Der Basiswechsel oder die Basistransformation ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra Man bezeichnet damit den Ubergang zwischen zwei verschiedenen Basen eines endlichdimensionalen Vektorraums uber einem Korper K displaystyle K Dadurch andern sich im Allgemeinen die Koordinaten der Vektoren und die Abbildungsmatrizen von linearen Abbildungen Ein Basiswechsel ist somit ein Spezialfall einer Koordinatentransformation Der Basiswechsel kann durch eine Matrix beschrieben werden die Basiswechselmatrix Transformationsmatrix oder Ubergangsmatrix genannt wird Mit dieser lassen sich auch die Koordinaten bezuglich der neuen Basis ausrechnen Stellt man die Basisvektoren der alten Basis als Linearkombinationen der Vektoren der neuen Basis dar so bilden die Koeffizienten dieser Linearkombinationen die Eintrage der Basiswechselmatrix Inhaltsverzeichnis 1 Basiswechselmatrix 2 Spezialfalle 3 Koordinatentransformation 4 Basiswechsel bei Abbildungsmatrizen 5 Beispiel 6 Basiswechsel mit Hilfe der dualen Basis 6 1 Wechsel zur dualen Basis 6 2 Wechsel zu einer anderen Basis 7 Anwendungen 7 1 In der Mathematik 7 2 In der Physik 8 Literatur 9 WeblinksBasiswechselmatrix Bearbeiten nbsp Kommutatives DiagrammEs sei V displaystyle V nbsp ein n displaystyle n nbsp dimensionaler Vektorraum uber dem Korper K displaystyle K nbsp zum Beispiel dem Korper R displaystyle mathbb R nbsp der reellen Zahlen In V displaystyle V nbsp seien zwei geordnete Basen gegeben B b 1 b n displaystyle B b 1 ldots b n nbsp und B b 1 b n displaystyle B b 1 ldots b n nbsp Die Basiswechselmatrix T B B displaystyle T B B nbsp fur den Basiswechsel von B displaystyle B nbsp nach B displaystyle B nbsp ist eine n n displaystyle n times n nbsp Matrix Es handelt sich um die Abbildungsmatrix der Identitatsabbildung auf V displaystyle V nbsp bezuglich der Basen B displaystyle B nbsp im Urbild und B displaystyle B nbsp im Bild T B B M B B i d V displaystyle T B B M B B operatorname id V nbsp Man erhalt sie indem man die Vektoren der alten Basis B displaystyle B nbsp als Linearkombinationen der Vektoren der neuen Basis B displaystyle B nbsp darstellt b j a 1 j b 1 a 2 j b 2 a n j b n i 1 n a i j b i j 1 n displaystyle b j a 1j b 1 a 2j b 2 dots a nj b n sum i 1 n a ij b i qquad j 1 dots n nbsp Die Koeffizienten a 1 j a n j displaystyle a 1j dots a nj nbsp bilden die j displaystyle j nbsp te Spalte der Basiswechselmatrix T B B a 11 a 1 j a 1 n a n 1 a n j a n n displaystyle T B B begin pmatrix a 11 amp cdots amp a 1j amp cdots amp a 1n vdots amp amp vdots amp amp vdots a n1 amp cdots amp a nj amp cdots amp a nn end pmatrix nbsp Diese Matrix ist quadratisch und invertierbar und somit ein Element der allgemeinen linearen Gruppe G L n K displaystyle mathrm GL left n K right nbsp Ihre Inverse T B B 1 T B B displaystyle left T B B right 1 T B B nbsp beschreibt den Basiswechsel von B displaystyle B nbsp zuruck nach B displaystyle B nbsp Spezialfalle BearbeitenEin wichtiger Spezialfall ist der Fall V K n displaystyle V K n nbsp der Vektorraum stimmt also mit dem Koordinatenraum uberein In diesem Fall sind die Basisvektoren Spaltenvektoren b 1 b 11 b n 1 b j b 1 j b n j b n b 1 n b n n b 1 b 11 b n 1 b j b 1 j b n j b n b 1 n b n n displaystyle b 1 begin pmatrix b 11 vdots b n1 end pmatrix dots b j begin pmatrix