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Deviator en oder deviatorische Tensoren lateinisch Abweichler sind in der Kontinuumsmechanik Tensoren zweiter Stufe dere

Deviator

Deviatoren oder deviatorische Tensoren (lateinisch Abweichler) sind in der Kontinuumsmechanik Tensoren zweiter Stufe, deren Spur verschwindet. Tensoren zweiter Stufe werden hier als lineare Abbildungen von geometrischen Vektoren auf geometrische Vektoren benutzt, die im Allgemeinen dabei gedreht und gestreckt werden, siehe Abbildung rechts.

Lineare Abbildung eines Vektors durch einen Tensor .

Von besonderer Bedeutung sind die Verzerrungstensoren, die die Dehnung, Stauchung und Scherung von materiellen Linien und Flächen in einem Körper bei einer Deformation beschreiben. Die Verzerrungstensoren besitzen eine „Spur“ genannte Kennziffer (Hauptinvariante), die ein Maß für die Volumendehnung am Ort ihres Auftretens ist und zwar in der Art, dass sie verschwindet, wenn keine Volumendehnung vorliegt. Der spurfreie Anteil des Verzerrungstensors, sein Deviator, beschreibt (in der linearisierten Theorie) also den volumenerhaltenden, gestaltändernden Anteil der Deformation eines Körpers. Ebenso beschreibt in der Strömungsmechanik der deviatorische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten den quellenfreien Anteil der Strömung.

Ein anderes Anwendungsgebiet von Deviatoren liegt in der Plastizitätstheorie. Bei vielen Metallen beobachtet man, dass sie unter allseitigem, hydrostatischem Druck nicht plastisch fließen oder, anders ausgedrückt, das plastische Fließen nur von den vom hydrostatischen Anteil befreiten Spannungen getrieben wird. Der deviatorische Anteil eines Tensors ist gerade der Teil, der übrig bleibt, wenn sein hydrostatischer Anteil abgezogen wird.

Mit Deviatoren kann also das Materialverhalten unter volumenerhaltenden, gestaltändernden Bedingungen modelliert werden.

Definition Bearbeiten

Deviatoren sind Tensoren zweiter Stufe , deren Spur "Sp" verschwindet:

Der deviatorische Anteil wird mit einem hochgestellten "D" oder "dev" bezeichnet:

Die Spur des Einheitstensors ist gleich der Dimension des zugrunde gelegten Raumes, hier und im Folgenden gleich drei.

Der Subtrahend

ist der Kugelanteil des Tensors .

Eigenschaften Bearbeiten

Zerlegung in Deviator und Kugelanteil Bearbeiten

Die in der Definition angedeutete Zerlegung in Deviator und Kugelanteil ist in der Festigkeitslehre und Fluidmechanik häufig anzutreffen, insbesondere beim Spannungstensor:

Der Kugelanteil σm1 modelliert den sogenannten hydrostatischen Spannungszustand, dem Materialien ohne Schaden zu nehmen in hohem Maß widerstehen können. Nach der Gestaltänderungshypothese wird die Schädigung eines isotropen Materials vom Spannungsdeviator getrieben, dessen Betrag proportional zur von-Mises-Vergleichsspannung ist.

Deviatoren und Kugelanteile sind orthogonal zueinander:

Der Doppelpunkt „:“ bildet das Frobenius-Skalarprodukt zweier Tensoren A und B gemäß A : B := Sp(A T ·  B) mittels der Spur und daher 1 : σ = Sp(σ) sowie 1 : 1 = 3. Siehe auch #Invarianten von Deviatoren.

Statt der mittleren Normalspannung σm wird in der Fluidmechanik der Druck p = -σm verwendet, sodass

entsteht.

Flächen im Eigenwertraum Bearbeiten

Flächen im Eigenwertraum

Betrachtet werden symmetrische Tensoren zweiter Stufe. Diese haben drei reelle Eigenwerte und stellen im Eigenwertraum (der Raum, in dem die Eigenwerte auf den drei Koordinatenachsen aufgetragen werden) einen Punkt dar.

