Die Airy sche Spannungsfunktion benannt nach George Biddell Airy ist eine Funktion aus der sich analytische Losungen fur Randwertaufgaben der linearen ebenen Elastostatik herleiten lassen Die Airy sche Spannungsfunktion basiert also auf der Annahme linearer Elastizitat kleiner Verschiebungen und statischer zeitunabhangiger Beanspruchungen in der Ebene Das Auffinden einer Losung der Randwertaufgabe verschiebt sich auf das Auffinden einer Spannungsfunktion die den Randbedingungen genugt Aus der Literatur sind viele Beispiele und Ansatzfunktionen bekannt mit deren Hilfe die Konstruktion einer Losung vereinfacht wird Die Spannungen in der Ebene berechnen sich aus Ableitungen der Spannungsfunktion daher ihr Name Uber die lineare Elastizitat folgen aus den Spannungen die Dehnungen aus denen wiederum die Verschiebungen in der Ebene berechnet werden Der Erfolg dieses Vorgehens ist gesichert wenn die Spannungsfunktion die sog biharmonische Differentialgleichung Scheibengleichung oder Bipotentialgleichung erfullt die eine partielle Differentialgleichung 4 Ordnung darstellt Dann liegt Gleichgewicht vor und die berechneten Dehnungen sind kompatibel was bedeutet dass sich aus ihnen die Verschiebungen auch tatsachlich konstruieren lassen Fur das Auffinden der Losung mussen zunachst die Randbedingungen formuliert werden die wegen der Beschrankung auf die Statik nicht von der Zeit abhangen durfen Es konnen sowohl Spannungsrandbedingungen flachenverteilte Krafte als auch Verschiebungsrandbedingungen vorgegeben werden Aus dem Fundus der aus der Literatur bekannten Losungsfunktionen der Scheibengleichung wird ein Satz ausgewahlt der diese Randbedingungen erfullt und die Parameter der Funktionen an die Vorgaben angepasst Praktische Bedeutung hat die Airy sche Spannungsfunktion in der Berechnung gerader oder ebener Konstruktionselemente Stabe Balken Scheiben die im Maschinenbau und der Baustatik weit verbreitet sind Hier sind die Verformungen oft klein oder mussen aus sicherheitstechnischen Grunden klein gehalten werden Die verwendeten Materialien weisen oft bis zu gewissen Anwendungsgrenzen in guter Naherung ein linear elastisches Verhalten auf Die in der technischen Mechanik bekannten Formeln fur die Dehnung des geraden Stabes der Biegung des geraden Balkens und der Scheibentheorie konnen auch mit der Airy schen Spannungsfunktion dargestellt werden Sie findet aber vor allem in anderen Problemen Anwendung wie z B der Biegung des stabformigen Kreisrings der Belastung der Scheibe mit Loch oder der Ebene mit Schlitz Griffith Riss Die Beltrami Spannungsfunktionen sind die Verallgemeinerung der Airy schen Spannungsfunktion auf drei Dimensionen Inhaltsverzeichnis 1 Voraussetzungen 1 1 Kinematik 1 2 Ebener Spannungs und Dehnungszustand 1 3 Lineare Elastizitat 1 4 Kompatibilitatsbedingung 1 5 Gleichgewicht 2 Airy sche Spannungsfunktion 2 1 Kartesische Koordinaten 2 2 Polarkoordinaten 2 3 Darstellung mit komplexen Funktionen 2 4 Berucksichtigung der Schwerkraft 3 Beispiele 3 1 Dehnung des geraden Stabes 3 2 Homogener Spannungszustand in der Ebene 3 3 Der Griffith Riss 3 3 1 Innendruck auf den Rissflanken 3 3 2 Schubbelastung auf den Rissflanken 4 Siehe auch 5 Fussnoten 6 LiteraturVoraussetzungen BearbeitenDie hier dargestellten Definitionen sind allgemein ublich und keine speziellen Annahmen fur die Konstruktion der Spannungsfunktion Betrachtet wird ein ebener in der xy Ebene eines kartesischen Koordinatensystems liegender Flachentrager Kinematik Bearbeiten nbsp Verschiebungen in der xy EbeneDie Verschiebungen eines jeden Punktes in der Ebene des Flachentragers wird durch zwei Funktionen beschrieben Nach Voraussetzung liegt der Trager in der xy Ebene und dort ist es ublich die Verschiebung in x Richtung mit u displaystyle u nbsp zu bezeichnen die in y Richtung mit v displaystyle v nbsp und die in z Richtung mit w displaystyle w nbsp siehe Bild Die Funktionen u v displaystyle u v nbsp und w displaystyle w nbsp sind von den Ortskoordinaten abhangig Die Anwendung hier beschrankt sich auf u u x y displaystyle u u x y nbsp v v x y displaystyle v v x y nbsp und w z e z z displaystyle w