Spannungsfunktionen sind ein Ansatz fur die analytische Losung von Randwertaufgaben der linearen Elastostatik Die lokale Impulsbilanz ist in der Statik eine Gleichung in der nur die Spannungen und die Schwerkraft vorkommen Indem die Spannungen durch Spannungsfunktionen ausgedruckt werden die die Impulsbilanz automatisch einhalten reduziert sich die Losung eines Randwertproblems auf das Auffinden von Spannungsfunktionen die die vorliegenden Randbedingungen und die Kompatibilitatsbedingungen erfullen Die Kompatibilitatsbedingungen stellen sicher dass sich aus den Spannungen ein Verschiebungsfeld ableiten lasst Eine analytische Losung existiert oftmals nur bei geometrischer Linearitat kleinen Verformungen und bei Annahme von linearer Elastizitat Diese Voraussetzungen Statik kleine Verformungen und lineare Elastizitat sind in vielen Anwendungen gegeben vor allem im technischen Bereich Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 In Kurze 3 Definition 4 Beltramis Spannungsfunktionen 4 1 Airys Spannungsfunktion 4 2 Maxwells Spannungsfunktionen 4 3 Moreas Spannungsfunktionen 5 Beltrami Schafer Spannungsfunktionen 5 1 Airy sche Spannungsfunktion mit Schwerefeld 6 Beispiel 7 Siehe auch 8 Fussnoten 9 LiteraturGeschichte BearbeitenChronologische Abfolge bei der Entwicklung der Spannungsfunktionen Die Geschichte der Spannungsfunktionen ist eng mit der Geschichte der Formulierung der Kompatibilitatsbedingungen in der linearen isotropen Elastizitat verbunden Gustav Robert Kirchhoff leitete 1859 drei der sechs Kompatibilitatsbedingungen fur die Verzerrungen KBV her und zeigte wie aus den Verzerrungen die Verschiebungen berechnet werden konnen Der Losungsansatz mit Spannungsfunktionen wurde dann vier Jahre spater von George Biddell Airy 1863 ersonnen Mit der heute nach ihm benannten Airy schen Spannungsfunktion konnen Randwertaufgaben in der Ebene gelost werden Alle sechs KBV wurden erstmals von Adhemar Jean Claude Barre de Saint Venant 1864 vorgelegt der aber nicht gezeigt hat dass sie auch hinreichend sind 1 Von James Clerk Maxwell und Giacinto Morera wurden um 1870 bzw 1892 Spannungsfunktionen fur Probleme in drei Dimensionen gefunden Zwischenzeitlich konnte Eugenio Beltrami 1886 nachweisen dass die KBV von St Venant tatsachlich auch hinreichend sind Die Kompatibilitatsbedingungen fur die Spannungen KBS bei isotroper Elastizitat in Abwesenheit einer Schwerkraft fand Beltrami 1892 und Luigi Donati formulierte den allgemeineren Fall inklusive Schwerkraft 1894 2 Trotzdem wird diese allgemeinere Gleichung als Beltrami Michell Gleichung bezeichnet zusatzlich nach John Henry Michell Beltrami erkannte 1892 dass die bis dahin vorliegenden Spannungsfunktionen von Airy Maxwell und Morera Spezialfalle eines allgemeineren Ansatzes sind 3 Allerdings kann Beltramis Losung kein Schwerefeld berucksichtigen Hermann Schaefer hat 1953 Beltramis Ansatz auf Probleme mit Schwerefeld erweitert 4 Die KBS fur transversal isotrope lineare Elastizitat formulierte Grigore Moisil 1952 In Kurze BearbeitenDie Kompatibilitatsbedingungen fur die Verzerrungen lauten R e i j k l 1 3 e i j k l e l e j e k e i 0 