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Bisymmetrische Matrix Eine bisymmetrische Matrix oder doppelt symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratisch

Bisymmetrische Matrix

Eine bisymmetrische Matrix oder doppelt symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die sowohl bezüglich ihrer Hauptdiagonale, als auch bezüglich ihrer Gegendiagonale symmetrisch ist.

Symmetriemuster einer bisymmetrischen (5×5)-Matrix

Definition Bearbeiten

Eine quadratische Matrix über einem Körper heißt bisymmetrisch, wenn für ihre Einträge

für gilt. Die Einträge einer bisymmetrischen Matrix verändern sich demnach nicht, wenn sie an der Hauptdiagonale oder an der Gegendiagonale gespiegelt werden.

Beispiele Bearbeiten

Bisymmetrische Matrizen der Größe haben die allgemeine Form

und diejenigen der Größe die Form

mit .

Eigenschaften Bearbeiten

Symmetrien Bearbeiten

Eine bisymmetrische Matrix ist sowohl symmetrisch, als auch persymmetrisch und damit auch zentralsymmetrisch. Umgekehrt ist eine zentralsymmetrische Matrix, die zudem symmetrisch oder persymmetrisch ist, bisymmetrisch. Mit der Permutationsmatrix definiert durch

lassen sich bisymmetrische Matrizen auch kompakt durch die beiden Bedingungen

charakterisieren. Eine reelle symmetrische Matrix ist genau dann bisymmetrisch, wenn sich ihre Eigenwerte nach Multiplikation mit der Matrix von links oder rechts höchstens bezüglich des Vorzeichens unterscheiden.

Summe und Produkt Bearbeiten

Die Summe zweier bisymmetrischer Matrizen und ergibt wieder eine bisymmetrische Matrix, ebenso sind auch skalare Vielfache mit . Nachdem die Nullmatrix trivialerweise bisymmetrisch ist, bilden die bisymmetrischen Matrizen einen Untervektorraum im Matrizenraum .

Das Produkt zweier bisymmetrischer Matrizen ergibt genau dann wieder eine bisymmetrische Matrix, wenn die beiden Matrizen und kommutieren.

Inverse Bearbeiten

Für Inverse einer bisymmetrischen Matrix gilt, sofern sie existiert

Die Inverse einer regulären bisymmetrischen Matrix ist demnach wieder bisymmetrisch.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Thomas Muir: A Treatise on the Theory of Determinants. Dover, New York 1960, S. 19.
  2. David Tao, Mark Yasuda: A spectral characterization of generalized real symmetric centrosymmetric and generalized real symmetric skew-centrosymmetric matrices. In: SIAM J. Matrix Anal. Appl. Band 23, Nr. 3, 2002, S. 885–895.
  3. Gene Golub, Charles van Loan: Matrix Computations. JHU Press, 2013, S. 208.

Weblinks Bearbeiten

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Eine bisymmetrische Matrix oder doppelt symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix die sowohl bezuglich ihrer Hauptdiagonale als auch bezuglich ihrer Gegendiagonale symmetrisch ist Symmetriemuster einer bisymmetrischen 5 5 Matrix Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Symmetrien 3 2 Summe und Produkt 3 3 Inverse 4 Siehe auch 5 Einzelnachweise 6 WeblinksDefinition BearbeitenEine quadratische Matrix A K n n displaystyle A in K n times n nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp heisst bisymmetrisch wenn fur ihre Eintrage a i j a j i displaystyle a i j a j i nbsp und a i j a n j 1 n i 1 displaystyle a i j a n j 1 n i 1 nbsp fur i j 1 n displaystyle i j 1 ldots n nbsp gilt 1 Die Eintrage einer bisymmetrischen Matrix verandern sich demnach nicht wenn sie an der Hauptdiagonale oder an der Gegendiagonale gespiegelt werden Beispiele BearbeitenBisymmetrische Matrizen der Grosse 3 3 displaystyle 3 times 3 nbsp haben die allgemeine Form A a b c b d b c b a displaystyle A begin pmatrix a amp b amp c b amp d amp b c amp b amp a end pmatrix nbsp und diejenigen der Grosse 4 4 displaystyle 4 times 4 nbsp die Form A a b c d b e f c c f e b d c b a displaystyle A begin pmatrix a amp b amp c amp d b amp e amp f amp c c amp f amp e amp b d amp c amp b amp a end pmatrix nbsp mit a b c d e f K displaystyle a b c d e f in K nbsp Eigenschaften BearbeitenSymmetrien Bearbeiten Eine bisymmetrische Matrix ist sowohl symmetrisch als auch persymmetrisch und damit auch zentralsymmetrisch Umgekehrt ist eine zentralsymmetrische Matrix die zudem symmetrisch oder persymmetrisch ist bisymmetrisch Mit der Permutationsmatrix J K n n displaystyle J in K n times n nbsp definiert durch J d i n j 1 i j 0 1 1 0 displaystyle J delta i n j 1 ij begin pmatrix 0 amp amp 1 amp cdot cdot cdot amp 1 amp amp 0 end pmatrix nbsp lassen sich bisymmetrische Matrizen auch kompakt durch die beiden Bedingungen A A T displaystyle A A T nbsp und J A A J displaystyle JA AJ nbsp charakterisieren Eine reelle symmetrische Matrix ist genau dann bisymmetrisch wenn sich ihre Eigenwerte nach Multiplikation mit der Matrix J displaystyle J nbsp von links oder rechts hochstens bezuglich des Vorzeichens unterscheiden 2 Summe und Produkt Bearbeiten Die Summe A B displaystyle A B nbsp zweier bisymmetrischer Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp ergibt wieder eine bisymmetrische Matrix ebenso sind auch skalare Vielfache c A displaystyle cA nbsp mit c K displaystyle c in K nbsp Nachdem die Nullmatrix trivialerweise bisymmetrisch ist bilden die bisymmetrischen Matrizen einen Untervektorraum im Matrizenraum K n n displaystyle K n times n nbsp Das Produkt A B displaystyle A cdot B nbsp zweier bisymmetrischer Matrizen ergibt genau dann wieder eine bisymmetrische Matrix wenn die beiden Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp kommutieren Inverse Bearbeiten Fur Inverse A 1 displaystyle A 1 nbsp einer bisymmetrischen Matrix gilt sofern sie existiert A 1 A T 1 A 1 T displaystyle A 1 A T 1 A 1 T nbsp und J A 1 A J 1 J A 1 A 1 J displaystyle JA 1 AJ 1 JA 1 A 1 J nbsp Die Inverse einer regularen bisymmetrischen Matrix ist demnach wieder bisymmetrisch 3 Siehe auch BearbeitenHankel Matrix Toeplitz MatrixEinzelnachweise Bearbeiten Thomas Muir A Treatise on the Theory of Determinants Dover New York 1960 S 19 David Tao Mark Yasuda A spectral characterization of generalized real symmetric centrosymmetric and generalized real symmetric skew centrosymmetric matrices In SIAM J Matrix Anal Appl Band 23 Nr 3 2002 S 885 895 Gene Golub Charles van Loan Matrix Computations JHU Press 2013 S 208 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Bisymmetric Matrix In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bisymmetrische Matrix amp oldid 168799606