z varepsilon zz nbsp mit einer Konstanten e z z displaystyle varepsilon zz nbsp Andere Abhangigkeiten werden hier vernachlassigt In der xy Ebene sind also kleine Verschiebungen erlaubt senkrecht dazu nur zu e z z displaystyle varepsilon zz nbsp proportionale Die Scheibenebene liegt bei z 0 displaystyle z 0 nbsp so dass die Scheibe sich nicht durchbiegen oder insgesamt in z Richtung verschieben kann Dies sind in der Scheibentheorie ubliche Annahmen Die Dehnungen beschreiben wie stark sich die Verschiebungen von einem Ort zum anderen andern Orte wo sich die Verschiebungen stark andern weisen grosse Dehnungen auf Entsprechend liegt es nahe die Dehnungen aus den Ableitungen nach dem Ort zu berechnen Im geometrisch linearen Fall hier sind die einzig relevanten Dehnungskomponenten e x x d u d x e y y d v d y e z z d w d z u n d e x y 1 2 d u d y d v d x displaystyle varepsilon xx frac mathrm d u mathrm d x varepsilon yy frac mathrm d v mathrm d y varepsilon zz frac mathrm d w mathrm d z quad mathrm und quad varepsilon xy frac 1 2 left frac mathrm d u mathrm d y frac mathrm d v mathrm d x right nbsp Die Funktionen e x x e y y displaystyle varepsilon xx varepsilon yy nbsp und e z z displaystyle varepsilon zz nbsp sind die Normaldehnungen in x y bzw z Richtung und e x y displaystyle varepsilon xy nbsp ist die Schubverzerrung in der xy Ebene Andere in drei Dimensionen mogliche Dehnungskomponenten verschwinden nach Voraussetzung Ebener Spannungs und Dehnungszustand Bearbeiten Scheiben sind ebene Flachentrager die nur in ihrer Ebene belastet werden Stabe und Balken sind in dieser Betrachtung als Sonderfall der schmalen und dunnen Scheibe enthalten Wenn keine Belastungen senkrecht zur Ebene auftreten herrscht in der Scheibe ein ebener Spannungszustand ESZ Flachentrager die auch senkrecht zu ihrer Ebene belastet werden werden als Platten bezeichnet Ist diese Platte so dick dass sie durch die senkrecht auf sie wirkende Belastung nicht merklich zusammengedruckt wird herrscht in ihrer Ebene ein ebener Verzerrungszustand EVZ Beim ebenen Spannungszustand sind alle Spannungskomponenten beim ebenen Verzerrungszustand alle Dehnungskomponenten senkrecht zur Ebene des Flachentragers vernachlassigbar klein Lineare Elastizitat Bearbeiten Hauptartikel Hookesches Gesetz Bei einem linear elastischen Korper hangen die Spannungen s i j displaystyle sigma ij nbsp im ESZ nach folgender Matrizengleichung von den Dehnungen e i j displaystyle varepsilon ij nbsp ab s x x s y y s x y E 1 n 2 1 n 0 n 1 0 0 0 1 n e x x e y y e x y e x x e y y e x y 1 E 1 n 0 n 1 0 0 0 1 n s x x s y y s x y displaystyle begin pmatrix sigma xx sigma yy sigma xy end pmatrix frac E 1 nu 2 begin pmatrix 1 amp nu amp 0 nu amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 nu end pmatrix begin pmatrix varepsilon xx varepsilon yy varepsilon xy end pmatrix quad Leftrightarrow quad begin pmatrix varepsilon xx varepsilon yy varepsilon xy end pmatrix frac 1 E begin pmatrix 1 amp nu amp 0 nu amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 nu end pmatrix begin pmatrix sigma xx sigma yy sigma xy end pmatrix nbsp Der Parameter E displaystyle E nbsp ist der Elastizitatsmodul und n displaystyle nu nbsp die Querkontraktionszahl Die zz Komponente der Dehnung ergibt sich zu e z z n 1 n e x x e y y n E s x x s y y displaystyle varepsilon zz frac nu 1 nu varepsilon xx varepsilon yy frac nu E sigma xx sigma yy nbsp Auf der linken Seite der Gleichung steht eine Konstante aber auf der rechten Seite zumeist nicht Deshalb wird der ESZ im Allgemeinen nur naherungsweise erfullt werden Im EVZ gilt s x x s y y s x y 2 G 1 2 n 1 n n 0 n 1 n 0 0 0 1 2 n e x x e y y e x y e x x e y y e x y 1 2 G 1 n n 0 n 1 n 0 0 0 1 s x x s y y s x y displaystyle begin pmatrix sigma xx sigma yy sigma xy end pmatrix frac 2G 1 2 nu begin pmatrix 1 nu amp nu amp 0 nu amp 1 nu amp 0 0 amp 0 amp 1 2 nu end pmatrix begin pmatrix varepsilon xx varepsilon yy varepsilon xy end pmatrix quad Leftrightarrow quad begin pmatrix varepsilon xx varepsilon yy varepsilon xy end pmatrix frac 1 2G begin pmatrix 1 nu amp nu amp 0 nu amp 1 nu amp 0 0 amp 0 amp 1 end