Mit der Gleichung

wird mit einem Flächenparameter eine Fläche in diesem drei-dimensionalen Eigenwertraum definiert, siehe Abbildung rechts. Diese Fläche hat die Form eines (unendlich langen) Zylinders, der Parallel zur hydrostatischen Achse

ausgerichtet ist. Wegen

liegen alle Deviatoren in der deviatorischen Ebene

deren Normale die hydrostatische Achse ist. Die Normalen an die Fläche liegen in Ebenen, die zur deviatorischen Ebene parallel sind, weswegen die Normalen ebenfalls deviatorisch sind. Das berechnet sich auch aus der Ableitung

weil die Normalen genau dieser Ableitung entsprechen.

Eine Fläche diesen Typs ist die Fließortfläche in der J2-Plastizitätstheorie

Der Flächenparameter ist die isotrope Verfestigung, der (symmetrische) Spannungstensor und die von Mises Vergleichsspannung. Im einachsigen Fall ist

und modelliert die Fließspannung.

Die hydrostatische Achse wird vom Einheitstensor und den Kugeltensoren gebildet.

Invarianten von Deviatoren Bearbeiten

Die drei Hauptinvarianten eines Deviators lauten

Der Operator gibt die Determinante seines Argumentes. Der Betrag oder Frobeniusnorm eines Deviators berechnet sich mit dem Frobenius-Skalarprodukt ":" zu

woraus

folgt. Drei Strecken mit den Längen der Beträge eines Tensors, seines Deviators und seines Kugelanteils bilden also ein rechtwinkliges Dreieck.

Bei einem symmetrischen Tensor ist auch dessen Deviator symmetrisch und für dessen Frobeniusnorm ergibt sich:

Wenn der Tensor die Darstellung

mit Komponenten bezüglich der Standardbasis des euklidischen Vektorraums besitzt, dann berechnen sich

Anwendungen Bearbeiten

Deviatoren und Volumendehnung Bearbeiten

Ein Quader wird geringfügig in x-, y- und z-Richtung gedehnt. Die in den Dehnungen linearen Anteile der Volumenzunahme sind blau, oliv bzw. rot markiert.

Bei der Streckung eines Körpers der Länge auf die Länge ist die Dehnung als das Längenverhältnis

definiert. Bei der Verformung eines Quaders der Länge , Breite und Höhe in x-, y- und z-Richtung (und daher Volumen ) ergeben sich analog Dehnungen und in x-, y- und z-Richtung, siehe Abbildung rechts. Das Volumen des Quaders nach der Deformation berechnet sich dann aus

Das Landau-Symbol steht für Terme, die mindestens quadratisch in den Dehnungen sind und die bei kleinen Dehnungen vernachlässigt werden können. Die Summe der Dehnungen in x-, y- und z-Richtung ist die Spur des linearisierten Verzerrungstensors

und deshalb ergibt sich aus die Volumendehnung:

Bei großen Verformungen findet sich der Zusammenhang

zwischen dem natürlichen Logarithmus des Volumenverhältnisses und der Spur des Henky Verzerrungstensors.

Wenn die Spuren der Verzerrungstensoren oder bei kleinen bzw. großen Verformungen verschwinden, sie deviatorisch sind, liegt also keine Volumendehnung am Ort ihres Auftretens vor. Umgekehrt beschreiben die Deviatoren dieser Verzerrungstensoren den volumenerhaltenden, gestaltändernden Teil der Deformation und können somit für die Modellierung des Materialverhaltens unter diesen Bedingungen eingesetzt werden.