displaystyle mathfrak R boldsymbol varepsilon sum i j k l 1 3 varepsilon ij kl hat e l times hat e j otimes hat e k times hat e i mathbf 0 nbsp Die Vektoren e 1 2 3 displaystyle hat e 1 2 3 nbsp bilden die zu den kartesischen Koordinaten x 1 2 3 displaystyle x 1 2 3 nbsp gehorende Standardbasis displaystyle otimes nbsp ist das dyadische und displaystyle times nbsp das Kreuzprodukt e i j displaystyle varepsilon ij nbsp sind die Komponenten des linearisierten Verzerrungstensors e displaystyle boldsymbol varepsilon nbsp und ein Index nach einem Komma bezeichnet die Ableitung nach der entsprechenden Koordinate k x k displaystyle cdot k frac partial partial x k nbsp Der Differenzialoperator R displaystyle mathfrak R nbsp liefert bei symmetrischen Argumenten divergenzfreie symmetrische Tensoren zu denen auch die Spannungstensoren in der Statik in Abwesenheit einer Schwerkraft gehoren So lassen sich mit diesem Differenzialoperator in einfacher Weise die Impulsbilanzen erfullende Spannungstensoren s displaystyle boldsymbol sigma nbsp finden A A s R A s div s 0 displaystyle mathbf A mathbf A top rightarrow quad boldsymbol sigma mathfrak R mathbf A boldsymbol sigma top wedge operatorname div boldsymbol sigma vec 0 nbsp Die Komponenten des dabei verwendeten symmetrischen Arguments A displaystyle mathbf A nbsp sind Beltramis Spannungsfunktionen Im Fall der linearen isotropen Elastizitat kann die obige Kompatibilitatsbedingung fur die Verzerrungen in den Spannungen s i j displaystyle sigma ij nbsp ausgedruckt werden k 1 3 s i j k k 1 1 n s k k i j 0 i j 1 2 3 displaystyle sum k 1 3 left sigma ij kk frac 1 1 nu sigma kk ij right 0 quad i j 1 2 3 nbsp Diese Gleichung ist als Beltrami Michell Gleichung bekannt Der Materialparameter n displaystyle nu nbsp ist die Querkontraktionszahl Die Losung einer Randwertaufgabe ist nun darauf zuruckgefuhrt Spannungsfunktionen zu finden die Spannungen ergeben die die geforderten Randbedingungen und die Kompatibilitatsbedingungen einhalten Die von Airy Maxwell und Morea gefundenen Spannungsfunktionen passen sich hier als Spezialfalle ein Autor Jahr Spannungsfunktionen SpannungstensorAiry 1863 A 0 0 f displaystyle mathbf A begin pmatrix 0 amp amp amp 0 amp amp amp varphi end pmatrix nbsp s f y y f x y 0 f x x 0 sym 0 displaystyle boldsymbol sigma begin pmatrix varphi yy amp varphi xy amp 0 amp varphi xx amp 0 textsf sym amp amp 0 end pmatrix nbsp Maxwell 1870 A a 1 a 2 a 3 displaystyle mathbf A begin pmatrix a 1 amp amp amp a 2 amp amp amp a 3 end pmatrix nbsp s a 2 33 a 3 22 a 3 12 a 2 13 a 1 33 a 3 11 a 1 23 sym a 1 22 a 2 11 displaystyle boldsymbol sigma begin pmatrix a 2 33 a 3 22 amp a 3 12 amp a 2 13 amp a 1 33 a 3 11 amp a 1 23 textsf sym amp amp a 1 22 a 2 11 end pmatrix nbsp Morea 1892 A 0 w 3 w 2 w 3 0 w 1 w 2 w 1 0 displaystyle mathbf A begin pmatrix 0 amp omega 3 amp omega 2 omega 3 amp 0 amp omega 1 omega 2 amp omega 1 amp 0 end pmatrix nbsp s 2 w 1 23 w 1 1 w 2 2 w 3 3 3 w 1 1 w 2 2 w 3 3 2 2 w 2 13 w 1 1 w 2 2 w 3 3 1 sym 2 w 3 12 displaystyle boldsymbol sigma begin pmatrix 2 omega 1 23 amp omega 1 1 omega 2 2 omega 3 3 3 amp omega 1 1 omega 2 2 