pmatrix begin pmatrix sigma xx sigma yy sigma xy end pmatrix nbsp mit der zz Komponente der Spannung s z z n s x x s y y l e x x e y y displaystyle sigma zz nu sigma xx sigma yy lambda varepsilon xx varepsilon yy nbsp worin die Lame Konstante l n E 1 n 1 2 n displaystyle lambda tfrac nu E 1 nu 1 2 nu nbsp benutzt wurde Hieraus konnen folgende Zusammenhange abgelesen werden e x x a s x x b s y y e y y a s y y b s x x e x y s x y 2 G displaystyle begin array l varepsilon xx a sigma xx b sigma yy varepsilon yy a sigma yy b sigma xx varepsilon xy frac sigma xy 2G end array nbsp mit Grosse Ebener Verzerrungszustand EVZ Ebener Spannungszustand ESZ a displaystyle a nbsp 1 n 2 G displaystyle frac 1 nu 2G nbsp 1 E displaystyle frac 1 E nbsp b displaystyle b nbsp n 2 G displaystyle frac nu 2G nbsp n E displaystyle frac nu E nbsp 2 G a 1 2 G b displaystyle 2Ga 1 2Gb nbsp 1 n displaystyle 1 nu nbsp 1 1 n displaystyle frac 1 1 nu nbsp Indem n displaystyle nu nbsp durch n n 1 n displaystyle nu ast frac nu 1 nu nbsp ausgetauscht wird gehen die Formeln fur den EVZ in die fur den ESZ uber Kompatibilitatsbedingung Bearbeiten Hauptartikel Kompatibilitatsbedingung Sollen aus den Verzerrungen die Verschiebungen bestimmt werden was hier der Fall ist mussen aus den drei Verzerrungen e x x e y y displaystyle varepsilon xx varepsilon yy nbsp und e x y displaystyle varepsilon xy nbsp nur zwei Verschiebungen u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp berechnet werden die Verzerrungen konnen also nicht voneinander unabhangig sein Die Kompatibilitatsbedingung stellt sicher dass aus den Verzerrungen die Verschiebungen rekonstruierbar sind Die Schubverzerrungen e x y displaystyle varepsilon xy nbsp werden nach x und y abgeleitet und die Normaldehnungen eingesetzt 2 d 2 e x y d x d y d 3 u d x d 2 y d 3 v d x 2 d y d 2 e x x d y 2 d 2 e y y d x 2 displaystyle 2 frac mathrm d 2 varepsilon xy mathrm d x mathrm d y frac mathrm d 3 u mathrm d x mathrm d 2 y frac mathrm d 3 v mathrm d x 2 mathrm d y frac mathrm d 2 varepsilon xx mathrm d y 2 frac mathrm d 2 varepsilon yy mathrm d x 2 nbsp Dies ist die Kompatibilitatsbedingung fur die Dehnungen im zweidimensionalen Fall Werden hier die Dehnungen durch die Spannungen ersetzt und die Gleichung mit G displaystyle G nbsp multipliziert ergibt sich d 2 s x y d x d y G d 2 a s x x b s y y d y 2 G d 2 a s y y b s x x d x 2 G a d 2 d y 2 b d 2 d x 2 s x x G a d 2 d x 2 b d 2 d y 2 s y y displaystyle frac mathrm d 2 sigma xy mathrm d x mathrm d y G frac mathrm d 2 a sigma xx b sigma yy mathrm d y 2 G frac mathrm d 2 a sigma yy b sigma xx mathrm d x 2 G left a frac mathrm d 2 mathrm d y 2 b frac mathrm d 2 mathrm d x 2 right sigma xx G left a frac mathrm d 2 mathrm d x 2 b frac mathrm d 2 mathrm d y 2 right sigma yy nbsp Gleichgewicht Bearbeiten Hauptartikel Mechanisches Gleichgewicht nbsp Spannungen an einem ScheibenelementIm Gleichgewicht heben sich die Krafte an einem Scheibenelement in x und y Richtung genau auf s x x x d x y d y s x y x y d y d x s x x x y d y s x y x y d x 0 s y y x y d y d x s x y x d x y d y s y y x y d x s x y x y d y 0 displaystyle begin array l sigma xx x text d x y text d y sigma xy x y text d y text d x sigma xx x y text d y sigma xy x y text d x 0 sigma yy x y text d y text d x sigma xy x text d x y text d y sigma yy x y text d x sigma xy x y text d y 0 end array nbsp siehe Bild Division durch d x d y displaystyle text d x text d y nbsp liefert im Grenzwert d x 0 displaystyle text d x rightarrow 0 nbsp und d y 0 displaystyle text d y rightarrow 0 nbsp die Gleichgewichtsbedingung in x bzw y Richtung d s x x d x d s x y d y 0 d s y y d y d s x y d x 0 displaystyle begin array c frac mathrm d sigma xx mathrm d x frac mathrm d sigma xy mathrm d y 0 frac mathrm d sigma yy mathrm d y frac mathrm d sigma xy mathrm d x 0 end array nbsp Differentiation der oberen Gleichung nach x der unteren nach y Addition der resultierenden Gleichungen und Einsetzen der in Spannungen ausgedruckten Kompatibilitatsbedingung fuhrt wegen 2 G a 1 2 G b displaystyle 2Ga 1 2Gb nbsp auf d 2 s x x d x 2 d 2 s y y d y 2 2 d s x y d x d y d 2 