b 1j vdots b nj end pmatrix dots b n begin pmatrix b 1n vdots b nn end pmatrix quad b 1 begin pmatrix b 11 vdots b n1 end pmatrix dots b j begin pmatrix b 1j vdots b nj end pmatrix dots b n begin pmatrix b 1n vdots b nn end pmatrix quad nbsp die sich zu Matrizen B b 11 b 1 j b 1 n b i 1 b i j b i n b n 1 b n j b n n und B b 11 b 1 j b 1 n b i 1 b i j b i n b n 1 b n j b n n displaystyle B begin pmatrix b 11 amp dots amp b 1j amp dots amp b 1n vdots amp amp vdots amp amp vdots b i1 amp dots amp b ij amp dots amp b in vdots amp amp vdots amp amp vdots b n1 amp dots amp b nj amp dots amp b nn end pmatrix quad text und quad B begin pmatrix b 11 amp dots amp b 1j amp dots amp b 1n vdots amp amp vdots amp amp vdots b i1 amp dots amp b ij amp dots amp b in vdots amp amp vdots amp amp vdots b n1 amp dots amp b nj amp dots amp b nn end pmatrix nbsp zusammenfassen lassen die hier der Einfachheit halber mit den gleichen Buchstaben wie die zugehorigen Basen bezeichnet werden Die Bedingung b j a 1 j b 1 a 2 j b 2 a n j b n i 1 n a i j b i j 1 n displaystyle b j a 1j b 1 a 2j b 2 dots a nj b n sum i 1 n a ij b i qquad j 1 dots n nbsp ubersetzt sich dann zu b k j i 1 n a i j b k i i 1 n b k i a i j k j 1 n displaystyle b kj sum i 1 n a ij b ki sum i 1 n b ki a ij qquad k j 1 dots n nbsp das heisst B B T B B displaystyle B B cdot T B B nbsp Die Transformationsmatrix T B B displaystyle T B B nbsp lasst sich somit durch T B B B 1 B displaystyle T B B B 1 cdot B nbsp berechnen wobei B 1 displaystyle B 1 nbsp die inverse Matrix der Matrix B displaystyle B nbsp ist Insbesondere gilt Ist B displaystyle B nbsp die Standardbasis so gilt T B B B 1 displaystyle T B B B 1 nbsp Ist B displaystyle B nbsp die Standardbasis so gilt T B B B displaystyle T B B B nbsp Wie im Vorangehenden wird hier die Basis B displaystyle B nbsp mit der Matrix identifiziert die man erhalt indem man die Basisvektoren als Spaltenvektoren schreibt und diese zu einer Matrix zusammenfasst Koordinatentransformation BearbeitenEin Vektor x V displaystyle x in V nbsp habe bezuglich der Basis B b 1 b n displaystyle B b 1 dots b n nbsp die Koordinaten x 1 x n displaystyle x 1 dots x n nbsp d h x x 1 b 1 x 2 b 2 x n b n i x i b i displaystyle x x 1 b 1 x 2 b 2 dots x n b n sum i x i b i nbsp und bezuglich der neuen Basis B b 1 b n displaystyle B b 1 dots b n nbsp die Koordinaten x 1 x n displaystyle x 1 dots x n nbsp also x x 1 b 1 x 2 b 2 x n b n j x j b j displaystyle x x 1 b 1 x 2 b 2 dots x n b n sum j x j b j nbsp Stellt man wie oben die Vektoren b j displaystyle b j nbsp der alten Basis als Linearkombination der neuen Basis dar so erhalt man x j x j b j j x j i a i j b i i j a i j x j b i displaystyle x sum j x j b j sum j x j sum i a ij b i sum i left sum j a ij x j right b i nbsp Dabei sind die a i j displaystyle a ij nbsp die oben definierten Eintrage der Basiswechselmatrix T B B displaystyle T B B nbsp Durch Koeffizientenvergleich erhalt man x i j 1 n a i j x j displaystyle x i sum j 1 n a ij x j nbsp bzw in Matrizenschreibweise x 1 x n a 11 a 1 n a n 1 a n n x 1 x n displaystyle begin pmatrix x 1 vdots x n end pmatrix begin pmatrix a 11 amp dots amp a 1n vdots amp ddots amp vdots a n1 amp dots amp a nn end pmatrix begin pmatrix x 1 vdots x n end pmatrix nbsp oder kurz x T B B x displaystyle x T B B x