X partial u partial v amp Gamma 12 1 frac partial X partial u Gamma 12 2 frac partial X partial v h 12 N 0 5em frac partial 2 X partial v partial u amp Gamma 21 1 frac partial X partial u Gamma 21 2 frac partial X partial v h 21 N 0 5em frac partial 2 X partial v 2 amp Gamma 22 1 frac partial X partial u Gamma 22 2 frac partial X partial v h 22 N end aligned nbsp Schreibt man X 1 displaystyle X 1 nbsp fur X u displaystyle tfrac partial X partial u nbsp X 2 displaystyle X 2 nbsp fur X v displaystyle tfrac partial X partial v nbsp und X 11 displaystyle X 11 nbsp fur 2 X u 2 displaystyle tfrac partial 2 X partial u 2 nbsp X 21 displaystyle X 21 nbsp fur 2 X u v displaystyle tfrac partial 2 X partial u partial v nbsp und X 22 displaystyle X 22 nbsp fur 2 X 2 v displaystyle tfrac partial 2 X partial 2 v nbsp so lassen sich die definierenden Gleichungen zusammenfassend als X i j k 1 2 G i j k X k h i j N displaystyle X ij sum k 1 2 Gamma ij k X k h ij N nbsp schreiben Aufgrund des Satzes von Schwarz gilt X 2 u X 1 v displaystyle tfrac partial X 2 partial u tfrac partial X 1 partial v nbsp das heisst X 12 X 21 displaystyle X 12 X 21 nbsp und daraus folgt die Symmetrie der Christoffelsymbole das heisst G 12 1 G 21 1 displaystyle Gamma 12 1 Gamma 21 1 nbsp und G 12 2 G 21 2 displaystyle Gamma 12 2 Gamma 21 2 nbsp Die Koeffizienten h 11 displaystyle h 11 nbsp h 12 h 21 displaystyle h 12 h 21 nbsp und h 22 displaystyle h 22 nbsp sind die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform Ist g a b S displaystyle gamma colon left a b right to S nbsp eine Kurve bezuglich der gaussschen Parameterdarstellung g t X u 1 t u 2 t displaystyle gamma t X bigl u 1 t u 2 t bigr nbsp so ist der tangentiale Anteil ihrer zweiten Ableitung durch g u 1 i j 1 2 G i j 1 u i u j X u 1 u 2 i j 1 2 G i j 2 u i u j X u 2 displaystyle ddot gamma top left ddot u 1 sum i j 1 2 Gamma ij 1 dot u i dot u j right frac partial X partial u 1 left ddot u 2 sum i j 1 2 Gamma ij 2 dot u i dot u j right frac partial X partial u 2 nbsp gegeben Durch Losen des Differentialgleichungssystems g 0 displaystyle ddot gamma top 0 nbsp findet man also die Geodaten auf der Flache Allgemeine Definition BearbeitenDie im vorigen Abschnitt definierten Christoffelsymbole kann man auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern Sei also M displaystyle M nbsp eine n displaystyle n nbsp dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Zusammenhang displaystyle nabla nbsp Bezuglich einer Karte U f displaystyle U varphi nbsp erhalt man mittels 1 p f 1 p n p f n p displaystyle textstyle partial 1 p frac partial partial varphi 1 p ldots partial n p frac partial partial varphi n p nbsp eine Basis des Tangentialraums T p M displaystyle T p M nbsp und somit auch ein lokales Reper Basisfeld 1 n displaystyle partial 1 ldots partial n nbsp des Tangentialbundels Fur alle Indizes i displaystyle i nbsp und j displaystyle j nbsp sind dann die Christoffelsymbole G i j k displaystyle Gamma ij k nbsp durch i j G i j k k displaystyle nabla partial i partial j Gamma ij k partial k nbsp definiert Die n 3 displaystyle n 3 nbsp Symbole G i j k displaystyle Gamma ij k nbsp bilden also ein System von Funktionen welche vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhangen dieses System bildet aber keinen Tensor s u Man kann die Christoffelsymbole auch fur ein n Bein d h eine lokale Basis E 1 E n displaystyle E 1 ldots E n nbsp die nicht unmittelbar durch eine Karte festgelegt wird gemass E i E j G i j k E k displaystyle nabla E i E j Gamma ij k E k nbsp definieren wobei hier und im Folgenden die Summenzeichen gemass der Einsteinschen Summenkonvention weggelassen werden