s x x d x 2 d 2 s y y d y 2 2 G a d 2 d y 2 b d 2 d x 2 s x x G a d 2 d x 2 b d 2 d y 2 s y y 1 2 G b d 2 s x x d x 2 1 2 G b d 2 s y y d y 2 2 G a d 2 s x x d y 2 2 G a d 2 s y y d x 2 0 d 2 d x 2 d 2 d y 2 s x x s y y D s x x s y y 0 displaystyle begin array rcl frac mathrm d 2 sigma xx mathrm d x 2 frac mathrm d 2 sigma yy mathrm d y 2 2 frac mathrm d sigma xy mathrm d x mathrm d y amp amp frac mathrm d 2 sigma xx mathrm d x 2 frac mathrm d 2 sigma yy mathrm d y 2 2 left G left a frac mathrm d 2 mathrm d y 2 b frac mathrm d 2 mathrm d x 2 right sigma xx G left a frac mathrm d 2 mathrm d x 2 b frac mathrm d 2 mathrm d y 2 right sigma yy right amp amp 1 2Gb frac mathrm d 2 sigma xx mathrm d x 2 1 2Gb frac mathrm d 2 sigma yy mathrm d y 2 2Ga frac mathrm d 2 sigma xx mathrm d y 2 2Ga frac mathrm d 2 sigma yy mathrm d x 2 0 rightarrow left frac mathrm d 2 mathrm d x 2 frac mathrm d 2 mathrm d y 2 right sigma xx sigma yy amp amp Delta sigma xx sigma yy 0 end array nbsp mit dem Laplace Operator D d 2 d x 2 d 2 d y 2 displaystyle Delta frac mathrm d 2 mathrm d x 2 frac mathrm d 2 mathrm d y 2 nbsp Airy sche Spannungsfunktion BearbeitenKartesische Koordinaten Bearbeiten Die Spannungskomponenten ergeben sich aus der Ableitung der Airy schen Spannungsfunktion F displaystyle F nbsp s x x d 2 F d y 2 s y y d 2 F d x 2 s x y d 2 F d x d y displaystyle sigma xx frac mathrm d 2 F mathrm d y 2 quad sigma yy frac mathrm d 2 F mathrm d x 2 quad sigma xy frac mathrm d 2 F mathrm d x mathrm d y nbsp Dann sind die Gleichgewichtsbedingungen identisch erfullt und die Kompatibilitatsbedingung liefert fur homogenes isotropes linear elastisches Material D s x x s y y D d 2 F d y 2 d 2 F d x 2 0 displaystyle Delta sigma xx sigma yy Delta left frac mathrm d 2 F mathrm d y 2 frac mathrm d 2 F mathrm d x 2 right 0 nbsp oder D D F 0 displaystyle Delta Delta F 0 nbsp Dies ist die Scheibengleichung oder Bipotentialgleichung Jede Funktion die diese Gleichung erfullt heisst biharmonisch Vorwiegend werden zu ihrer Losung Polynome logarithmische Funktionen sowie Produkte von Exponential und Winkelfunktionen benutzt von denen hier eine Auswahl gegeben sei 1 x x 2 x 3 x y x 2 y x 3 y x 4 y x 2 y 3 x 4 3 x 2 y 2 x 5 5 x 3 y 2 x 5 y 5 3 x 3 y 3 x 6 10 x 4 y 2 5 x 2 y 4 e l y cos l x x e l y cos l x cosh l x cos l x x cosh l x cos l x ln x 2 y 2 x ln x 2 y 2 displaystyle begin array lllll 1 amp x amp x 2 amp x 3 amp xy amp x 2 y amp x 3 y amp x 4 y x 2 y 3 amp x 4 3x 2 y 2 x 5 5x 3 y 2 amp x 5 y 5 3x 3 y 3 amp x 6 10x 4 y 2 5x 2 y 4 amp amp e pm lambda y cos lambda x amp xe pm lambda y cos lambda x amp cosh lambda x cos lambda x amp x cosh lambda x cos lambda x amp ln x 2 y 2 amp x ln x 2 y 2 amp amp amp end array nbsp In diesen Termen konnen x und y sin und cos sowie sinh und cosh vertauscht werden Orthotropie Hauptartikel Orthotropie fur homogenes orthotropes linear elastisches Material ergibt sich die beschreibende Differentialgleichung zu d 4 F d x 4 E y G x y 2 n y x d 4 F d x 2 d y 2 E y E x d 4 F d y 4 displaystyle frac mathrm d 4 F mathrm d x 4 left frac E y G xy 2 cdot nu yx right cdot frac mathrm d 4 F mathrm d x 2 cdot mathrm d y 2 frac E y E x cdot frac mathrm d 4 F mathrm d y 4 nbsp 1 2 Die Scheibengleichung bleibt gultig wenn die Ebene mit Polarkoordinaten oder komplexen Zahlen parametrisiert wird Polarkoordinaten Bearbeiten Die Punkte in der xy Ebene konnen alternativ auch in Polarkoordinaten angesprochen werden Werden die obigen Formeln in Polarkoordinaten ausgedruckt lautet der Laplace Operator D d 2 d r 2 1 r 2 d 2 d f 2 1 r d d r displaystyle Delta frac mathrm d 2 mathrm d r 2 frac 1 r 2 frac mathrm d 2 mathrm d varphi 2 frac 1 r frac mathrm d mathrm d r nbsp Der Radius r displaystyle r nbsp ist der Abstand vom Ursprung und f displaystyle varphi nbsp der von der x Achse gegen den Uhrzeigersinn messende Winkel zu einem Punkt in der Ebene Die Spannungen werden in Polarkoordinaten wie folgt aus der Airy schen Spannungsfunktion bestimmt s r r 1 r 2 d 2 F d f 2 1 r d F d r s f f d 2 F d r 2 s r f d d r 1 r d F d f displaystyle begin array l sigma rr frac 1 r 2 frac mathrm d 2 