omega 3 3 2 amp 2 omega 2 13 amp omega 1 1 omega 2 2 omega 3 3 1 textsf sym amp amp 2 omega 3 12 end pmatrix nbsp Beltrami 1892 A A 11 A 12 A 13 A 12 A 22 A 23 A 13 A 23 A 33 displaystyle mathbf A begin pmatrix A 11 amp A 12 amp A 13 A 12 amp A 22 amp A 23 A 13 amp A 23 amp A 33 end pmatrix nbsp s 11 A 33 22 A 22 33 2 A 23 23 s 22 A 33 11 A 11 33 2 A 13 13 s 33 A 22 11 A 11 22 2 A 12 12 s 12 A 12 3 A 23 1 A 13 2 3 A 33 12 s 13 A 12 3 A 23 1 A 13 2 2 A 22 13 s 23 A 12 3 A 23 1 A 13 2 1 A 11 23 displaystyle begin array rcl sigma 11 amp amp A 33 22 A 22 33 2A 23 23 sigma 22 amp amp A 33 11 A 11 33 2A 13 13 sigma 33 amp amp A 22 11 A 11 22 2A 12 12 sigma 12 amp amp A 12 3 A 23 1 A 13 2 3 A 33 12 sigma 13 amp amp A 12 3 A 23 1 A 13 2 2 A 22 13 sigma 23 amp amp A 12 3 A 23 1 A 13 2 1 A 11 23 end array nbsp Definition BearbeitenDie lokale Impuls und Drehimpulsbilanz lauten in Abwesenheit einer Schwerkraft div s 0 s s displaystyle operatorname div boldsymbol sigma mathbf 0 quad boldsymbol sigma boldsymbol sigma top nbsp Der Differenzialoperator div gibt die Divergenz des Spannungstensors s displaystyle boldsymbol sigma nbsp der aufgrund der Drehimpulsbilanz mit seiner transponierten s displaystyle boldsymbol sigma top nbsp identisch ist Der Spannungstensor ist also aufgrund der Drehimpulsbilanz symmetrisch Wenn A displaystyle mathbf A nbsp ein Tensorfeld und D displaystyle mathfrak D nbsp ein Differenzialoperator fur symmetrische Argumente ist dann ist s D A displaystyle boldsymbol sigma mathfrak D mathbf A nbsp eine Losung der Bilanzgleichungen wenn div D A 0 D A D A displaystyle operatorname div mathfrak D mathbf A mathbf 0 quad mathfrak D mathbf A mathfrak D mathbf A top nbsp ist Ein Feld A displaystyle mathbf A nbsp mit diesen Eigenschaften heisst Spannungsfunktion Beltramis Spannungsfunktionen BearbeitenGegeben sei der Differenzialoperator 5 R A r o t r o t A e l A k l e k A i j k l e l e j e k e i displaystyle mathfrak R mathbf A operatorname rot rot mathbf A top hat e l times mathbf A kl top times hat e k A ij kl hat e l times hat e j otimes hat e k times hat e i nbsp Angewendet auf einen beliebigen symmetrischen Tensor A displaystyle mathbf A nbsp zeigt R A A i j k l e k e i e l e j i j k l A j i l k e l e j e k e i A i j k l e l e j e k e i R A div R A e m A i j k l m e l e j e k e i e j e m e l A i j k l m e k e i 0 displaystyle begin array rcl mathfrak R mathbf A top amp amp A ij kl hat e k times hat e i otimes hat e l times hat e j stackrel begin array c scriptscriptstyle i leftrightharpoons j 1ex scriptscriptstyle k leftrightharpoons l end array A ji lk hat e l times hat e j otimes hat e k times hat e i amp amp A ij kl hat e l times hat e j otimes hat e k times hat e i mathfrak R mathbf A operatorname div mathfrak R mathbf A amp amp hat e m cdot A ij klm hat e l times hat e j otimes hat e k times hat e i hat e j cdot hat e m times hat e l A ij klm hat e k times hat e i vec 0 end array nbsp weil Komponenten mit vertauschten Indizes l und m gleich gross sind aber umgekehrtes Vorzeichen besitzen und im Fall l m verschwinden Der Tensor A displaystyle mathbf A nbsp ist also