nbsp Basiswechsel bei Abbildungsmatrizen BearbeitenDie Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung hangt von der Wahl der Basen im Urbild und im Zielraum ab Wahlt man andere Basen so erhalt man moglicherweise andere Abbildungsmatrizen nbsp Kommutatives Diagramm der beteiligten Abbildungen Mit A displaystyle A nbsp wird hier die lineare Abbildung von K n displaystyle K n nbsp nach V displaystyle V nbsp bezeichnet die x 1 x n displaystyle x 1 dots x n nbsp auf x 1 a 1 x n a n displaystyle x 1 a 1 dots x n a n nbsp abbildet etc Seien V displaystyle V nbsp ein n displaystyle n nbsp dimensionaler und W displaystyle W nbsp ein m displaystyle m nbsp dimensionaler Vektorraum uber K displaystyle K nbsp und f V W displaystyle f colon V to W nbsp eine lineare Abbildung In V displaystyle V nbsp seien die geordneten Basen A a 1 a n displaystyle A a 1 dots a n nbsp und A a 1 a n displaystyle A a 1 dots a n nbsp gegeben in W displaystyle W nbsp die geordneten Basen B b 1 b m displaystyle B b 1 dots b m nbsp und B b 1 b m displaystyle B b 1 dots b m nbsp Dann gilt fur die Darstellungsmatrizen von f displaystyle f nbsp bezuglich A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp bzw bezuglich A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp M B A f T B B M B A f T A A displaystyle M B A f T B B cdot M B A f cdot T A A nbsp Man erhalt diese Darstellung indem man f id W f id V displaystyle f operatorname id W circ f circ operatorname id V nbsp schreibt Die Abbildungsmatrix der Verkettung ist dann das Matrizenprodukt der einzelnen Abbildungsmatrizen wenn die Basen passend gewahlt sind das heisst die Basis A displaystyle A nbsp im Urbild von id V displaystyle operatorname id V nbsp die Basis A displaystyle A nbsp im Bild von id V displaystyle operatorname id V nbsp und im Urbild von f displaystyle f nbsp die Basis B displaystyle B nbsp im Bild von f displaystyle f nbsp und im Urbild von id W displaystyle operatorname id W nbsp und die Basis B displaystyle B nbsp im Bild von id W displaystyle operatorname id W nbsp Man erhalt also M B A f M B B id W M B A f M A A id V displaystyle M B A f M B B operatorname id W cdot M B A f cdot M A A operatorname id V nbsp Ein wichtiger Spezialfall ist wenn f V V displaystyle f colon V to V nbsp ein Endomorphismus ist und im Urbild und Bild jeweils dieselbe Basis B displaystyle B nbsp bzw B displaystyle B nbsp benutzt wird Dann gilt M B B f T B B M B B f T B B displaystyle M B B f T B B cdot M B B f cdot T B B nbsp Setzt man T T B B displaystyle T T B B nbsp so gilt also M B B f T M B B f T 1 displaystyle M B B f T cdot M B B f cdot T 1 nbsp Die Abbildungsmatrizen M B B f displaystyle M B B f nbsp und M B B f displaystyle M B B f nbsp sind also ahnlich Beispiel BearbeitenWir betrachten zwei Basen B b 1 b 2 b 3 displaystyle B b 1 b 2 b 3 nbsp und B b 1 b 2 b 3 displaystyle B b 1 b 2 b 3 nbsp des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp mit b 1 1 0 2 b 2 3 1 0 b 3 2 1 1 displaystyle b 1 begin pmatrix 1 0 2 end pmatrix b 2 begin pmatrix 3 1 0 end pmatrix b 3 begin pmatrix 2 1 1 end pmatrix nbsp und b 1 1 0 1 b 2 0 1 1 b 3 1 1 0 displaystyle b 1 begin pmatrix 1 0 1 end pmatrix b 2 begin pmatrix 0 1 1 end pmatrix b 3 begin pmatrix 1 1 0 end pmatrix nbsp wobei die Koordinatendarstellung der Vektoren die