Eine Tridiagonal-Toeplitz-Matrix ist in der linearen Algebra eine Tridiagonalmatrix mit konstanten Hauptdiagonal- und Nebendiagonalelementen. Tridiagonal-Toeplitz-Matrizen treten in der numerischen Mathematik recht häufig auf, beispielsweise bei der Berechnung kubischer Splines oder bei der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung in einer Raumdimension nach der Finite-Differenzen-Methode bei Verwendung äquidistanter Stützstellen.
Definition Bearbeiten
Eine Tridiagonal-Toeplitz-Matrix oder ist eine quadratische Matrix der Form
wobei die leeren Plätze mit Nullen besetzt sind. , und sind reelle oder komplexe Zahlen. Eine Tridiagonal-Toeplitz-Matrix ist damit sowohl eine spezielle Tridiagonalmatrix, bei der die Haupt- und Nebendiagonalelemente konstant sind, als auch eine spezielle Toeplitz-Matrix, bei der die Elemente außerhalb der Haupt- und Nebendiagonalen gleich null sind.
Eigenschaften Bearbeiten
Lineare Gleichungssysteme der Form können effizient mit Hilfe des Thomas-Algorithmus, einer vereinfachten Variante der Gauß-Elimination, mit einem Aufwand der Ordnung gelöst werden.
Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer reellen Tridiagonal-Toeplitz-Matrix lassen sich aus Formeln berechnen. Das sind die Lösungen der Eigenwertgleichung
Es gibt im allgemeinen Fall Lösungen für die Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren, wobei die Anzahl der Zeilen resp. Anzahl der Spalten ist. symbolisiere einen speziellen Eigenwert mit der Nummer , den zugehörigen Eigenvektor.
Sind die Nebendiagonalelemente und ungleich null, dann sind die Eigenwerte von alle verschieden und durch
und den Winkeln
mit jeweils gegeben.
Die Komponenten des Eigenvektors zum Eigenwert kann man im Fall aus der Formel
mit berechnen. Es ist eine beliebige Konstante, die als Normierungskonstante bezeichnet wird, für die man auch den Wert wählen kann. Die Komponenten aller Eigenvektoren bilden eine quadratische Matrix , die symmetrisch ist, wie aus der Formel sofort ersichtlich. Von den Werten und auf den Nebendiagonalen hängen die Eigenvektoren nicht ab.
Trägt man die Komponenten für festes über der fortlaufenden Nummer auf, so liegen diese auf einer Sinuskurve, die für die (nicht mehr dazugehörigen) Werte und durch Null geht und zwischen diesen Werten Perioden enthält.
Die Grafik zeigt die Sinuskurven für in unterschiedlichen Farben, auf denen die Komponenten der Eigenvektoren liegen. Die rote Sinuskurve, die zum ersten Eigenvektor resp. zum ersten Eigenwert gehört, enthält eine halbe Periode, die grüne zum zweiten Eigenvektor eine (vollständige) Periode, die blaue Perioden usw. Die farbigen Punkte markieren die Werte der Vektorkomponenten für den Spezialfall . Die durchgezogenen Sinuskurven sind die Eigenvektoren für den Fall von sehr großem und damit die Eigenfunktionen des entsprechenden kontinuierlichen Eigenwertproblems.
Ist , so hat den einzigen Eigenwert . Die zugehörigen Eigenvektoren sind dann die Einheitsvektoren , falls ist, , falls ist, und , falls sind. Die Eigenwerte von sind damit genau dann reell, wenn gilt. Die Eigenwerte einer Triadiagonal-Toeplitz-Matrix werden beispielsweise bei der numerischen Stabilitätsanalyse des Crank-Nicolson-Verfahrens benötigt.
Quadrat einer Tridiagonal-Toeplitz-Matrix Bearbeiten
Da Tridiagonal-Toeplitz-Matrizen zu den Matrizen gehören, für die Eigenwerte und Eigenvektoren formelmäßig berechnet werden können, sind sie besonders geeignet als Testmatrizen für diejenigen Anwender, die entsprechenden Quelltext zu programmieren und ihren Code zu testen haben. Aber auch für die, die übernommene Computerprogramme testen wollen oder die sich in solche einarbeiten müssen.
Eine weitere solche Testmatrix ist auch das Quadrat einer Tridiagonal-Toeplitz-Matrix. Multiplizieren wir die Eigenwertgleichung
von links mit der Matrix so erhalten wir
Die Eigenwerte des Quadrats einer Tridiagonal-Toeplitz-Matrix sind folglich gleich den Quadraten der Eigenwerte der Matrix . Die Eigenvektoren beider Matrizen sind gleich. Analoges gilt auch für höhere Potenzen der Matrix .
Durch Multiplikation der Matrix mit sich selbst ergibt die Matrix
Die Matrix ist eine Bandmatrix mit fünf Bändern. Sie ist jedoch keine Toeplitz-Matrix. Das erkennt man an den beiden hervorgehobenen Elementen und , die sich von den sonstigen Diagonalelementen unterscheiden.
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- Albrecht Böttcher, Sergei M. Grudsky: Spectral Properties of Banded Toeplitz Matrices. SIAM, Philadelphia PA 2005, ISBN 0-89871-599-7, Kapitel 2.2.
- Silvia Noschese, Lionello Pasquini, Lothar Reichel: Tridiagonal Toeplitz matrices. Properties and novel applications. In: Numerical Linear Algebra with Applications. Band 20, Nr. 2: Special Issue: Inverse Problems Dedicated to Biswa Datta, 2013, ISSN 1070-5325, S. 302–326, doi:10.1002/nla.1811.
Einzelnachweise und Anmerkung Bearbeiten
- Da ist ändern sich bei Wechsel des Vorzeichens des zweiten Summanden nur die Reihenfolge der Eigenwerte. Wählt man das Minuszeichen, so ist der erste Eigenwert der kleinste, wählt man das Pluszeichen, so ist der erste Eigenwert der größte.
- Richard Bellman: Introduction to matrix algebra. McGraw, New York 1960, S. 215 f. (328 S.). Der Name Tridiagonal-Toeplitz-Matrix für diesen Matrixtyp wird von Bellman nicht verwendet.
- Rudolf Zurmühl: Matrizen und ihre technischen Anwendungen. Vierte neubearbeite Auflage. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1964, S. 229 f. (XII, 452, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). Der Name Tridiagonal-Toeplitz-Matrix für diesen Matrixtyp wird von Zurmühl nicht verwendet.