eine Spannungsfunktion In der Statik in Abwesenheit einer Schwerkraft liefert also s R A s 11 s 12 s 13 s 22 s 23 sym s 33 s 11 A 33 22 A 22 33 2 A 23 23 s 22 A 33 11 A 11 33 2 A 13 13 s 33 A 22 11 A 11 22 2 A 12 12 s 12 A 12 33 A 23 13 A 13 23 A 33 12 A 12 3 A 23 1 A 13 2 3 A 33 12 s 13 A 12 23 A 23 12 A 13 22 A 22 13 A 12 3 A 23 1 A 13 2 2 A 22 13 s 23 A 12 13 A 23 11 A 13 12 A 11 23 A 12 3 A 23 1 A 13 2 1 A 11 23 displaystyle begin array rclcl boldsymbol sigma amp amp mathfrak R mathbf A begin pmatrix sigma 11 amp sigma 12 amp sigma 13 amp sigma 22 amp sigma 23 textsf sym amp amp sigma 33 end pmatrix sigma 11 amp amp A 33 22 A 22 33 2A 23 23 sigma 22 amp amp A 33 11 A 11 33 2A 13 13 sigma 33 amp amp A 22 11 A 11 22 2A 12 12 sigma 12 amp amp A 12 33 A 23 13 A 13 23 A 33 12 amp amp A 12 3 A 23 1 A 13 2 3 A 33 12 sigma 13 amp amp A 12 23 A 23 12 A 13 22 A 22 13 amp amp A 12 3 A 23 1 A 13 2 2 A 22 13 sigma 23 amp amp A 12 13 A 23 11 A 13 12 A 11 23 amp amp A 12 3 A 23 1 A 13 2 1 A 11 23 end array nbsp einen zulassigen Spannungszustand denn es ist div s 0 displaystyle operatorname div boldsymbol sigma vec 0 nbsp Der Spannungstensor muss aber noch die Kompatibilitatsbedingungen D s 1 1 n g r a d g r a d S p s 0 s i j k k 1 1 n s k k i j 0 i j 1 2 3 displaystyle Delta boldsymbol sigma frac 1 1 nu operatorname grad grad Sp boldsymbol sigma mathbf 0 quad leftrightarrow quad sigma ij kk frac 1 1 nu sigma kk ij 0 quad i j 1 2 3 nbsp einhalten damit er im Einklang mit einem Verschiebungsfeld ist Die Komponenten A i j displaystyle A ij nbsp des Tensors A displaystyle mathbf A nbsp sind als Beltramis Spannungsfunktionen bekannt Von anderen Autoren vorher gefundene Spannungsfunktionen erweisen sich als Spezialfalle von Beltramis Losung Airys Spannungsfunktion Bearbeiten Hauptartikel Airysche Spannungsfunktion Die Spannungsfunktion f displaystyle varphi nbsp die George Biddell Airy 1863 fand ist der Spezialfall A 0 0 f s f y y f x y 0 f x x 0 sym 0 displaystyle mathbf A begin pmatrix 0 amp amp amp 0 amp amp amp varphi end pmatrix rightarrow boldsymbol sigma begin pmatrix varphi yy amp varphi xy amp 0 amp varphi xx amp 0 textsf sym amp amp 0 end pmatrix nbsp Die Kompatibilitatsbedingung lasst sich fur homogenes isotropes elastisches Material folgendermassen D D f 0 displaystyle Delta Delta varphi 0 nbsp schreiben was f displaystyle varphi nbsp zu einer biharmonischen Funktion macht Maxwells Spannungsfunktionen Bearbeiten Die von Maxwell 1868 und 1870 beschriebenen Spannungsfunktionen gliedern sich hier mit A a 1 a 2 a 3 s a 2 33 a 3 22 a 3 12 a 2 13 a 1 33 a 3 11 a 1 23 sym a 1 22 a 2 11 displaystyle mathbf A begin pmatrix a 1 amp amp amp a 2 amp amp amp a 3 end pmatrix quad rightarrow quad boldsymbol sigma begin pmatrix a 2 33 a 3 22 amp a 3 12 amp a 2 13 amp a 1 33 a 3 11 amp a 1 23 textsf sym amp amp a 1 22 a 2 11 end pmatrix nbsp ein 3 Moreas Spannungsfunktionen Bearbeiten Morea fand 1892 Spannungsfunktionen die sich hier als der Spezialfall A 0 w 3 w 2 w 3 0 w 1 w 2 w 1 0 s 2 w 1 23 w 1 1 w 2 2 w 3 3 3 w 1 1 w 2 2 w 3 3 2 2 w 2 13 w 1 1 w 2 2 w 3 3 1 sym 2 w 3 12 displaystyle mathbf