Vektoren bezuglich der Standardbasis beschreibt Die Transformation der Koordinaten eines Vektors v x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 b 3 x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 b 3 displaystyle v x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 b 3 x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 b 3 nbsp ergibt sich durch die Darstellung der alten Basisvektoren b 1 b 2 b 3 displaystyle b 1 b 2 b 3 nbsp bezuglich der neuen Basis b 1 b 2 b 3 displaystyle b 1 b 2 b 3 nbsp und deren Gewichtung mit x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 nbsp Um die Matrix der Basistransformation T B B a i j displaystyle T B B a ij nbsp von B displaystyle B nbsp nach B displaystyle B nbsp zu berechnen mussen wir die drei linearen Gleichungssysteme x j a 1 j x 1 a 2 j x 2 a 3 j x 3 displaystyle x j a 1j x 1 a 2j x 2 a 3j x 3 nbsp nach den 9 Unbekannten a i j displaystyle a ij nbsp auflosen Dies kann mit dem Gauss Jordan Algorithmus fur alle drei Gleichungssysteme simultan erfolgen Dazu wird folgendes lineares Gleichungssystem aufgestellt 1 0 1 1 3 2 0 1 1 0 1 1 1 1 0 2 0 1 displaystyle left begin array c c c c c c 1 amp 0 amp 1 amp 1 amp 3 amp 2 0 amp 1 amp 1 amp 0 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 0 amp 2 amp 0 amp 1 end array right nbsp Durch Umformen mit elementaren Zeilenoperationen lasst sich die linke Seite auf die Einheitsmatrix bringen und auf der rechten Seite erhalt man als Losung des Systems die Transformationsmatrix T B B 3 2 1 1 1 2 1 0 1 2 2 1 displaystyle T B B begin pmatrix frac 3 2 amp 1 amp 1 frac 1 2 amp 1 amp 0 frac 1 2 amp 2 amp 1 end pmatrix nbsp Wir betrachten den Vektor v 2 b 1 b 2 3 b 3 displaystyle v 2b 1 b 2 3b 3 nbsp also den Vektor der bezuglich der Basis B displaystyle B nbsp die Koordinaten x 1 x 2 x 3 2 1 3 displaystyle begin pmatrix x 1 x 2 x 3 end pmatrix begin pmatrix 2 1 3 end pmatrix nbsp besitzt Um nun die Koordinaten bezuglich B displaystyle B nbsp zu berechnen mussen wir die Transformationsmatrix T B B displaystyle T B B nbsp mit diesem Spaltenvektor multiplizieren x 1 x 2 x 3 3 2 1 1 1 2 1 0 1 2 2 1 2 1 3 5 2 0 displaystyle begin pmatrix x 1 x 2 x 3 end pmatrix begin pmatrix frac 3 2 amp 1 amp 1 frac 1 2 amp 1 amp 0 frac 1 2 amp 2 amp 1 end pmatrix begin pmatrix 2 1 3 end pmatrix begin pmatrix 5 2 0 end pmatrix nbsp Also ist v 5 b 1 2 b 2 0 b 3 displaystyle v 5b 1 2b 2 0b 3 nbsp In der Tat rechnet man als Probe leicht nach dass 2 b 1 b 2 3 b 3 5 b 1 2 b 2 0 b 3 displaystyle 2b 1 b 2 3b 3 5b 1 2b 2 0b 3 nbsp gilt Basiswechsel mit Hilfe der dualen Basis BearbeitenIm wichtigen und anschaulichen Spezialfall des euklidischen Vektorraums V kann der Basiswechsel elegant mit der dualen Basis b 1 b n displaystyle vec b 1 ldots vec b n nbsp einer Basis b 1 b n displaystyle vec b 1 ldots vec b n nbsp durchgefuhrt werden Fur die Basisvektoren gilt dann b i b j d i j displaystyle vec b i cdot vec b j delta i j nbsp mit dem Kronecker Delta d displaystyle delta nbsp Skalare Multiplikation eines Vektors v displaystyle vec v nbsp mit den Basisvektoren b i displaystyle vec b i nbsp Multiplikation dieser Skalarprodukte mit den Basisvektoren b i displaystyle vec b i nbsp und Addition aller Gleichungen ergibt einen Vektor w b i v b i displaystyle vec w vec b i cdot vec v vec