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Zentralsymmetrische Matrix Eine zentralsymmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix die punktsymme

Zentralsymmetrische Matrix

Eine zentralsymmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunkts ist. Zentralsymmetrische Matrizen treten unter anderem bei der numerischen Lösung bestimmter Differentialgleichungen und bei der Untersuchung von Markow-Prozessen auf.

Symmetriemuster einer zentralsymmetrischen (5×5)-Matrix

Definition Bearbeiten

Eine quadratische Matrix über einem Körper heißt zentralsymmetrisch, wenn für ihre Einträge

für gilt. Die Einträge einer zentralsymmetrischen Matrix verändern sich demnach nicht, wenn sie am Mittelpunkt der Matrix gespiegelt werden.

Beispiele Bearbeiten

Zentralsymmetrische Matrizen der Größe haben die allgemeine Form

und diejenigen der Größe die Form

mit .

Eigenschaften Bearbeiten

Symmetrien Bearbeiten

Mit der Permutationsmatrix definiert durch

lassen sich zentralsymmetrische Matrizen auch kompakt durch die Bedingung

charakterisieren. Eine zentralsymmetrische Matrix, die zudem symmetrisch oder persymmetrisch ist, wird bisymmetrische Matrix genannt. Bisymmetrische Matrizen sind sowohl bezüglich ihrer Hauptdiagonale, als auch bezüglich ihrer Gegendiagonale symmetrisch.

Blockstruktur Bearbeiten

Zentralsymmetrische Matrizen mit gerader Anzahl von Zeilen und Spalten besitzen eine spezielle Blockstruktur der Form

wobei sind. Zentralsymmetrische Matrizen mit ungerader Anzahl von Zeilen und Spalten haben die Struktur

wobei , , und sind.

Eigenwerte Bearbeiten

Die Eigenwerte einer zentralsymmetrischen Matrix mit einer geraden Anzahl von Zeilen und Spalten sind dann gegeben als die Eigenwerte der Matrizen

Die jeweils zugehörigen Eigenvektoren haben dann die Form

wobei ein Eigenvektor von und ein Eigenvektor von ist. Bei zentralsymmetrischen Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Zeilen und Spalten sind die Eigenwerte gegeben als die Eigenwerte der Matrizen

Die jeweils zugehörigen Eigenvektoren haben dann die Form

wobei ein Eigenvektor von und ein Eigenvektor von ist.

Summe und Produkt Bearbeiten

Die Summe zweier zentralsymmetrischer Matrizen und ergibt wieder eine zentralsymmetrische Matrix, ebenso sind auch skalare Vielfache mit . Nachdem die Nullmatrix trivialerweise zentralsymmetrisch ist, bilden die zentralsymmetrischen Matrizen einen Untervektorraum im Matrizenraum .

Das Produkt zweier zentralsymmetrischer Matrizen ergibt ebenfalls wieder eine zentralsymmetrische Matrix, denn es gilt

Nachdem die Einheitsmatrix ebenfalls zentralsymmetrisch ist, bilden die zentralsymmetrischen Matrizen eine Unteralgebra der assoziativen Algebra der quadratischen Matrizen.

Inverse Bearbeiten

Die Inverse einer regulären zentralsymmetrischen Matrix ist wiederum zentralsymmetrisch, denn es gilt

Die regulären zentralsymmetrischen Matrizen bilden somit eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe .

