Die geranderte Hesse Matrix engl bordered Hessian dient zur Klassifikation von stationaren Punkten bei mehrdimensionalen Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen Sie ist mit der normalen Hesse Matrix verwandt Im Gegensatz zur Hesse Matrix welche auf positive bzw negative Definitheit untersucht wird ist bei der geranderten Hesse Matrix das Vorzeichen der Determinante entscheidend Entscheidend ist die Vorzeichenfolge der fuhrenden Hauptminoren wobei gilt dass man lediglich die k fuhrenden Hauptminoren untersucht fur die gilt k gt 2 m displaystyle k gt 2m m Anzahl der Nebenbedingungen Untersucht man beispielsweise eine Funktion nach Variablen mit einer Nebenbedingung muss man k gt 2 1 k gt 2 displaystyle k gt 2 cdot 1 rightarrow k gt 2 betrachten also erst die Vorzeichen ab dem 3 fuhrenden Hauptminor siehe auch nachfolgendes Beispiel Sei U R n displaystyle U subset mathbb R n offen Die Funktion f U R displaystyle f U rightarrow mathbb R sei zweimal stetig differenzierbar und sie habe in a U displaystyle a in U ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung F 0 displaystyle F 0 wobei F F 1 F m U R m displaystyle F F 1 ldots F m U rightarrow mathbb R m mit m lt n displaystyle m lt n Sei nun L l 1 l m x f x i 1 m l i F i x displaystyle L lambda 1 ldots lambda m x f x sum i 1 m lambda i F i x die Lagrange Funktion mit der Abkurzung x displaystyle x fur x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n Dann versteht man unter der geranderten Hesseschen Matrix die n m n m displaystyle n m times n m Matrix H l a 2 L l 1 2 2 L l 1 l m 2 L l 1 x 1 2 L l 1 x n 2 L l m l 1 2 L l m 2 2 L l m x 1 2 L l m x n 2 L x 1 l 1 2 L x 1 l m 2 L x 1 2 2 L x 1 x n 2 L x n l 1 2 L x n l m 2 L x n x 1 2 L x n 2 l a displaystyle begin aligned operatorname overline H bar lambda a amp left begin array cccccc frac partial 2 L partial lambda 1 2 amp ldots amp frac partial 2 L partial lambda 1 partial lambda m amp frac partial 2 L partial lambda 1 partial x 1 amp ldots amp frac partial 2 L partial lambda 1 partial x n vdots amp ddots amp vdots amp vdots amp amp vdots frac partial 2 L partial lambda m partial lambda 1 amp ldots amp frac partial 2 L partial lambda m 2 amp frac partial 2 L partial lambda m partial x 1 amp ldots amp frac partial 2 L partial lambda m partial x n frac partial 2 L partial x 1 partial lambda 1 amp ldots amp frac partial 2 L partial x 1 partial lambda m amp frac partial 2 L partial x 1 2 amp ldots amp frac partial 2 L partial x 1 partial x n vdots amp amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots frac partial 2 L partial x n partial lambda 1 amp ldots amp frac partial 2 L partial x n partial lambda m amp frac partial 2 L partial x n partial x 1 amp ldots amp frac partial 2 L partial x n 2 end array right bar lambda a end aligned bzw bereits vereinfacht H l a 0 0 F 1 x 1 F 1 x n 0 0 F m x 1 F m x n F 1 x 1 F m x 1 2 L x 1 2 2 L x 1 x n F 1 x n F m x n 2 L x n x 1 2 L x n 2 l a displaystyle begin aligned operatorname overline H bar lambda a amp left begin array cccccc 0 amp ldots amp 0 amp frac partial F 1 partial x 1 amp ldots amp frac partial F 1 partial x n vdots amp ddots amp vdots amp vdots amp amp vdots 0 amp ldots amp 0 amp frac partial F m partial x 1 amp ldots amp frac partial F m partial x n frac partial F 1 partial x 1 amp ldots amp frac partial F m partial x 1 amp frac partial 2 L partial x 1 2 amp ldots amp frac partial 2 L partial x 1 partial x n vdots amp amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots frac partial F 1 partial x n amp ldots amp frac partial F m partial x n amp frac partial 2 L partial x n partial x 1 amp ldots amp frac partial 2 L partial x n 2 end array right bar lambda a end aligned mit l l 1 l m displaystyle bar lambda bar lambda 1 ldots bar lambda m den zugehorigen Losungen der Hilfsgrossen Form 2 dimensionaler Fall BearbeitenFur eine zweidimensionale Funktion mit einer Nebenbedingung hat die geranderte Hesse Matrix folgende Gestalt Sei L x 1 x 2 f x 1 x 2 l g x 1 x 2 displaystyle L x 1 x 2 f x 1 x 2 lambda g x 1 x 2 nbsp die Lagrangefunktion wobei f R 2 R x 1 x 2 f x 1 x 2 displaystyle f mathbb R 2 rightarrow mathbb R x 1 x 2 mapsto f x 1 x 2 nbsp eine beliebige zweidimensionale Funktion und g x 1 x 2 0 displaystyle g x 1 x 2 0 nbsp die Nebenbedingung ist unter welcher optimiert werden soll H x 0 g x 1 g x 2 g x 1 L x 1 x 1 L x 1 x 2 g x 2 L x 2 x 1 L x 2 x 2 0 g x 1 g x 2 g x 1 2 L x 1 2 2 L x 1 x 2 g x 2 2 L x 2 x 1 2 L x 2 2 displaystyle operatorname bar H x begin pmatrix 0 amp g x1 amp g x2 g x1 amp L x1x1 amp L x1x2 g x2 amp L x2x1 amp L x2x2 end pmatrix begin pmatrix 0 amp frac partial g partial x 1 amp frac partial g partial x 2 1 5ex frac partial g partial x 1 amp frac partial 2 L partial x 1 2 amp frac partial 2 L partial x 1 partial x 2 1 5ex frac partial g partial x 2 amp frac partial 2 L partial x 2 partial x 1 amp frac partial 2 L partial x 2 2 end pmatrix nbsp Die 0 displaystyle 0 nbsp auf der Position oben links in der Matrix kommt durch H 11 2 L l 2 displaystyle operatorname bar H 11 frac partial 2 L partial lambda 2 nbsp zustande Eine stationare Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp von f displaystyle f nbsp ist dann unter der Nebenbedingung g displaystyle g nbsp lokales Maximum wenn det H x 0 gt 0 displaystyle det bar H x 0 gt 0 nbsp lokales Minimum wenn det H x 0 lt 0 displaystyle det bar H x 0 lt 0 nbsp unentscheidbar wenn det H x 0 0 displaystyle det bar H x 0 0 nbsp Weblinks BearbeitenGeranderte Hesse Matrix Wirtschaftsuniversitat Wien Robert Koschig Das Optimierungsverfahren mit Lagrange Multiplikatoren Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Geranderte Hesse Matrix amp oldid 211270791