F mathrm d varphi 2 frac 1 r frac mathrm d F mathrm d r sigma varphi varphi frac mathrm d 2 F mathrm d r 2 sigma r varphi frac mathrm d mathrm d r left frac 1 r frac mathrm d F mathrm d varphi right end array nbsp John Henry Michell fand dass alle Funktionen die die Scheibengleichung erfullen die folgende Form haben F A 0 r 2 B 0 r 2 ln r C 0 ln r D 0 f A 1 r B 1 r 1 B 1 r f C 1 r 3 D 1 r ln r cos f E 1 r F 1 r 1 F 1 r f G 1 r 3 H 1 r ln r sin f n 2 A n r n B n r n C n r n 2 D n r n 2 cos n f n 2 E n r n F n r n G n r n 2 H n r n 2 sin n f displaystyle begin array lcl F amp amp A 0 r 2 B 0 r 2 ln r C 0 ln r D 0 varphi amp amp displaystyle A 1 r B 1 r 1 B 1 r varphi C 1 r 3 D 1 r ln r cos varphi amp amp displaystyle E 1 r F 1 r 1 F 1 r varphi G 1 r 3 H 1 r ln r sin varphi amp amp displaystyle sum n 2 infty A n r n B n r n C n r n 2 D n r n 2 cos n varphi amp amp displaystyle sum n 2 infty E n r n F n r n G n r n 2 H n r n 2 sin n varphi end array nbsp Darstellung mit komplexen Funktionen Bearbeiten Aus der Funktionentheorie ist bekannt dass jede biharmonische Funktion mittels zweier analytischer komplexer Funktionen F z displaystyle Phi z nbsp und Y z displaystyle Upsilon z nbsp der komplexen Variablen z x i y displaystyle z x mathrm i y nbsp mit i 2 1 displaystyle mathrm i 2 1 nbsp dargestellt werden kann F ℜ z F z Y z displaystyle F Re lbrace bar z Phi z Upsilon z rbrace nbsp Die Funktion ℜ displaystyle Re nbsp gibt den Realteil und z displaystyle bar z nbsp ist der konjugiert komplexe Wert Aus den komplexen Spannungsfunktionen ergeben sich die Verschiebungskomponenten u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp in der x y Ebene und die Spannungskomponenten aus den Kolosov schen Formeln s x x s y y 4 ℜ F z s x x s y y 2 i t x y 2 z F z PS z 2 G u i v g F z z F z PS z displaystyle begin array ll sigma xx sigma yy amp 4 Re lbrace Phi z rbrace sigma xx sigma yy 2i tau xy amp 2 z overline Phi z overline Psi z 2G u iv amp gamma Phi z z overline Phi z overline Psi z end array nbsp Darin ist d d z displaystyle frac mathrm d mathrm d z nbsp PS z Y z displaystyle Psi z Upsilon z nbsp und im ESZ lautet der Parameter g 3 n 1 n displaystyle gamma frac 3 nu 1 nu nbsp und im EVZ g 3 4 n displaystyle gamma 3 4 nu nbsp Auflosung nach den Spannungskomponenten liefert s x x ℜ 2 F z z F z PS z s y y ℜ 2 F z z F z PS z t x y ℑ z F z PS z displaystyle begin array ll sigma xx amp Re lbrace 2 Phi z bar z Phi z Psi z rbrace sigma yy amp Re lbrace 2 Phi z bar z Phi z Psi z rbrace tau xy amp Im lbrace bar z Phi z Psi z rbrace end array nbsp Die Funktion ℑ displaystyle Im lbrace rbrace nbsp liefert den Imaginarteil ihres Arguments Berucksichtigung der Schwerkraft Bearbeiten Bei der Herleitung der Gleichgewichtsbedingungen oben wurde der Einfluss einer Schwerkraft vernachlassigt Soll diese jedoch in Form eines Schwerkraftvektors b b x b y displaystyle vec b begin pmatrix b x b y end pmatrix nbsp berucksichtigt werden dann lauten die Gleichgewichtsbedingungen d s x x d x d s x y d y b x 0 d s y y d y d s x y d x b y 0 displaystyle begin array c frac mathrm d sigma xx mathrm d x frac mathrm d sigma xy mathrm d y b x 0 frac mathrm d sigma yy mathrm d y frac mathrm d sigma xy mathrm d x b y 0 end array nbsp Die Spannungskomponenten ergeben sich nun mit einer Funktion V aus dem modifizierten Ansatz s x x d 2 F d y 2 V s y y d 2 F d x 2 V s x y d 2 F d x d y displaystyle sigma xx frac mathrm d 2 F mathrm d y 2 V quad sigma yy frac mathrm d 2 F mathrm d x 2 V quad sigma xy frac mathrm d 2 F mathrm d x mathrm d y nbsp Aus den Gleichgewichtsbedingungen d s x x d x d s x y d y b x d 3 F d x d y 2 d V d x d 3 F d x d y 2 b x d V d x b x 0 d s y y d y d s x y d x b y d 3 F d x 2 d y d V d y d 3 F d x 2 d y b y d V d y b y 0 displaystyle begin array c frac mathrm d sigma xx mathrm d x frac mathrm d sigma xy mathrm d y b x frac mathrm d 3 F mathrm d x mathrm d y 2 frac mathrm d V mathrm d x frac mathrm d 3 F mathrm d x mathrm d y 2 b x frac mathrm d V mathrm d x b x 0 frac mathrm d sigma yy mathrm d y frac mathrm d sigma xy mathrm d x b y frac mathrm d 3 F mathrm d x 2 mathrm d y