b i nbsp Hier wie im Folgenden ist die Einsteinsche Summenkonvention anzuwenden der zufolge uber in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes im vorhergehenden Satz beispielsweise nur i displaystyle i nbsp von eins bis n displaystyle n nbsp zu summieren ist Skalare Multiplikation von w displaystyle vec w nbsp mit irgendeinem Basisvektor b k displaystyle vec b k nbsp ergibt wegen w b k b i v b i b k b i v d i k b k v displaystyle vec w cdot vec b k vec b i cdot vec v vec b i cdot vec b k vec b i cdot vec v delta i k vec b k cdot vec v nbsp dasselbe Ergebnis wie die skalare Multiplikation von v displaystyle vec v nbsp mit diesem Basisvektor weswegen die beiden Vektoren identisch sind v b i v b i v i b i displaystyle vec v vec b i cdot vec v vec b i v i vec b i nbsp Analog zeigt sich v b i v b i v i b i displaystyle vec v vec b i cdot vec v vec b i v i vec b i nbsp Dieser Zusammenhang zwischen den Basisvektoren und einem Vektor seinen Komponenten und Koordinaten gilt fur jeden Vektor im gegebenen Vektorraum Wechsel zur dualen Basis Bearbeiten Skalare Multiplikation beider Gleichungen mit b k displaystyle vec b k nbsp liefert v i b i b k v i b i b k displaystyle v i vec b i cdot vec b k v i vec b i cdot vec b k nbsp oder v k b k i v i displaystyle v k b ki v i nbsp Die Umkehroperation mit b k displaystyle vec b k nbsp ist v k v i b i b k b k i v i displaystyle v k v i vec b i cdot vec b k b ki v i nbsp Fur die oben benutzten Skalarprodukte b i j b i b j displaystyle b ij vec b i cdot vec b j nbsp und b k l b k b l displaystyle b kl vec b k cdot vec b l nbsp gilt b i k b k j b j k b k i b j b k b k b i b j b k b k b i b j b i d i j displaystyle b ik b kj b jk b ki vec b j cdot vec b k vec b k cdot vec b i vec b j cdot vec b k vec b k cdot vec b i vec b j cdot vec b i delta i j nbsp Wechsel zu einer anderen Basis Bearbeiten Gegeben sei ein Vektor v displaystyle vec v nbsp der von einer Basis a 1 a n displaystyle vec a 1 ldots vec a n nbsp zur Basis b 1 b n displaystyle vec b 1 ldots vec b n nbsp wechseln soll Das gelingt indem jeder Basisvektor gemass a j b i a j b i displaystyle vec a j vec b i cdot vec a j vec b i nbsp durch die neue Basis ausgedruckt wird v x j a j x j b i a j b i x i b i displaystyle vec v x j vec a j x j vec b i cdot vec a j vec b i x i prime vec b i nbsp mit x i b i a j x j displaystyle x i prime vec b i cdot vec a j x j nbsp Die Umkehrung davon ist x i b i a j x j displaystyle x i vec b i cdot vec a j x j prime nbsp Der Basiswechsel bei Tensoren zweiter Stufe wird analog durchgefuhrt M M i j a i b j M i j c k a i c k d l b j d l M k l c k d l displaystyle mathbf M M ij vec a i otimes vec b j M ij vec c k cdot vec a i vec c k otimes vec d l cdot vec b j vec d l M kl prime vec c k otimes vec d l nbsp mit M k l c k a i M i j d l b j displaystyle M kl prime vec c k cdot vec a i M ij vec d l cdot vec b j nbsp was sich ohne weiteres auf Tensoren hoherer Stufe verallgemeinern lasst Das Rechenzeichen displaystyle otimes nbsp bildet das dyadische Produkt Der Zusammenhang zwischen den Koordinaten x i b i a j x j displaystyle x i prime vec b i cdot vec a j x j nbsp und M k l c k a i M i j d l b j displaystyle M kl prime vec c k cdot vec a i M ij vec d l cdot vec b j nbsp kann kompakt mit Basiswechselmatrizen T Q P displaystyle T Q P