A begin pmatrix 0 amp omega 3 amp omega 2 omega 3 amp 0 amp omega 1 omega 2 amp omega 1 amp 0 end pmatrix quad rightarrow quad boldsymbol sigma begin pmatrix 2 omega 1 23 amp omega 1 1 omega 2 2 omega 3 3 3 amp omega 1 1 omega 2 2 omega 3 3 2 amp 2 omega 2 13 amp omega 1 1 omega 2 2 omega 3 3 1 textsf sym amp amp 2 omega 3 12 end pmatrix nbsp herausstellen 6 Beltrami Schafer Spannungsfunktionen BearbeitenDie Beltrami Spannungsfunktionen oben konnen wegen div s 0 displaystyle operatorname div boldsymbol sigma vec 0 nbsp keine Schwerkraft darstellen Die Beltrami Schafer Losung s R A h h h h grad h grad h div h I displaystyle boldsymbol sigma mathfrak R mathbf A mathfrak h vec h quad mathfrak h vec h operatorname grad vec h operatorname grad vec h top operatorname div vec h mathbf I nbsp die Schafer 1953 fand kann auch Randwertaufgaben mit Schwerkraft der Form b D h displaystyle vec b Delta vec h nbsp losen Der Tensor A ist wie immer symmetrisch Dann ist div s b s s displaystyle operatorname div boldsymbol sigma vec b quad wedge quad boldsymbol sigma boldsymbol sigma top nbsp denn wegen d i v g r a d h D h div p I grad p g r a d d i v h d i v g r a d h displaystyle operatorname div grad vec h top Delta vec h operatorname div p mathbf I operatorname grad p operatorname grad div vec h operatorname div grad vec h nbsp ist h h grad h grad h div h I h h div h h div grad h grad h div h I d i v g r a d h D h g r a d d i v h D h b displaystyle begin array rcl mathfrak h vec h top amp amp operatorname grad vec h top operatorname grad vec h operatorname div vec h mathbf I mathfrak h vec h operatorname div mathfrak h vec h amp amp operatorname div operatorname grad vec h operatorname grad vec h top operatorname div vec h mathbf I operatorname div grad vec h Delta vec h operatorname grad div vec h amp amp Delta vec h vec b end array nbsp nach Voraussetzung Der Tensor A muss so gewahlt werden dass die Kompatibilitatsbedingung D s 1 1 n g r a d g r a d S p s n 1 n div b I 2 s y m g r a d b 0 s i j k k 1 1 n s k k i j n 1 n b k k d i j b i j b j i 0 i j 1 2 3 displaystyle begin array rcl displaystyle Delta boldsymbol sigma frac 1 1 nu operatorname grad grad Sp boldsymbol sigma frac nu 1 nu operatorname div vec b mathbf I 2 operatorname sym grad vec b amp amp mathbf 0 displaystyle leftrightarrow quad sigma ij kk frac 1 1 nu sigma kk ij frac nu 1 nu b k k delta ij b i j b j i amp amp 0 quad i j 1 2 3 end array nbsp und die vorgegebenen Randbedingungen eingehalten werden 4 Airy sche Spannungsfunktion mit Schwerefeld Bearbeiten Mit der Airy schen Spannungsfunktion kann auch eine Schwerkraft in der Form b grad V displaystyle vec b operatorname grad V nbsp berucksichtigt werden 7 s f y y V f x y 0 f x x V 0 sym 0 displaystyle boldsymbol sigma begin pmatrix varphi yy V amp varphi xy amp 0 amp varphi xx V amp 0 textsf sym amp amp 0 end pmatrix nbsp Dies passt sich mit h grad g displaystyle vec h operatorname grad g nbsp und V div h D g displaystyle V operatorname div vec h Delta g nbsp und einer zu bestimmenden Funktion g in die Beltrami Schafer Losung ein b grad V grad D g D grad g D h displaystyle