frac mathrm d V mathrm d y frac mathrm d 3 F mathrm d x 2 mathrm d y b y frac mathrm d V mathrm d y b y 0 end array nbsp ergibt sich dann b b x b y d V d x d V d y grad V displaystyle vec b begin pmatrix b x b y end pmatrix begin pmatrix frac mathrm d V mathrm d x frac mathrm d V mathrm d y end pmatrix operatorname grad V nbsp d h die Schwerkraft ist der negative Gradient des Skalarfeldes V Mit demselben Vorgehen wie in Kartesische Koordinaten oben leitet sich mit b x x b y y 2 V x 2 2 V y 2 D V displaystyle frac partial b x partial x frac partial b y partial y frac partial 2 V partial x 2 frac partial 2 V partial y 2 Delta V nbsp die Kompatibilitatsbedingung d 2 s x x d x 2 d 2 s y y d y 2 2 d s x y d x d y d b x d x d b y d y 2 G a D s x x s y y D V 2 G a D d 2 F d y 2 V d 2 F d x 2 V D V 2 G a D D F 4 G a 1 D V 0 D D F k D V displaystyle begin array rcl frac mathrm d 2 sigma xx mathrm d x 2 frac mathrm d 2 sigma yy mathrm d y 2 2 frac mathrm d sigma xy mathrm d x mathrm d y frac mathrm d b x mathrm d x frac mathrm d b y mathrm d y amp amp 2Ga Delta sigma xx sigma yy Delta V amp amp 2Ga Delta left frac mathrm d 2 F mathrm d y 2 V frac mathrm d 2 F mathrm d x 2 V right Delta V amp amp 2Ga Delta Delta F 4Ga 1 Delta V 0 rightarrow Delta Delta F amp amp kappa Delta V end array nbsp mit dem Materialparameter k 4 G a 1 2 G a 1 n imESZ 1 2 n 1 n imEVZ displaystyle kappa frac 4Ga 1 2Ga begin cases 1 nu amp textsf imESZ frac 1 2 nu 1 nu amp textsf imEVZ end cases nbsp ab 3 Beispiele BearbeitenDehnung des geraden Stabes Bearbeiten nbsp Randbedingungen am geraden StabEin gerader Stab der Lange L displaystyle L nbsp in x Richtung und Querschnittsflache A displaystyle A nbsp wird mit einer Kraft N A s displaystyle N A sigma nbsp gemass der flachenverteilten Last s displaystyle sigma nbsp in x Richtung langgezogen Damit lauten die Randbedingungen s x x x L y s u x 0 y 0 s y y x y 0 0 v x y 0 0 t x y x y 0 displaystyle begin array lll sigma xx x L y amp sigma amp u x 0 y 0 sigma yy x y 0 amp 0 amp v x y 0 0 tau xy x y amp 0 amp end array nbsp Mit dem aus t x y d 2 F d x d y 0 displaystyle tau xy frac mathrm d 2 F mathrm d x mathrm d y 0 nbsp motivierten Ansatz F N c x d y displaystyle F N c x d y nbsp ergibt sich die Normalspannung in y Richtung wegen der Randbedingung bei y 0 displaystyle y 0 nbsp als die zweite Ableitung nach x zu s y y d 2 F N d x 2 c x 0 c x c 1 x c 0 displaystyle sigma yy frac mathrm d 2 F N mathrm d x 2 c x 0 Rightarrow c x c 1 x c 0 nbsp Die Normalspannung in x Richtung ist die zweite Ableitung nach y s x x d 2 F N d y 2 d y s displaystyle sigma xx frac mathrm d 2 F N mathrm d y 2 d y sigma nbsp die konstant ist weil sie bei x L displaystyle x L nbsp nicht von y abhangen soll Zweimalige Integration uber y liefert d y s 2 y 2 d 1 y d 0 displaystyle d y frac sigma 2 y 2 d 1 y d 0 nbsp Die Spannungsfunktion hat hier also die Form F N c 1 x s 2 y 2 d 1 y d 0 displaystyle F N c 1 x frac sigma 2 y 2 d 1 y d 0 nbsp Damit ist D F N s displaystyle Delta F N sigma nbsp und D D F N 0 displaystyle Delta Delta F N 0 nbsp Die Losung ist also zulassig Aus den Dehnungen resultieren die Verschiebungen e x x a s d u d x u a s x u 0 y e y y b s d v d y v b s y v 0 x 2 e x y 0 d u d y d v d x u 0 y v 0 x u 0 e 1 y e 0 v 0 e 1 x f 0 displaystyle begin array l varepsilon xx a sigma frac mathrm d u mathrm d x Rightarrow u a sigma x u 0 y varepsilon yy b sigma frac mathrm d v mathrm d y Rightarrow v b sigma y v 0 x 2 varepsilon xy 0 frac mathrm d u mathrm d y frac mathrm d v mathrm d x u 0 y v 0 x Rightarrow u 0 e 1 y e 0 v 0 e 1 x f 0 end array nbsp Die Konstanten e 0 e 1 f 0 displaystyle e 0 e 1 f 0 nbsp werden an die Randbedingungen angepasst u x 0 y 0 e 1 y e 0 y e 0 e 1 0 v x y 0 0 0 x f 0 f 0 0 displaystyle begin array ll u x 0 y amp 0 e 1 y e 0 quad forall y Rightarrow e 0 e 1 0 v x y 0 amp 0 0x f 0 Rightarrow f 0 0 end array nbsp Also ist endgultig Spannungen s x x s c o n s t s y y s x y 0 displaystyle sigma xx sigma mathrm const sigma yy sigma xy 0 nbsp Dehnungen e x x a s e y y b s e x y 0 displaystyle varepsilon xx a sigma varepsilon yy b sigma varepsilon