Deviator des Geschwindigkeitsgradienten Bearbeiten

Der Geschwindigkeitsgradient l ist der Vektorgradient des Geschwindigkeits­feldes. Eine in der Strömungsmechanik wichtige Eigenschaft des Feldes ist die Quellendichte oder Divergenz des Feldes, die an jedem Punkt angibt, wie sehr die Vektoren in einer kleinen Umgebung eines Punktes auseinanderstreben (lateinisch divergere). Mathematisch lässt sich das als

schreiben. Darin ist dV ein von Teilchen eingenommenes (infinitesimal) kleines Volumen, dessen Zeitableitung also Expansionsrate und 𝜵 der Nabla-Operator, dessen (formales) Skalarprodukt „·“ mit dem Geschwindigkeitsfeld dessen Divergenz ergibt. Wenn der Geschwindigkeitsgradient deviatorisch also spurfrei ist, dann ist das Geschwindigkeitsfeld quellenfrei.

Gleiches gilt für den Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d, der der symmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten ist. Der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor wird in Materialmodellen von Fluiden, also Flüssigkeiten und Gasen, eingesetzt. Mit seinem deviatorischen Anteil wird der quellenfreie Anteil der Strömung modelliert, beispielsweise im newtonschen Fluid:

Darin bezeichnet σ den Cauchy’schen Spannungstensor, p den thermodynamischen, statischen Druck, ζ die Volumenviskosität und μ die Scherviskosität. Der zweite und dritte Term modellieren die Viskosität des Fluids, d. h. die Spannungen, die von der Viskosität des Fluids verursacht sind und die nur im Ungleichgewicht auftreten, also solange das Fluid in Bewegung ist. Der zweite Term steht für allseitige divergenzproportionale Normalspannungen aufgrund von Kompression oder Expansion und der dritte für Spannungen im divergenzfreien Anteil des Strömungsfeldes. Aus diesem Materialmodell leiten sich die Navier-Stokes-Gleichungen ab.

Deviatorische Verzerrungsgeschwindigkeit Bearbeiten

Eine kleine Deformation, bei der die Rate des linearisierten Verzerrungstensors deviatorisch ist, ist volumenerhaltend, weil seine Spur ein Maß für die Kompression am Ort seines Auftretens ist. Dies gilt auch bei großen Deformationen, wenn die kovariante Oldroyd Ableitung des Euler-Almansi Verzerrungstensors

deviatorisch ist. Darin ist l der Geschwindigkeitsgradient. Falls obiges zutrifft, ist die Deformation volumenerhaltend, denn dann verschwindet wegen

die Zeitableitung der Determinante "det" des Deformationsgradienten , siehe den Abschnitt „Ableitungen der Hauptinvarianten“ bei Hauptinvariante. Die Determinante des Deformationsgradienten ist gleich der Volumendehnung, die in diesem Fall zeitlich konstant ist.

Dies bewirkt in der J2-Plastizität, in der die Rate der plastischen Dehnungen deviatorisch ist und die plastischen Dehnungen vom Euler-Almansi-Typ sind, dass die plastischen Dehnungen volumenerhaltend sind, was mit plastischer Inkompressibilität bezeichnet wird.

Siehe auch Bearbeiten

Fußnoten Bearbeiten

  1. Greve (2003), S. 90 f, Altenbach (2012), S. 149.
  2. Altenbach (2012), S. 273.
  3. Die Fréchet-Ableitung einer skalaren Funktion nach einem Tensor ist der Tensor für den – sofern er existiert – gilt: Darin ist und ":" das Frobenius-Skalarprodukt. Dann wird auch geschrieben.
  4. ↑ Die zweite Hauptinvariante des Spannungsdeviators wird häufig mit J2 bezeichnet: und ist wegen ein Maß für den Betrag des Spannungsdeviators.
  5. Greve (2003), S. 164.

