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Kettenhomotopie Im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra ist eine eine Abstraktion des topologischen Begri

Kettenhomotopie

Im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra ist eine Kettenhomotopie eine Abstraktion des topologischen Begriffes einer Homotopie.

Definition Bearbeiten

Es seien und Kokettenkomplexe und zwei Kettenabbildungen, d. h. Systeme von Morphismen , die mit den Differentialen in dem Sinne verträglich sind, dass gilt.

Dann ist eine Kettenhomotopie eine Folge von Morphismen , so dass , oder ausführlicher

gilt.

und heißen homotop, wenn es eine Kettenhomotopie gibt. Homotopie ist eine mit der Komposition verträgliche Äquivalenzrelation auf der Menge aller Kettenabbildungen.

Homotopien von Abbildungen zwischen Kettenkomplexen (und nicht Kokettenkomplexen) sind analog definiert. Zwei Kettenabbildungen und zwischen Kettenkomplexen und heißen homotop, wenn es eine Folge von Morphismen gibt, so dass

Zwei Kettenkomplexe und heißen kettenhomotopieäquivalent, wenn es Kettenabbildungen und gibt, für die die Hintereinanderausführungen und jeweils homotop zur Identität sind.

Bedeutung Bearbeiten

  • Eine Abbildung, die homotop zur Nullabbildung ist, heißt nullhomotop. Die Kategorie der Kokettenkomplexe modulo nullhomotoper Abbildungen ist die Homotopiekategorie.
  • Homotope Kettenabbildungen induzieren dieselbe Abbildung in der Homologie bzw. Kohomologie.
  • Ist insbesondere ein Kokettenkomplex und eine Homotopie zwischen der Identität auf und der Nullabbildung auf , so ist die Kohomologie von trivial, d. h. ist exakt. Man spricht dann auch von einer kontrahierenden Homotopie.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Peter Hilton und Urs Stammbach: A course in homological algebra, Springer-Verlag (1970), Graduate Texts in Mathematics, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel IV, §3, Homotopy
  2. Peter Hilton und Urs Stammbach: A course in homological algebra, Springer-Verlag (1970), Graduate Texts in Mathematics, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel IV, §3, Satz 3.1
  3. Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 (1967), Theorem 8.2
  4. Peter Hilton und Urs Stammbach: A course in homological algebra, Springer-Verlag (1970), Graduate Texts in Mathematics, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel IV, §4, Satz 4.3
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Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra ist eine Kettenhomotopie eine Abstraktion des topologischen Begriffes einer Homotopie Definition BearbeitenEs seien X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp Kokettenkomplexe und f g X Y displaystyle f g colon X to Y nbsp zwei Kettenabbildungen d h Systeme von Morphismen f k X k Y k displaystyle f k colon X k to Y k nbsp die mit den Differentialen in dem Sinne vertraglich sind dass f k 1 d X k d Y k f k displaystyle f k 1 circ d X k d Y k circ f k nbsp gilt Dann ist eine Kettenhomotopie D f g displaystyle D colon f simeq g nbsp eine Folge von Morphismen D k X k Y k 1 displaystyle D k colon X k to Y k 1 nbsp so dass f g D d d D displaystyle f g Dd dD nbsp oder ausfuhrlicher f k g k D k 1 d X k d Y k 1 D k displaystyle f k g k D k 1 circ d X k d Y k 1 circ D k nbsp fur alle k displaystyle k nbsp gilt nbsp f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp heissen homotop wenn es eine Kettenhomotopie D f g displaystyle D colon f simeq g nbsp gibt Homotopie ist eine mit der Komposition vertragliche Aquivalenzrelation auf der Menge aller Kettenabbildungen Homotopien von Abbildungen zwischen Kettenkomplexen und nicht Kokettenkomplexen sind analog definiert Zwei Kettenabbildungen f f k k displaystyle f f k k nbsp und g g k k displaystyle g g k k nbsp zwischen Kettenkomplexen X X k k d k X k displaystyle X X k k d k X k nbsp und Y Y k k d k Y k displaystyle Y Y k k d k Y k nbsp heissen homotop wenn es eine Folge D k k displaystyle D k k nbsp von Morphismen D k X k Y k 1 displaystyle D k colon X k rightarrow Y k 1 nbsp gibt so dass f k g k d k 1 Y D k D k 1 d k X displaystyle f k g k d k 1 Y circ D k D k 1 circ d k X nbsp fur alle k displaystyle k nbsp 1 Zwei Kettenkomplexe X X k k d k X k displaystyle X X k k d k X k nbsp und Y Y k k d k Y k displaystyle Y Y k k d k Y k nbsp heissen kettenhomotopieaquivalent wenn es Kettenabbildungen f X Y displaystyle f colon X rightarrow Y nbsp und g Y X displaystyle g colon Y rightarrow X nbsp gibt fur die die Hintereinanderausfuhrungen f g displaystyle fg nbsp und g f displaystyle gf nbsp jeweils homotop zur Identitat sind Bedeutung BearbeitenEine Abbildung die homotop zur Nullabbildung ist heisst nullhomotop Die Kategorie der Kokettenkomplexe modulo nullhomotoper Abbildungen ist die Homotopiekategorie Homotope Kettenabbildungen induzieren dieselbe Abbildung in der Homologie bzw Kohomologie 2 Ist insbesondere C displaystyle C nbsp ein Kokettenkomplex und D i d C 0 displaystyle D colon mathrm id C simeq 0 nbsp eine Homotopie zwischen der Identitat auf C displaystyle C nbsp und der Nullabbildung auf C displaystyle C nbsp so ist die Kohomologie von C displaystyle C nbsp trivial d h C displaystyle C nbsp ist exakt Man spricht dann auch von einer kontrahierenden Homotopie Sind zwei stetige Abbildungen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp zwischen topologischen Raumen X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp homotop so sind die zugeordneten Abbildungen S f displaystyle Sf nbsp und S g displaystyle Sg nbsp zwischen den zugehorigen singularen Kettenkomplexen homotop im oben definierten Sinne 3 Insbesondere sind die induzierten Abbildungen zwischen den singularen Homologiegruppen gleich Zwei projektive Auflosungen eines Moduls uber einem Ring sind homotop 4 Insbesondere sind die Homologien der Auflosungen gleich was zum Begriff des abgeleiteten Funktors fuhrt Einzelnachweise Bearbeiten Peter Hilton und Urs Stammbach A course in homological algebra Springer Verlag 1970 Graduate Texts in Mathematics ISBN 0 387 90032 2 Kapitel IV 3 Homotopy Peter Hilton und Urs Stammbach A course in homological algebra Springer Verlag 1970 Graduate Texts in Mathematics ISBN 0 387 90032 2 Kapitel IV 3 Satz 3 1 Saunders Mac Lane Homology Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 1967 Theorem 8 2 Peter Hilton und Urs Stammbach A course in homological algebra Springer Verlag 1970 Graduate Texts in Mathematics ISBN 0 387 90032 2 Kapitel IV 4 Satz 4 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kettenhomotopie amp oldid 197905548