Anwendungen Bearbeiten

Zentralsymmetrische Matrizen treten beispielsweise bei der numerischen Lösung bestimmter Differentialgleichungen und Eigenwertprobleme, bei der Untersuchung von Markow-Prozessen und in einer Reihe physikalischer Problemstellungen auf.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-0-521-83940-2.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Thomas Muir: A Treatise on the Theory of Determinants. Dover, New York 1960, S. 19.
  2. ↑ Roger A. Horn, Charles Johnson: Matrix analysis. Cambridge University Press, 2013, S. 36.
  3. Iyad T. Abu-Jeib: Centrosymmetric Matrices: Properties and an Alternative Approach. In: Canadian Applied Mathematics Quarterly. Band 10, Nr. 4, 2002, S. 431.
  4. Alan L. Andrew: Eigenvectors of certain matrices. In: Linear Algebra and Applications. Nr. 7, 1973, S. 157–162.
  5. James R. Weaver: Centrosymmetric (cross-symmetric) matrices, their basic properties, eigenvalues, and eigenvectors. In: American Mathematical Monthly. Nr. 92, 1985, S. 711–717.
  6. Lokesh Datta, Salvatore D. Morgera: On the reducibility of centrosymmetric matrices—applications in engineering problems. In: Circuits Systems and Signal Processing. Nr. 8, 1989, S. 71–96.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Eine zentralsymmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix die punktsymmetrisch bezuglich ihres Mittelpunkts ist Zentralsymmetrische Matrizen treten unter anderem bei der numerischen Losung bestimmter Differentialgleichungen und bei der Untersuchung von Markow Prozessen auf Symmetriemuster einer zentralsymmetrischen 5 5 Matrix Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Symmetrien 3 2 Blockstruktur 3 3 Eigenwerte 3 4 Summe und Produkt 3 5 Inverse 4 Anwendungen 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Einzelnachweise 8 WeblinksDefinition BearbeitenEine quadratische Matrix A K n n displaystyle A in K n times n nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp heisst zentralsymmetrisch wenn fur ihre Eintrage a i j a n i 1 n j 1 displaystyle a i j a n i 1 n j 1 nbsp fur i j 1 n displaystyle i j 1 ldots n nbsp gilt 1 Die Eintrage einer zentralsymmetrischen Matrix verandern sich demnach nicht wenn sie am Mittelpunkt der Matrix gespiegelt werden Beispiele BearbeitenZentralsymmetrische Matrizen der Grosse 3 3 displaystyle 3 times 3 nbsp haben die allgemeine Form A a b c d e d c b a displaystyle A begin pmatrix a amp b amp c d amp e amp d c amp b amp a end pmatrix nbsp und diejenigen der Grosse 4 4 displaystyle 4 times 4 nbsp die Form A a b c d e f g h h g f e d c b a displaystyle A begin pmatrix a amp b amp c amp d e amp f amp g amp h h amp g amp f amp e d amp c amp b amp a end pmatrix nbsp mit a b c d e f g h K displaystyle a b c d e f g h in K nbsp Eigenschaften BearbeitenSymmetrien Bearbeiten Mit der Permutationsmatrix J K n n displaystyle J in K n times n nbsp definiert durch J d i n j 1 i j 0 1 1 0 displaystyle J delta i n j 1 ij begin pmatrix 0 amp amp 1 amp cdot cdot cdot amp 1 amp amp 0 end pmatrix nbsp lassen sich zentralsymmetrische Matrizen auch kompakt durch die Bedingung J A A J displaystyle JA AJ nbsp charakterisieren Eine zentralsymmetrische Matrix die zudem symmetrisch oder persymmetrisch ist wird bisymmetrische Matrix genannt Bisymmetrische Matrizen sind sowohl bezuglich ihrer Hauptdiagonale als auch bezuglich ihrer Gegendiagonale symmetrisch Blockstruktur Bearbeiten Zentralsymmetrische Matrizen mit gerader Anzahl von Zeilen und Spalten besitzen eine spezielle Blockstruktur der Form A B J C J C J B J K 2 n 2 n displaystyle A begin bmatrix B amp JCJ C amp JBJ end bmatrix in K 2n times 2n nbsp wobei B C K n n displaystyle B C in K n times n nbsp sind Zentralsymmetrische Matrizen mit ungerader Anzahl von Zeilen und Spalten haben die Struktur A B y J C J x z x J C J y J B J K 2 n 1 2 n 1 displaystyle A begin bmatrix B amp y amp JCJ x amp z amp xJ C amp Jy amp JBJ end bmatrix in K 2n 1 times 2n 1 nbsp wobei B C