Literatur Bearbeiten

  • H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, S. 36, 106, 119, 149.
  • Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 978-3-642-62463-6, S. 90 f., 98, doi:10.1007/978-3-642-55485-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
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Deviatoren oder deviatorische Tensoren lateinisch Abweichler sind in der Kontinuumsmechanik Tensoren zweiter Stufe deren Spur verschwindet Tensoren zweiter Stufe werden hier als lineare Abbildungen von geometrischen Vektoren auf geometrische Vektoren benutzt die im Allgemeinen dabei gedreht und gestreckt werden siehe Abbildung rechts Lineare Abbildung eines Vektors v displaystyle vec v durch einen Tensor T displaystyle mathbf T Von besonderer Bedeutung sind die Verzerrungstensoren die die Dehnung Stauchung und Scherung von materiellen Linien und Flachen in einem Korper bei einer Deformation beschreiben Die Verzerrungstensoren besitzen eine Spur genannte Kennziffer Hauptinvariante die ein Mass fur die Volumendehnung am Ort ihres Auftretens ist und zwar in der Art dass sie verschwindet wenn keine Volumendehnung vorliegt Der spurfreie Anteil des Verzerrungstensors sein Deviator beschreibt in der linearisierten Theorie also den volumenerhaltenden gestaltandernden Anteil der Deformation eines Korpers Ebenso beschreibt in der Stromungsmechanik der deviatorische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten den quellenfreien Anteil der Stromung Ein anderes Anwendungsgebiet von Deviatoren liegt in der Plastizitatstheorie Bei vielen Metallen beobachtet man dass sie unter allseitigem hydrostatischem Druck nicht plastisch fliessen oder anders ausgedruckt das plastische Fliessen nur von den vom hydrostatischen Anteil befreiten Spannungen getrieben wird Der deviatorische Anteil eines Tensors ist gerade der Teil der ubrig bleibt wenn sein hydrostatischer Anteil abgezogen wird Mit Deviatoren kann also das Materialverhalten unter volumenerhaltenden gestaltandernden Bedingungen modelliert werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Zerlegung in Deviator und Kugelanteil 2 2 Flachen im Eigenwertraum 2 3 Invarianten von Deviatoren 3 Anwendungen 3 1 Deviatoren und Volumendehnung 3 2 Deviator des Geschwindigkeitsgradienten 3 3 Deviatorische Verzerrungsgeschwindigkeit 4 Siehe auch 5 Fussnoten 6 LiteraturDefinition BearbeitenDeviatoren sind Tensoren zweiter Stufe T displaystyle mathbf T nbsp deren Spur Sp verschwindet T S p T 0 displaystyle mathbf T quad mathrm Sp mathbf T 0 nbsp Der deviatorische Anteil wird mit einem hochgestellten D oder dev bezeichnet d e v T T D T d e v T S p T S p 1 1 T S p T 3 1 displaystyle mathrm dev mathbf T mathbf T rm D mathbf T mathrm dev mathbf T frac mathrm Sp mathbf T mathrm Sp mathbf 1 mathbf 1 mathbf T frac mathrm Sp mathbf T 3 mathbf 1 nbsp Die Spur des Einheitstensors 1 displaystyle mathbf 1 nbsp ist gleich der Dimension des zugrunde gelegten Raumes hier und im Folgenden gleich drei Der SubtrahendS p T 3 1 T K displaystyle frac mathrm Sp mathbf T 3 mathbf 1 mathbf T mathrm K nbsp ist der Kugelanteil des Tensors T displaystyle mathbf T nbsp