Eigenschaften BearbeitenKovariante Ableitung von Vektorfeldern Bearbeiten Im Folgenden bezeichnet genauso wie im vorigen Abschnitt 1 n displaystyle partial 1 ldots partial n nbsp einen lokalen Rahmen welcher durch eine Karte induziert wird und E 1 E n displaystyle E 1 ldots E n nbsp einen beliebigen lokalen Rahmen Seien X Y G T M displaystyle X Y in Gamma TM nbsp Vektorfelder mit den in U T M displaystyle U subset TM nbsp lokalen Darstellungen X X i E i displaystyle X X i E i nbsp und Y Y j E j displaystyle Y Y j E j nbsp Dann gilt fur die kovariante Ableitung von Y displaystyle Y nbsp in Richtung von X displaystyle X nbsp X Y X Y k X i Y j G i j k E k displaystyle nabla X Y XY k X i Y j Gamma ij k E k nbsp Dabei bezeichnet X Y k displaystyle XY k nbsp die Anwendung der Derivation X displaystyle X nbsp auf die Komponentenfunktion Y k displaystyle Y k nbsp Wahlt man einen lokalen Rahmen 1 n displaystyle partial 1 ldots partial n nbsp der von einer Karte f displaystyle varphi nbsp induziert wird und wahlt man fur das Vektorfeld X displaystyle X nbsp speziell das Basisvektorfeld i displaystyle partial i nbsp so erhalt man i Y i Y k Y j G i j k k displaystyle nabla partial i Y partial i Y k Y j Gamma ij k partial k nbsp bzw fur die k displaystyle k nbsp te Komponente i Y k i Y k Y j G i j k displaystyle nabla partial i Y k partial i Y k Y j Gamma ij k nbsp Im Indexkalkul fur Tensoren schreibt man dafur auch Y i k displaystyle Y i k nbsp oder D i Y k displaystyle D i Y k nbsp wahrend man die partielle Ableitung Y k f 1 f i displaystyle tfrac partial Y k circ varphi 1 partial varphi i nbsp als Y i k displaystyle Y i k nbsp bezeichnet Es ist bei Y i k displaystyle Y i k nbsp aber zu beachten dass hier nicht nur die Komponente Y k displaystyle Y k nbsp abgeleitet wird sondern dass es sich um die k displaystyle k nbsp te Komponente der kovarianten Ableitung des gesamten Vektorfelds Y displaystyle Y nbsp handelt Obige Gleichung schreibt sich dann als D i Y k Y k f i G i j k Y j displaystyle D i Y k frac partial Y k partial varphi i Gamma ij k Y j nbsp bzw Y i k Y i k G i j k Y j displaystyle Y i k Y i k Gamma ij k Y j nbsp Wahlt man fur X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp den Tangentialvektor g displaystyle dot gamma nbsp einer Kurve g a b M displaystyle gamma colon left a b right to M nbsp und ist M displaystyle M nbsp eine 2 dimensionale Mannigfaltigkeit so hat g g displaystyle nabla dot gamma dot gamma nbsp die gleiche lokale Darstellung bezuglich der Christoffelsymbole wie g displaystyle ddot gamma top nbsp aus dem ersten Abschnitt Christoffelsymbole bei riemannschen und pseudo riemannschen Mannigfaltigkeiten Bearbeiten Sei M g displaystyle M g nbsp eine riemannsche oder pseudo riemannsche Mannigfaltigkeit und displaystyle nabla nbsp der Levi Civita Zusammenhang Der lokale Rahmen sei der durch eine Karte U x displaystyle U x nbsp induzierte 1 n displaystyle partial 1 ldots partial n nbsp Hier kann man die Christoffelsymbole durch G m n s 1 2 g s k g n k x m g m k x n g m n x k displaystyle Gamma mu nu sigma frac 1 2 g sigma kappa left frac partial g nu kappa partial x mu frac partial g mu kappa partial x nu frac partial g mu nu partial x kappa right nbsp aus dem metrischen Tensor g displaystyle g nbsp gewinnen 3 4 wobei wie in der Allgemeinen Relativitatstheorie ublich griechische Buchstaben fur die Raumzeit Indizes benutzt wurden In diesem Fall sind die Christoffelsymbole symmetrisch das heisst es gilt G m n s G n m s displaystyle Gamma mu nu sigma Gamma nu mu sigma nbsp fur alle m displaystyle mu nbsp und n displaystyle nu nbsp Diese Christoffelsymbole nennt man auch Christoffelsymbole