K n n displaystyle B C in K n times n nbsp x K 1 n displaystyle x in K 1 times n nbsp y K n 1 displaystyle y in K n times 1 nbsp und z K displaystyle z in K nbsp sind 2 Eigenwerte Bearbeiten Die Eigenwerte einer zentralsymmetrischen Matrix mit einer geraden Anzahl von Zeilen und Spalten sind dann gegeben als die Eigenwerte der Matrizen F B J C displaystyle F B JC nbsp und G B J C displaystyle G B JC nbsp Die jeweils zugehorigen Eigenvektoren haben dann die Form u J u displaystyle begin pmatrix u Ju end pmatrix nbsp und v J v displaystyle begin pmatrix v Jv end pmatrix nbsp wobei u displaystyle u nbsp ein Eigenvektor von F displaystyle F nbsp und v displaystyle v nbsp ein Eigenvektor von G displaystyle G nbsp ist Bei zentralsymmetrischen Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Zeilen und Spalten sind die Eigenwerte gegeben als die Eigenwerte der Matrizen F B J C displaystyle F B JC nbsp und G z 2 x 2 y B J C displaystyle bar G begin bmatrix z amp sqrt 2 x sqrt 2 y amp B JC end bmatrix nbsp Die jeweils zugehorigen Eigenvektoren haben dann die Form u 0 J u displaystyle begin pmatrix u 0 Ju end pmatrix nbsp und v 2 a J v displaystyle begin pmatrix bar v sqrt 2 alpha J bar v end pmatrix nbsp wobei u displaystyle u nbsp ein Eigenvektor von F displaystyle F nbsp und a v T T displaystyle alpha bar v T T nbsp ein Eigenvektor von G displaystyle bar G nbsp ist 3 Summe und Produkt Bearbeiten Die Summe A B displaystyle A B nbsp zweier zentralsymmetrischer Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp ergibt wieder eine zentralsymmetrische Matrix ebenso sind auch skalare Vielfache c A displaystyle cA nbsp mit c K displaystyle c in K nbsp Nachdem die Nullmatrix trivialerweise zentralsymmetrisch ist bilden die zentralsymmetrischen Matrizen einen Untervektorraum im Matrizenraum K n n displaystyle K n times n nbsp Das Produkt A B displaystyle A cdot B nbsp zweier zentralsymmetrischer Matrizen ergibt ebenfalls wieder eine zentralsymmetrische Matrix denn es gilt J A B A J B A B J displaystyle JAB AJB ABJ nbsp Nachdem die Einheitsmatrix ebenfalls zentralsymmetrisch ist bilden die zentralsymmetrischen Matrizen eine Unteralgebra der assoziativen Algebra der quadratischen Matrizen Inverse Bearbeiten Die Inverse A 1 displaystyle A 1 nbsp einer regularen zentralsymmetrischen Matrix ist wiederum zentralsymmetrisch denn es gilt J A 1 A J 1 J A 1 A 1 J displaystyle JA 1 AJ 1 JA 1 A 1 J nbsp Die regularen zentralsymmetrischen Matrizen bilden somit eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe G L n K displaystyle mathrm GL n K nbsp 2 Anwendungen BearbeitenZentralsymmetrische Matrizen treten beispielsweise bei der numerischen Losung bestimmter Differentialgleichungen und Eigenwertprobleme 4 bei der Untersuchung von Markow Prozessen 5 und in einer Reihe physikalischer Problemstellungen 6 auf Siehe auch BearbeitenHankel Matrix Toeplitz MatrixLiteratur BearbeitenRoger A Horn Charles R Johnson Matrix Analysis Cambridge University Press 2012 ISBN 978 0 521 83940 2 Einzelnachweise Bearbeiten Thomas Muir A Treatise on the Theory of Determinants Dover New York 1960 S 19 a b Roger A Horn Charles Johnson Matrix analysis Cambridge University Press 2013 S 36 Iyad T Abu Jeib Centrosymmetric Matrices Properties and an Alternative Approach In Canadian Applied Mathematics Quarterly Band 10 Nr 4 2002 S 431 Alan L Andrew Eigenvectors of certain matrices In Linear Algebra and Applications Nr 7 1973 S 157 162 James R Weaver Centrosymmetric cross symmetric matrices their basic properties eigenvalues and eigenvectors In American Mathematical Monthly Nr 92 1985 S 711 717 Lokesh Datta Salvatore D Morgera On the reducibility of centrosymmetric matrices applications in engineering problems In Circuits Systems and Signal Processing Nr 8 1989 S 71 96 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Centrosymmetric Matrix In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zentralsymmetrische Matrix amp oldid 198045260