Eigenschaften BearbeitenZerlegung in Deviator und Kugelanteil Bearbeiten Die in der Definition angedeutete Zerlegung in Deviator und Kugelanteil ist in der Festigkeitslehre und Fluidmechanik haufig anzutreffen insbesondere beim Spannungstensor 1 s s m 1 s D s m S p s 3 displaystyle boldsymbol sigma sigma m mathbf 1 boldsymbol sigma rm D quad sigma m frac mathrm Sp boldsymbol sigma 3 nbsp Der Kugelanteil sm1 modelliert den sogenannten hydrostatischen Spannungszustand dem Materialien ohne Schaden zu nehmen in hohem Mass widerstehen konnen Nach der Gestaltanderungshypothese wird die Schadigung eines isotropen Materials vom Spannungsdeviator getrieben dessen Betrag proportional zur von Mises Vergleichsspannung ist 2 Deviatoren und Kugelanteile sind orthogonal zueinander k 1 s D k 1 s s m 1 k S p s 3 k s m 0 k R displaystyle k mathbf 1 colon boldsymbol sigma rm D k mathbf 1 colon left boldsymbol sigma sigma m mathbf 1 right k mathrm Sp boldsymbol sigma 3k sigma m 0 quad forall k in mathbb R nbsp Der Doppelpunkt bildet das Frobenius Skalarprodukt zweier Tensoren A und B gemass A B Sp A T B mittels der Spur und daher 1 s Sp s sowie 1 1 3 Siehe auch Invarianten von Deviatoren Statt der mittleren Normalspannung sm wird in der Fluidmechanik der Druck p sm verwendet sodass s p 1 s D displaystyle boldsymbol sigma p mathbf 1 boldsymbol sigma rm D nbsp entsteht Flachen im Eigenwertraum Bearbeiten nbsp Flachen im EigenwertraumBetrachtet werden symmetrische Tensoren zweiter Stufe Diese haben drei reelle Eigenwerte l 1 2 3 displaystyle lambda 1 2 3 nbsp und stellen im Eigenwertraum der Raum in dem die Eigenwerte auf den drei Koordinatenachsen aufgetragen werden einen Punkt dar Mit der Gleichung T D C displaystyle parallel mathbf T rm D parallel C nbsp wird mit einem Flachenparameter C displaystyle C nbsp eine Flache in diesem drei dimensionalen Eigenwertraum definiert siehe Abbildung rechts Diese Flache hat die Form eines unendlich langen Zylinders der Parallel zur hydrostatischen Achse l 1 l 2 l 3 displaystyle lambda 1 lambda 2 lambda 3 nbsp ausgerichtet ist Wegen S p T l 1 l 2 l 3 displaystyle mathrm Sp mathbf T lambda 1 lambda 2 lambda 3 nbsp liegen 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Vergleichsspannung Im einachsigen Fall s s e 1 e 1 displaystyle boldsymbol sigma sigma hat e 1 otimes hat e 1 nbsp ist s v 3 2 s D s displaystyle sigma v sqrt frac 3 2 parallel boldsymbol sigma rm D parallel sigma nbsp und k displaystyle k nbsp modelliert die Fliessspannung Die hydrostatische Achse wird vom Einheitstensor und den Kugeltensoren gebildet Invarianten von Deviatoren Bearbeiten Die drei Hauptinvarianten I 1 2 3 displaystyle mathrm I 1 2 3 nbsp eines Deviators lauten I 1 T D S p T D 0 I 2 T D 1 2 S p T D 2 S p T D T D 1 2 S p T D T D I 3 T D det T D 1 3 Sp T D T D T D displaystyle begin aligned mathrm I 1 mathbf T rm D amp mathrm Sp mathbf T rm D amp amp 0 mathrm I 2 mathbf T rm D amp frac 1 2 mathrm Sp mathbf T rm D 2 mathrm Sp mathbf T rm D cdot mathbf T rm D amp amp frac 1 2 mathrm Sp mathbf T rm D cdot mathbf T rm D mathrm I 3 mathbf T rm D amp operatorname det mathbf T rm D amp amp frac 1 3 operatorname