zweiter Art Als Christoffelsymbole erster Art werden die Ausdrucke G m n k 1 2 m g n k n g m k k g m n G m n s g s k displaystyle Gamma mu nu kappa frac 1 2 left partial mu g nu kappa partial nu g mu kappa partial kappa g mu nu right Gamma mu nu sigma g sigma kappa nbsp bezeichnet Altere besonders in der Allgemeinen Relativitatstheorie verwendete Notationen sind fur die Christoffelsymbole erster Art m n k G m n k displaystyle mu nu kappa Gamma mu nu kappa nbsp sowie fur die Christoffelsymbole zweiter Art s m n G m n s displaystyle begin Bmatrix sigma mu nu end Bmatrix Gamma mu nu sigma nbsp Anwendung auf Tensorfelder BearbeitenDie kovariante Ableitung kann von Vektorfeldern auf beliebige Tensorfelder verallgemeinert werden Auch hier treten in der Koordinatendarstellung die Christoffelsymbole auf In diesem Abschnitt wird durchgehend der oben beschriebene Indexkalkul verwendet Wie in der Relativitatstheorie ublich werden die Indizes mit griechischen Kleinbuchstaben bezeichnet Die kovariante Ableitung eines Skalarfeldes g displaystyle g nbsp ist D m g g x m displaystyle D mu g frac partial g partial x mu nbsp Die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes V n displaystyle V nu nbsp ist D m V n V n x m G l m n V l displaystyle D mu V nu frac partial V nu partial x mu Gamma lambda mu nu V lambda nbsp und bei einem Kovektorfeld also einem 0 1 Tensorfeld V n displaystyle V nu nbsp erhalt man D m V n V n x m G m n l V l displaystyle D mu V nu frac partial V nu partial x mu Gamma mu nu lambda V lambda nbsp Die kovariante Ableitung eines 2 0 Tensorfeldes A m n displaystyle A mu nu nbsp ist D l A m n A m n x l G r l m A r n G r l n A m r displaystyle D lambda A mu nu frac partial A mu nu partial x lambda Gamma rho lambda mu A rho nu Gamma rho lambda nu A mu rho nbsp Bei einem 1 1 Tensorfeld A n m displaystyle A nu mu nbsp lautet sie D l A n m A n m x l G r l m A n r G n l r A r m displaystyle D lambda A nu mu frac partial A nu mu partial x lambda Gamma rho lambda mu A nu rho Gamma nu lambda rho A rho mu nbsp und fur ein 0 2 Tensorfeld A m n displaystyle A mu nu nbsp erhalt man D l A m n A m n x l G m l r A r n G n l r A m r displaystyle D lambda A mu nu frac partial A mu nu partial x lambda Gamma mu lambda rho A rho nu Gamma nu lambda rho A mu rho nbsp Erst die hier auftretenden Summen bzw Differenzen nicht aber die Christoffelsymbole selbst besitzen die Tensoreigenschaften z B das korrekte Transformationsverhalten Einzelnachweise Bearbeiten Karl Strubecker Differentialgeometrie Band 2 S 204 ff Werner Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik Band 1 S 313 ff Eric Weisstein Christoffel Symbols of the Second Kind Wolfram Mathworld Bruce Kusse Erik Westwig Christoffel Symbols and covariant derivatives Seite 5 Formel F 24 Literatur BearbeitenWolfgang Werner Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik Tensoralgebra und Tensoranalysis Band 1 Springer Vieweg Verlag Wiesbaden 2019 ISBN 978 3 658 25271 7 S 313 ff doi 10 1007 978 3 658 25272 4 Wolfgang Werner Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik Tensoren in Mathematik und Physik Band 2 Springer Vieweg Verlag Wiesbaden 2019 ISBN 978 3 658 25279 3 doi 10 1007 978 3 658 25280 9 Manfredo Perdigao do Carmo Differential Geometry of Curves and Surfaces Prentice Hall Inc Upper Saddle River NJ 1976 ISBN 0 13 212589 7 Manfredo Perdigao do Carmo Riemannian Geometry Birkhauser Boston u a 1992 ISBN 0 8176 3490 8 John M Lee Riemannian Manifolds An Introduction to Curvature Graduate Texts in Mathematics 176 Springer New York NY u a 1997 ISBN 0 387 98322 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Christoffelsymbole amp oldid 235968554