www.wikidata.de-de.nina.az

Sherman Morrison Woodbury Formel Die nach Jack Sherman Winifred J Morrison und Max A Woodbury 1 2 3 4 5 der linearen Alg

Sherman-Morrison-Woodbury-Formel

Die Sherman-Morrison-Woodbury-Formel (nach Jack Sherman, Winifred J. Morrison und Max A. Woodbury) der linearen Algebra gibt eine explizite Darstellung der Inversen einer regulären Matrix nach einer Änderung von niederem Rang. Dies ist beispielsweise bei Quasi-Newton-Verfahren und beim Basiswechsel im Simplex-Verfahren interessant.

In numerischen Verfahren kann die Verwendung der Formel zu Stabilitätsproblemen führen, weswegen Alternativen zu bevorzugen sind.

Änderung vom Rang 1 Bearbeiten

Mit zwei Vektoren ist das Produkt eine -Matrix und besitzt den Rang 1.

wobei mit die Einheitsmatrix gemeint ist. Die Aussage prüft man elementar nach.

Die Formel überträgt sich direkt auf Rang-1-Änderungen einer beliebigen, regulären -Matrix :

Dabei ergibt sich, dass die Matrix genau dann invertierbar ist, wenn der Nenner in obiger Formel nicht verschwindet.

Änderung vom Rang k Bearbeiten

Für zwei -Matrizen verallgemeinert sich die Formel in folgender Weise:

Literatur Bearbeiten

  • Gene H. Golub, Charles F. van Loan: Matrix Computations, Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, 1996.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Jack Sherman, Winifred J. Morrison: Adjustment of an Inverse Matrix Corresponding to Changes in the Elements of a Given Column or a Given Row of the Original Matrix (abstract). In: Annals of Mathematical Statistics. 20. Jahrgang, 1949, S. 621, doi:10.1214/aoms/1177729959.
  2. Jack Sherman, Winifred J. Morrison: Adjustment of an Inverse Matrix Corresponding to a Change in One Element of a Given Matrix. In: Annals of Mathematical Statistics. 21. Jahrgang, Nr. 1, 1950, S. 124–127, doi:10.1214/aoms/1177729893.
  3. Max A. Woodbury: Inverting modified matrices. In: Statistical Research Group (Hrsg.): Memorandum Report 42. Princeton University, Princeton, NJ 1950.
  4. Max A. Woodbury: The Stability of Out-Input Matrices. Chicago 1949.
  5. William W. Hager: Updating the inverse of a matrix. In: SIAM Review. 31. Jahrgang, Nr. 2, 1989, S. 221–239, doi:10.1137/1031049.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Sherman Morrison Woodbury Formel nach Jack Sherman Winifred J Morrison und Max A Woodbury 1 2 3 4 5 der linearen Algebra gibt eine explizite Darstellung der Inversen einer regularen Matrix A displaystyle A nach einer Anderung U V T displaystyle UV T von niederem Rang Dies ist beispielsweise bei Quasi Newton Verfahren und beim Basiswechsel im Simplex Verfahren interessant In numerischen Verfahren kann die Verwendung der Formel zu Stabilitatsproblemen fuhren weswegen Alternativen zu bevorzugen sind Inhaltsverzeichnis 1 Anderung vom Rang 1 2 Anderung vom Rang k 3 Literatur 4 EinzelnachweiseAnderung vom Rang 1 BearbeitenMit zwei Vektoren u v R n displaystyle u v in mathbb R n nbsp ist das Produkt u v T displaystyle uv T nbsp eine n n displaystyle n times n nbsp Matrix und besitzt den Rang 1 Fur v T u 1 displaystyle v T u not 1 nbsp gilt E u v T 1 E u v T 1 v T u displaystyle E uv T 1 E frac uv T 1 v T u nbsp wobei mit E displaystyle E nbsp die Einheitsmatrix gemeint ist Die Aussage pruft man elementar nach Die Formel ubertragt sich direkt auf Rang 1 Anderungen einer beliebigen regularen n n displaystyle n times n nbsp Matrix A displaystyle A nbsp Fur v T A 1 u 1 displaystyle v T A 1 u not 1 nbsp gilt A u v T 1 A 1 A 1 u v T A 1 1 v T A 1 u displaystyle A uv T 1 A 1 frac A 1 uv T A 1 1 v T A 1 u nbsp Dabei ergibt sich dass die Matrix A u v T displaystyle A uv T nbsp genau dann invertierbar ist wenn der Nenner in obiger Formel nicht verschwindet Anderung vom Rang k BearbeitenFur zwei n k displaystyle n times k nbsp Matrizen U V displaystyle U V nbsp verallgemeinert sich die Formel in folgender Weise Die k k displaystyle k times k nbsp Matrix E V T A 1 U displaystyle E V T A 1 U nbsp sei regular dann gilt A U V T 1 A 1 A 1 U E V T A 1 U 1 V T A 1 displaystyle A UV T 1 A 1 A 1 U E V T A 1 U 1 V T A 1 nbsp Literatur BearbeitenGene H Golub Charles F van Loan Matrix Computations Johns Hopkins Univ Press Baltimore 1996 Einzelnachweise Bearbeiten Jack Sherman Winifred J Morrison Adjustment of an Inverse Matrix Corresponding to Changes in the Elements of a Given Column or a Given Row of the Original Matrix abstract In Annals of Mathematical Statistics 20 Jahrgang 1949 S 621 doi 10 1214 aoms 1177729959 Jack Sherman Winifred J Morrison Adjustment of an Inverse Matrix Corresponding to a Change in One Element of a Given Matrix In Annals of Mathematical Statistics 21 Jahrgang Nr 1 1950 S 124 127 doi 10 1214 aoms 1177729893 Max A Woodbury Inverting modified matrices In Statistical Research Group Hrsg Memorandum Report 42 Princeton University Princeton NJ 1950 Max A Woodbury The Stability of Out Input Matrices Chicago 1949 William W Hager Updating the inverse of a matrix In SIAM Review 31 Jahrgang Nr 2 1989 S 221 239 doi 10 1137 1031049 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sherman Morrison Woodbury Formel amp oldid 186513678