Sp mathbf T rm D cdot mathbf T rm D cdot mathbf T rm D end aligned nbsp Der Operator det displaystyle operatorname det nbsp gibt die Determinante seines Argumentes Der Betrag oder Frobeniusnorm eines Deviators berechnet sich mit dem Frobenius Skalarprodukt zu T D T D T D T T 1 3 S p T 2 displaystyle parallel mathbf T rm D parallel sqrt mathbf T rm D mathbf T rm D sqrt mathbf T mathbf T frac 1 3 mathrm Sp mathbf T 2 nbsp woraus T 2 T D 2 Sp T 3 1 2 displaystyle parallel mathbf T parallel 2 parallel mathbf T rm D parallel 2 begin Vmatrix frac text Sp mathbf T 3 mathbf 1 end Vmatrix 2 nbsp folgt Drei Strecken mit den Langen der Betrage eines Tensors seines Deviators und seines Kugelanteils bilden also ein rechtwinkliges Dreieck Bei einem symmetrischen Tensor T T T displaystyle mathbf T mathbf T mathrm T nbsp ist auch dessen Deviator symmetrisch und fur dessen Frobeniusnorm ergibt sich T D T D T D 2 I 2 T D displaystyle parallel mathbf T rm D parallel sqrt mathbf T rm D mathbf T rm D sqrt 2 mathrm I 2 mathbf T rm D nbsp Wenn der Tensor die Darstellung T i j 1 3 T i j e i e j displaystyle mathbf T sum i j 1 3 T ij hat e i otimes hat e j nbsp mit Komponenten T i j R displaystyle T ij in mathbb R nbsp bezuglich der Standardbasis e 1 2 3 displaystyle hat e 1 2 3 nbsp des euklidischen Vektorraums V 3 displaystyle mathbb V 3 nbsp besitzt dann berechnen sich T D 2 3 T 11 1 3 T 22 1 3 T 33 T 12 T 13 T 21 2 3 T 22 1 3 T 11 1 3 T 33 T 23 T 31 T 32 2 3 T 33 1 3 T 11 1 3 T 22 I 2 T D 1 3 T 11 T 22 T 11 T 33 T 22 T 33 T 11 2 T 22 2 T 33 2 T 12 T 21 T 13 T 31 T 23 T 32 det T D 1 27 12 T 11 T 22 T 33 2 T 11 3 T 22 3 T 33 3 3 T 11 2 T 22 T 33 3 T 22 2 T 11 T 33 3 T 33 2 T 11 T 22 1 3 2 T 11 T 22 T 33 T 23 T 32 2 T 33 T 11 T 22 T 12 T 21 2 T 22 T 11 T 33 T 13 T 31 T 13 T 32 T 21 T 12 T 23 T 31 T D 2 3 T 11 2 T 22 2 T 33 2 T 11 T 22 T 11 T 33 T 22 T 33 T 12 2 T 21 2 T 13 2 T 31 2 T 23 2 T 32 2 displaystyle begin aligned mathbf T rm D amp begin pmatrix frac 2 3 T 11 frac 1 3 T 22 frac 1 3 T 33 amp T 12 amp T 13 T 21 amp frac 2 3 T 22 frac 1 3 T 11 frac 1 3 T 33 amp T 23 T 31 amp T 32 amp frac 2 3 T 33 frac 1 3 T 11 frac 1 3 T 22 end pmatrix mathrm I 2 mathbf T rm D amp frac 1 3 T 11 T 22 T 11 T 33 T 22 T 33 T 11 2 T 22 2 T 33 2 T 12 T 21 T 13 T 31 T 23 T 32 operatorname det mathbf T rm D amp frac 1 27 12T 11 T 22 T 33 2 T 11 3 T 22 3 T 33 3 3T 11 2 T 22 T 33 3T 22 2 T 11 T 33 3T 33 2 T 11 T 22 amp frac 1 3 2T 11 T 22 T 33 T 23 T 32 2T 33 T 11 T 22 T 12 T 21 2T 22 T 11 T 33 T 13 T 31 amp T 13 T 32 T 21 T 12 T 23 T 31 parallel mathbf T rm D parallel amp sqrt frac 2 3 T 11 2 T 22 2 T 33 2 T 11 T 22 T 11 T 33 T 22 T 33 T 12 2 T 21 2 T 13 2 T 31 2 T 23 2 T 32 2 end aligned nbsp Anwendungen BearbeitenDeviatoren und Volumendehnung Bearbeiten nbsp Ein Quader wird geringfugig in x y und z Richtung gedehnt Die in den Dehnungen linearen Anteile der Volumenzunahme sind blau oliv bzw rot markiert Bei der Streckung eines Korpers der Lange L displaystyle L nbsp auf die Lange l displaystyle l nbsp ist die Dehnung e displaystyle varepsilon nbsp als das Langenverhaltnis e l L L l L 1 e displaystyle varepsilon frac l L L quad leftrightarrow