vec b operatorname grad V operatorname grad Delta g Delta operatorname grad g Delta vec h nbsp Die Kompatibilitatsbedingung lasst sich hier D D f k D V k D D g displaystyle Delta Delta varphi kappa Delta V kappa Delta Delta g nbsp schreiben worin der Materialparameter k 1 n im ebenen Spannungszustand 1 2 n 1 n im ebenen Verzerrungszustand displaystyle kappa begin cases 1 nu amp textsf im ebenen Spannungszustand frac 1 2 nu 1 nu amp textsf im ebenen Verzerrungszustand end cases nbsp lautet Beispiel Bearbeiten nbsp Randbedingungen und Verformung beige bei der Biegung des geraden Balkens gestrichelt Auf einen in x Richtung ausgerichteten linear elastischen Balken wirke ausschliesslich eine zur z Koordinate proportionale Spannung s x x t e x m E z displaystyle sigma xx vec t cdot hat e x mEz nbsp mit Proportionalitatsfaktor m displaystyle m nbsp und Elastizitatsmodul E displaystyle E nbsp des Materials des Balkens siehe Abbildung rechts Diesen Vorgaben zufolge lautet der Spannungstensor also s m E z 0 0 R 0 m E 6 z 3 0 displaystyle begin array rcl boldsymbol sigma amp amp begin pmatrix mEz amp 0 amp amp 0 end pmatrix mathfrak R left begin pmatrix 0 amp frac mE 6 z 3 amp amp 0 end pmatrix right end array nbsp Die Spannungsfunktion ergibt sich demnach zu A 0 m E 6 z 3 0 displaystyle mathbf A begin pmatrix 0 amp frac mE 6 z 3 amp amp 0 end pmatrix nbsp Die Kompatibilitatsbedingung s i j k k 1 1 n s k k i j 0 i j 1 2 3 displaystyle sigma ij kk frac 1 1 nu sigma kk ij 0 quad i j 1 2 3 nbsp wird erfullt weil alle zweiten Ableitungen der Normalspannung in x Richtung verschwinden Es gibt also ein Verschiebungsfeld das mit diesen Spannungen kompatibel ist Mit den im Bild skizzierten Randbedingungen lauten diese Verschiebungen u m x z v n m y z w m 2 x 2 n y 2 n z 2 displaystyle begin array lcl u amp amp mxz v amp amp nu myz w amp amp dfrac m 2 x 2 nu y 2 nu z 2 end array nbsp Zusatzlich zum Beispiel auf der Seite Kompatibilitatsbedingung zeigt sich hier dass dieses Verschiebungsfeld im Gleichgewicht ist Siehe auch BearbeitenPoisson Gleichung Integrabilitatsbedingung Formelsammlung Tensoranalysis Formelsammlung TensoralgebraFussnoten Bearbeiten M E Gurtin 1972 S 40 M E Gurtin 1972 S 92 a b M E Gurtin 1972 S 54 a b M E Gurtin 1972 S 58 Hier wird die Rotation eins Tensors alsrot T e k T k displaystyle operatorname rot mathbf T hat e k times mathbf T k nbsp definiert Gelegentlich wird in der Literaturrot T e k T k displaystyle tilde operatorname rot mathbf T hat e k times mathbf T k top nbsp verwendet Dann lautet der Differenzialoperator R A rot rot A displaystyle mathfrak R mathbf A tilde operatorname rot tilde operatorname rot mathbf A nbsp M E Gurtin 1972 S 55 R Greve 2003 S 128 ffLiteratur BearbeitenH Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 Ralf Greve Kontinuumsmechanik Springer 2003 ISBN 3 540 00760 1 M E Gurtin The Linear Theory of Elasticity In S Flugge Hrsg Handbuch der Physik Band VI2 a Bandherausgeber C Truesdell Springer 1972 ISBN 3 540 05535 5 Normdaten Sachbegriff GND 4139507 4 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Spannungsfunktion amp oldid 237439238