xy 0 nbsp Verschiebungen u x y a s x displaystyle u x y a sigma x nbsp v x y b s y displaystyle v x y b sigma y nbsp Die Querkontraktion ist e y y e x x b s a s n im ESZ n 1 n im EVZ displaystyle frac varepsilon yy varepsilon xx frac b sigma a sigma begin cases nu amp text im ESZ frac nu 1 nu amp text im EVZ end cases nbsp Wegen s N A displaystyle sigma frac N A nbsp und u x y a s x s x E displaystyle u x y a sigma x frac sigma x E nbsp ist die Losung fur den ESZ im Einklang mit der in der technischen Mechanik wohlbekannten Differentialgleichung fur die Zug Druck Beanspruchung des geraden Stabes N E A u x displaystyle N EAu x nbsp Homogener Spannungszustand in der Ebene Bearbeiten Die komplexe Spannungsfunktion F b ℜ z s 4 z s 4 e 2 i b z 2 F z s 4 z und PS z s 2 e 2 i b z displaystyle F beta Re left bar z frac sigma 4 z frac sigma 4 e 2 mathrm i beta z 2 right Rightarrow Phi z frac sigma 4 z quad text und quad Psi z frac sigma 2 e 2 mathrm i beta z nbsp entspricht einem homogenen gleichformigen Spannungszustand in der Ebene Aus ihr berechnen sich die Spannungskomponenten s x x ℜ s 2 s 2 e 2 i b s 2 1 cos 2 b s y y ℜ s 2 s 2 e 2 i b s 2 1 cos 2 b t x y ℑ s 2 e 2 i b s 2 sin 2 b displaystyle begin array ll sigma xx amp Re lbrace frac sigma 2 frac sigma 2 e 2 mathrm i beta rbrace frac sigma 2 lbrack 1 cos 2 beta rbrack sigma yy amp Re lbrace frac sigma 2 frac sigma 2 e 2 mathrm i beta rbrace frac sigma 2 lbrack 1 cos 2 beta rbrack tau xy amp Im lbrace frac sigma 2 e 2 mathrm i beta rbrace frac sigma 2 sin 2 beta end array nbsp Die Hauptspannungen lauten damit s 1 2 1 2 s x x s y y s x x s y y 2 2 t x y 2 s 2 s 2 displaystyle sigma 1 2 frac 1 2 sigma xx sigma yy pm sqrt left frac sigma xx sigma yy 2 right 2 tau xy 2 frac sigma 2 pm frac sigma 2 nbsp siehe Mohrscher Spannungskreis Die Winkel unter denen die Hauptspannungen auftreten sind durch tan 2 f 1 2 2 t x y s x x s y y 2 s 2 sin 2 b s 2 1 cos 2 b s 2 1 cos 2 b sin 2 b cos 2 b tan 2 b f 1 b f 2 b p 2 displaystyle begin array ll tan 2 varphi 1 2 amp frac 2 tau xy sigma xx sigma yy frac 2 frac sigma 2 sin 2 beta frac sigma 2 lbrack 1 cos 2 beta rbrack frac sigma 2 lbrack 1 cos 2 beta rbrack frac sin 2 beta cos 2 beta tan 2 beta Rightarrow varphi 1 amp beta quad varphi 2 beta frac pi 2 end array nbsp gegeben wirken also in Richtung f 1 b displaystyle varphi 1 beta nbsp und senkrecht dazu Der Griffith Riss Bearbeiten nbsp Griffith Riss in der komplexen ZahlenebeneMit Hilfe der Airy schen Spannungsfunktion konnen die Spannungen in der Nahe einer Rissspitze analysiert werden In die Mitte des Risses wird wie im Bild gezeigt ein kartesisches Koordinatensystem gelegt a displaystyle a nbsp ist die halbe Risslange Das Innere des Einheitskreises in der komplexen z displaystyle zeta nbsp Ebene wird mittels der Abbildung z z z C z 1 C z z a 2 z 1 z displaystyle begin array rrl z amp zeta zeta in mathbb C zeta leq 1 amp to mathbb C amp zeta amp mapsto z frac a 2 left zeta frac 1 zeta right end array nbsp auf die komplexe Zahlenebene mit Schlitz abgebildet Die Umkehrung dieser Abbildung z 1 2 z 1 a z z 2 a 2 displaystyle zeta 1 2 z frac 1 a z pm sqrt z 2 a 2 nbsp ist nicht eindeutig fur alle Punkte die auf den Rissflanken liegen mit Ausnahme der Rissspitzen Die beiden Werte z 1 displaystyle zeta 1 nbsp und z 2 displaystyle zeta 2 nbsp sind reziprok zueinander z 2 1 z 1 displaystyle zeta 2 1 zeta 1 nbsp und es ist diejenige Zahl zu nehmen deren Betrag kleiner oder gleich als 1 ist Auf den Rissflanken ist z R displaystyle z in mathbb R nbsp z lt a displaystyle z lt a nbsp z 1 2 1 displaystyle zeta 1 2 1 nbsp und z 2 z 1 displaystyle zeta 2 bar zeta 1 nbsp Die Rissspitzen selbst liegen bei z a displaystyle z pm a nbsp bzw z 1 displaystyle zeta pm 1 nbsp Fur alle anderen Punkte der z Ebene z R displaystyle z notin mathbb R nbsp oder z a displaystyle z geq a nbsp ist die Abbildung z z displaystyle zeta z nbsp eindeutig Im Folgenden wird z displaystyle zeta nbsp statt z z displaystyle zeta z nbsp geschrieben Innendruck auf den Rissflanken Bearbeiten nbsp Griffith Riss unter Druckspannung auf den RissflankenBeim Riss mit