quad l L 1 varepsilon nbsp definiert Bei der Verformung eines Quaders der Lange L displaystyle L nbsp Breite B displaystyle B nbsp und Hohe H displaystyle H nbsp in x y und z Richtung und daher Volumen V L B H displaystyle V LBH nbsp ergeben sich analog Dehnungen e x e y displaystyle varepsilon x varepsilon y nbsp und e z displaystyle varepsilon z nbsp in x y und z Richtung siehe Abbildung rechts Das Volumen des Quaders nach der Deformation berechnet sich dann aus v L 1 e x B 1 e y H 1 e z L B H L B H e x L B H e y L B H e z O e 2 V 1 e x e y e z O e 2 displaystyle begin array rcl v amp amp L 1 varepsilon x B 1 varepsilon y H 1 varepsilon z amp amp LBH LBH varepsilon x LBH varepsilon y LBH varepsilon z mathcal O varepsilon 2 amp amp V 1 varepsilon x varepsilon y varepsilon z mathcal O varepsilon 2 end array nbsp Das Landau Symbol O e 2 displaystyle mathcal O varepsilon 2 nbsp steht fur Terme die mindestens quadratisch in den Dehnungen sind und die bei kleinen Dehnungen vernachlassigt werden konnen Die Summe der Dehnungen in x y und z Richtung ist die Spur S p displaystyle mathrm Sp nbsp des linearisierten Verzerrungstensors e e x e x y e x z e x y e y e y z e x z e y z e z S p e e x e y e z displaystyle boldsymbol varepsilon begin pmatrix varepsilon x amp varepsilon xy amp varepsilon xz varepsilon xy amp varepsilon y amp varepsilon yz varepsilon xz amp varepsilon yz amp varepsilon z end pmatrix rightarrow mathrm Sp boldsymbol varepsilon varepsilon x varepsilon y varepsilon z nbsp und deshalb ergibt sich aus v V 1 S p e displaystyle v V 1 mathrm Sp boldsymbol varepsilon nbsp die Volumendehnung v V V S p e displaystyle frac v V V mathrm Sp boldsymbol varepsilon nbsp Bei grossen Verformungen findet sich der Zusammenhang ln v V S p E H displaystyle ln left frac v V right mathrm Sp mathbf E H nbsp zwischen dem naturlichen Logarithmus des Volumenverhaltnisses und der Spur des Henky Verzerrungstensors Wenn die Spuren der Verzerrungstensoren e displaystyle boldsymbol varepsilon nbsp oder E H displaystyle mathbf E H nbsp bei kleinen bzw grossen Verformungen verschwinden sie deviatorisch sind liegt also keine Volumendehnung am Ort ihres Auftretens vor Umgekehrt beschreiben die Deviatoren dieser Verzerrungstensoren den volumenerhaltenden gestaltandernden Teil der Deformation und konnen somit fur die Modellierung des Materialverhaltens unter diesen Bedingungen eingesetzt werden Deviator des Geschwindigkeitsgradienten Bearbeiten Der Geschwindigkeitsgradient l ist der Vektorgradient des Geschwindigkeits feldes Eine in der Stromungsmechanik wichtige Eigenschaft des Feldes ist die Quellendichte oder Divergenz des Feldes die an jedem Punkt angibt wie sehr die Vektoren in einer kleinen Umgebung eines Punktes auseinanderstreben lateinisch divergere Mathematisch lasst sich das als d V S p l d V v d V displaystyle mathrm d V dot mathrm Sp mathbf l mathrm d V nabla cdot vec v mathrm d V nbsp schreiben Darin ist dV ein von Teilchen eingenommenes infinitesimal kleines Volumen d V displaystyle mathrm d V dot nbsp dessen Zeitableitung also Expansionsrate und der Nabla Operator dessen formales Skalarprodukt mit dem