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Persymmetrische Matrix Eine persymmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix die symmetrisch bezügl

Persymmetrische Matrix

Eine persymmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die symmetrisch bezüglich ihrer Gegendiagonale ist.

Symmetriemuster einer persymmetrischen (5×5)-Matrix

Definition Bearbeiten

Eine quadratische Matrix über einem Körper heißt persymmetrisch, wenn für ihre Einträge

für gilt. Die Einträge einer persymmetrischen Matrix verändern sich demnach nicht, wenn sie an der Gegendiagonale gespiegelt werden.

Beispiele Bearbeiten

Eine reelle persymmetrische Matrix der Größe ist beispielsweise

Allgemein haben persymmetrische Matrizen der Größe die Form

mit .

Eigenschaften Bearbeiten

Symmetrien Bearbeiten

Mit der Permutationsmatrix definiert durch

lassen sich persymmetrische Matrizen auch kompakt durch die Bedingung

charakterisieren. Eine bisymmetrische Matrix ist eine persymmetrische Matrix, die zudem symmetrisch oder zentralsymmetrisch ist. Eine Toeplitz-Matrix ist eine persymmetrische Matrix, deren Einträge auf der Hauptdiagonale und allen Nebendiagonalen konstant sind. Eine zyklische Matrix ist eine persymmetrische Matrix, deren Einträge auf allen Diagonalen konstant sind und sich zyklisch wiederholen.

Summe und Produkt Bearbeiten

Die Summe zweier persymmetrischer Matrizen und ergibt wieder eine persymmetrische Matrix, ebenso sind auch skalare Vielfache mit . Nachdem die Nullmatrix trivialerweise persymmetrisch ist, bilden die persymmetrischen Matrizen einen Untervektorraum im Matrizenraum .

Das Produkt zweier persymmetrischer Matrizen ergibt aufgrund von

genau dann wieder eine persymmetrische Matrix, wenn die beiden Matrizen und kommutieren.

Inverse Bearbeiten

Für die Inverse einer persymmetrischen Matrix gilt, sofern sie existiert

Die Inverse einer regulären persymmetrischen Matrix ist demnach wieder persymmetrisch.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Gene Golub, Charles van Loan: Matrix Computations. JHU Press, 2013, ISBN 978-1-4214-0794-4.
  • Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens. Springer, 2008, ISBN 978-3-8348-0708-3.
  • Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-0-521-83940-2.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens. Springer, 2008, S. 66.
  2. Roger A. Horn, Charles Johnson: Matrix analysis. Cambridge University Press, 2013, S. 36.
  3. Gene Golub, Charles van Loan: Matrix Computations. JHU Press, 2013, S. 208.
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Veröffentlichungsdatum:
Eine persymmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix die symmetrisch bezuglich ihrer Gegendiagonale ist Symmetriemuster einer persymmetrischen 5 5 Matrix Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Symmetrien 3 2 Summe und Produkt 3 3 Inverse 4 Siehe auch 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine quadratische Matrix A K n n displaystyle A in K n times n nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp heisst persymmetrisch wenn fur ihre Eintrage a i j a n j 1 n i 1 displaystyle a i j a n j 1 n i 1 nbsp fur i j 1 n displaystyle i j 1 ldots n nbsp gilt 1 Die Eintrage einer persymmetrischen Matrix verandern sich demnach nicht wenn sie an der Gegendiagonale gespiegelt werden Beispiele BearbeitenEine reelle persymmetrische Matrix der Grosse 3 3 displaystyle 3 times 3 nbsp ist beispielsweise A 1 2 3 2 3 2 3 2 1 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 2 amp 3 2 amp 3 amp 2 3 amp 2 amp 1 end pmatrix nbsp Allgemein haben persymmetrische Matrizen der Grosse 3 3 displaystyle 3 times 3 nbsp die Form A a b c d e b f d a displaystyle A begin pmatrix a amp b amp c d amp e amp b f amp d amp a end pmatrix nbsp mit a b c d e f K displaystyle a b c d e f in K nbsp Eigenschaften BearbeitenSymmetrien Bearbeiten Mit der Permutationsmatrix J K n n displaystyle J in K n times n nbsp definiert durch J d i n j 1 i j 0 1 1 0 displaystyle J delta i n j 1 ij begin pmatrix 0 amp amp 1 amp cdot cdot cdot amp 1 amp amp 0 end pmatrix nbsp lassen sich persymmetrische Matrizen auch kompakt durch die Bedingung J A A T J displaystyle JA A T J nbsp charakterisieren 2 Eine bisymmetrische Matrix ist eine persymmetrische Matrix die zudem symmetrisch oder zentralsymmetrisch ist Eine Toeplitz Matrix ist eine persymmetrische Matrix deren Eintrage auf der Hauptdiagonale und allen Nebendiagonalen konstant sind Eine zyklische Matrix ist eine persymmetrische Matrix deren Eintrage auf allen Diagonalen konstant sind und sich zyklisch wiederholen Summe und Produkt Bearbeiten Die Summe A B displaystyle A B nbsp zweier persymmetrischer Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp ergibt wieder eine persymmetrische Matrix ebenso sind auch skalare Vielfache c A displaystyle cA nbsp mit c K displaystyle c in K nbsp Nachdem die Nullmatrix trivialerweise persymmetrisch ist bilden die persymmetrischen Matrizen einen Untervektorraum im Matrizenraum K n n displaystyle K n times n nbsp Das Produkt A B displaystyle A cdot B nbsp zweier persymmetrischer Matrizen ergibt aufgrund von J A B A T J B A T B T J B A T J displaystyle JAB A T JB A T B T J BA T J nbsp genau dann wieder eine persymmetrische Matrix wenn die beiden Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp kommutieren Inverse Bearbeiten Fur die Inverse A 1 displaystyle A 1 nbsp einer persymmetrischen Matrix gilt sofern sie existiert J A 1 A J 1 J A T 1 A T J displaystyle JA 1 AJ 1 JA T 1 A T J nbsp Die Inverse einer regularen persymmetrischen Matrix ist demnach wieder persymmetrisch 3 Siehe auch BearbeitenHankel MatrixLiteratur BearbeitenGene Golub Charles van Loan Matrix Computations JHU Press 2013 ISBN 978 1 4214 0794 4 Martin Hanke Bourgeois Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens Springer 2008 ISBN 978 3 8348 0708 3 Roger A Horn Charles R Johnson Matrix Analysis Cambridge University Press 2012 ISBN 978 0 521 83940 2 Einzelnachweise Bearbeiten Martin Hanke Bourgeois Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens Springer 2008 S 66 Roger A Horn Charles Johnson Matrix analysis Cambridge University Press 2013 S 36 Gene Golub Charles van Loan Matrix Computations JHU Press 2013 S 208 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Persymmetrische Matrix amp oldid 168798848