nbsp mit den Komponenten T Q P i j q i p j displaystyle T Q P ij vec q i cdot vec p j nbsp bei einem Basiswechsel von p 1 p n displaystyle vec p 1 ldots vec p n nbsp nach q 1 q n displaystyle vec q 1 ldots vec q n nbsp und ihren dualen Partnern dargestellt werden Die Inverse der Basiswechselmatrix hat wie oben angedeutet die Komponenten T Q P i j 1 p i q j displaystyle T Q P ij 1 vec p i cdot vec q j nbsp denn bei der Matrizenmultiplikation ergibt sich fur Komponenten i j displaystyle ij nbsp T Q P T Q P 1 i j q i p k p k q j q i p k p k q j q i q j d j i displaystyle T Q P cdot T Q P 1 ij vec q i cdot vec p k vec p k cdot vec q j vec q i cdot vec p k vec p k cdot vec q j vec q i cdot vec q j delta j i nbsp Anwendungen BearbeitenBasiswechselmatrizen besitzen vielfaltige Anwendungsmoglichkeiten in der Mathematik und Physik In der Mathematik Bearbeiten Eine Anwendung von Basiswechselmatrizen in der Mathematik ist die Veranderung der Gestalt der Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung um die Rechnung zu vereinfachen Mochte man zum Beispiel die Potenz A p displaystyle A p nbsp einer n n displaystyle n times n nbsp Matrix A displaystyle A nbsp mit einem Exponenten p gt 1 displaystyle p gt 1 nbsp berechnen so ist die Zahl der benotigten Matrizenmultiplikationen von der Grossenordnung O log p displaystyle O log p nbsp Ist A displaystyle A nbsp diagonalisierbar so existieren eine Diagonalmatrix D displaystyle D nbsp und eine Basiswechselmatrix T G l n K displaystyle T in Gl left n K right nbsp sodass A T D T 1 displaystyle A T cdot D cdot T 1 nbsp und somit A p T D T 1 p T D p T 1 displaystyle A p left T cdot D cdot T 1 right p T cdot D p cdot T 1 nbsp Die Zahl der fur die Berechnung der rechten Seite benotigten Multiplikationen ist nur von der Grossenordnung n log p displaystyle n log p nbsp zur Berechnung von D p displaystyle D p nbsp n 2 displaystyle n 2 nbsp zur Berechnung des Produkts D p T 1 displaystyle D p cdot T 1 nbsp sowie einer Matrixmultiplikation fur das Produkt T D p T 1 displaystyle T cdot D p T 1 nbsp Da die Matrixmultiplikation von der Grossenordnung O n 2 372 7 displaystyle O left n 2 3727 right nbsp ist erhalten wir eine Komplexitat von O n 2 372 7 n log p displaystyle O left n 2 3727 n cdot log p right nbsp anstelle von O n 2 372 7 log p displaystyle O left n 2 3727 cdot log p right nbsp In der Physik Bearbeiten Eine Anwendung von Basiswechselmatrizen in der Physik findet bspw in der Ahnlichkeitstheorie statt um dimensionslose Kennzahlen zu ermitteln Hierbei werden durch einen Basiswechsel einer physikalischen Grosse neue Basisdimensionen zugeordnet Die dimensionslosen Kennzahlen stellen dann genau das Verhaltnis der physikalischen Grosse zu seiner Dimensionsvorschrift dar Literatur BearbeitenPeter Knabner Wolf Barth Lineare Algebra Grundlagen und Anwendungen Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 32185 6 Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung fur Studienanfanger 13 Auflage Vieweg 2002 ISBN 3 528 97217 3 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikiversity Vorlesung zu Basiswechsel Kursmaterialien Seite mit ausfuhrlichen BeispielenNormdaten Sachbegriff GND 4144107 2 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Basiswechsel Vektorraum amp oldid 221424393 Basiswechselmatrix