Normalbelastung s 0 displaystyle sigma 0 nbsp in y Richtung an den Rissflanken Innendruck ergeben sich die komplexen Spannungsfunktionen 4 F z s 0 a 2 z PS z s 0 a z 1 z 2 displaystyle begin array ll Phi z amp frac sigma 0 a 2 zeta Psi z amp sigma 0 a frac zeta 1 zeta 2 end array nbsp und die Spannungen s x x z 2 s 0 ℜ z 2 1 z 2 2 z 3 1 z 2 3 z z a s y y z 2 s 0 ℜ z 2 1 z 2 2 z 3 1 z 2 3 z z a t x y z 4 s 0 ℑ z 3 1 z 2 3 z z a displaystyle begin array ll sigma xx z amp 2 sigma 0 Re left frac zeta 2 1 zeta 2 frac 2 zeta 3 1 zeta 2 3 frac z bar z a right sigma yy z amp 2 sigma 0 Re left frac zeta 2 1 zeta 2 frac 2 zeta 3 1 zeta 2 3 frac z bar z a right tau xy z amp 4 sigma 0 Im left frac zeta 3 1 zeta 2 3 frac z bar z a right end array nbsp Sie wachsen bei Annaherung an die Rissspitzen z 1 displaystyle zeta rightarrow pm 1 nbsp uber alle Grenzen Hier liegt eine Singularitat vor Im Bild sind die Spannungsspitzen nur bis zu einem gewissen maximalen Wert dargestellt daher die Plateaus Schubbelastung auf den Rissflanken Bearbeiten nbsp Griffith Riss mit Schubspannung auf den RissflankenBeim Riss mit Schubbelastung t 0 displaystyle tau 0 nbsp auf den Rissflanken ergeben sich die komplexen Spannungsfunktionen F z i t 0 a 2 z PS z i t 0 a z 3 1 z 2 displaystyle begin array ll Phi z amp frac mathrm i tau 0 a 2 zeta Psi z amp mathrm i tau 0 a frac zeta 3 1 zeta 2 end array nbsp und die Spannungen s x x z 4 t 0 ℑ z 2 1 z 2 z 3 1 z 2 3 z z a s y y z 4 t 0 ℑ z 3 1 z 2 3 z z a t x y z 2 t 0 ℜ z 2 1 z 2 2 z 3 1 z 2 3 z z a displaystyle begin array ll sigma xx z amp 4 tau 0 Im left frac zeta 2 1 zeta 2 frac zeta 3 1 zeta 2 3 frac z bar z a right sigma yy z amp 4 tau 0 Im left frac zeta 3 1 zeta 2 3 frac z bar z a right tau xy z amp 2 tau 0 Re left frac zeta 2 1 zeta 2 frac 2 zeta 3 1 zeta 2 3 frac z bar z a right end array nbsp Sie wachsen bei Annaherung an die Rissspitzen z 1 displaystyle zeta rightarrow pm 1 nbsp uber alle Grenzen Hier liegt eine Singularitat vor Im Bild sind die Spannungsspitzen nur bis zu einem gewissen maximalen Wert dargestellt daher die Plateaus Siehe auch BearbeitenTechnische Mechanik Kontinuumsmechanik Geometrische Linearisierung Linear elastische Bruchmechanik beschaftigt sich mit Rissen in elastischen Medien Fussnoten Bearbeiten Faal R T and S J Fariborz Stress analysis of orthotropic planes weakened by cracks Applied mathematical modelling 31 6 2007 1133 1148 Hufenbach Ing W and Ing AS Herrmann Berechnung des Spannungs und Verschiebungsfeldes anisotroper Scheiben mit elliptischem Ausschnitt Ingenieur Archiv 60 8 1990 507 517 R Greeve 2003 S 128ff In H G Hahn 1976 sind fur einen Griffith Riss unter einachsiger Zugbelastung s 0 displaystyle sigma 0 nbsp in einem Winkel f b displaystyle varphi beta nbsp zum Riss die Spannungsfunktionen mit F z s 0 a 8 1 z 2 e 2 i b 1 z PS z s 0 a 4 e 2 i b z 2 e 2 i b z e 2 i b z 3 1 z 2 displaystyle begin array ll Phi z amp frac sigma 0 a 8 left frac 1 zeta left 2e 2 mathrm i beta 1 right zeta right Psi z amp frac sigma 0 a 4 left frac e 2 mathrm i beta zeta frac left 2 e 2 mathrm i beta right zeta e 2 mathrm i beta zeta 3 1 zeta 2 right end array nbsp angegeben Uberlagerung mit dem homogenen Spannungszustand F b displaystyle F beta nbsp fuhrt auf die hier dargestellten Funktionen Literatur BearbeitenH Parisch Festkorper Kontinuumsmechanik Teubner 2003 ISBN 3 519 00434 8 H G Hahn Bruchmechanik Teubner Studienbucher Mechanik B G Teubner Stuttgart 1976 N I Musschelischwili Einige Grundaufgaben zur mathematischen Elastizitatstheorie C Hanser 1971 W Becker D Gross Mechanik elastischer Korper und Strukturen Springer 2002 ISBN 3 540 43511 5 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Gross Th Seelig Bruchmechanik Springer 2001 ISBN 3 540 42203 X H Grote J Feldhusen Hrsg Dubbel Taschenbuch fur den Maschinenbau Springer 2011 ISBN 978 3 642 17305 9 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche I S Sokolnikoff Mathematical Theory of Elasticity Robert E Krieger Publishing Company Malabar Florida 1983 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Airysche Spannungsfunktion amp oldid 213252437