Geschwindigkeitsfeld v displaystyle vec v nbsp dessen Divergenz ergibt Wenn der Geschwindigkeitsgradient deviatorisch also spurfrei ist dann ist das Geschwindigkeitsfeld quellenfrei Gleiches gilt fur den Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d der der symmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten ist Der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor wird in Materialmodellen von Fluiden also Flussigkeiten und Gasen eingesetzt Mit seinem deviatorischen Anteil wird der quellenfreie Anteil der Stromung modelliert beispielsweise im newtonschen Fluid 5 s p 1 z Sp d 1 2 m d D displaystyle boldsymbol sigma p mathbf 1 zeta operatorname Sp mathbf d mathbf 1 2 mu mathbf d rm D nbsp Darin bezeichnet s den Cauchy schen Spannungstensor p den thermodynamischen statischen Druck z die Volumenviskositat und m die Scherviskositat Der zweite und dritte Term modellieren die Viskositat des Fluids d h die Spannungen die von der Viskositat des Fluids verursacht sind und die nur im Ungleichgewicht auftreten also solange das Fluid in Bewegung ist Der zweite Term steht fur allseitige divergenzproportionale Normalspannungen aufgrund von Kompression oder Expansion und der dritte fur Spannungen im divergenzfreien Anteil des Stromungsfeldes Aus diesem Materialmodell leiten sich die Navier Stokes Gleichungen ab Deviatorische Verzerrungsgeschwindigkeit Bearbeiten Eine kleine Deformation bei der die Rate des linearisierten Verzerrungstensors e displaystyle boldsymbol varepsilon nbsp deviatorisch ist ist volumenerhaltend weil seine Spur ein Mass fur die Kompression am Ort seines Auftretens ist Dies gilt auch bei grossen Deformationen wenn die kovariante Oldroyd Ableitung des Euler Almansi Verzerrungstensors e D 1 2 l l T mit l F F 1 displaystyle stackrel Delta mathbf e frac 1 2 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der die Rate der plastischen Dehnungen deviatorisch ist und die plastischen Dehnungen vom Euler Almansi Typ sind dass die plastischen Dehnungen volumenerhaltend sind was mit plastischer Inkompressibilitat bezeichnet wird Siehe auch BearbeitenFormelsammlung TensoralgebraFussnoten Bearbeiten Greve 2003 S 90 f Altenbach 2012 S 149 Altenbach 2012 S 273 Die Frechet Ableitung einer skalaren Funktion f T displaystyle f mathbf T nbsp nach einem Tensor T displaystyle mathbf T nbsp ist der Tensor A displaystyle mathbf A nbsp fur den sofern er existiert gilt A H d d s f T s H s 0 lim s 0 f T s H f T s H displaystyle mathbf A mathbf H left frac mathrm d mathrm d s f mathbf T s mathbf H right s 0 lim s rightarrow 0 frac f mathbf T s mathbf H f mathbf T s quad forall mathbf H nbsp Darin ist s R displaystyle s in mathbb R nbsp und das Frobenius Skalarprodukt Dann wird auch f T A displaystyle frac partial f partial mathbf T mathbf A nbsp geschrieben a b Die zweite Hauptinvariante des Spannungsdeviators wird haufig mit J2 bezeichnet J 2 I 2 s D displaystyle mathrm J 2 mathrm I 2 boldsymbol sigma rm D nbsp und ist wegen T D 2 I 2 T D displaystyle parallel mathbf T rm D parallel sqrt 2 mathrm I 2 mathbf T rm D nbsp ein Mass fur den Betrag des Spannungsdeviators Greve 2003 S 164 Literatur BearbeitenH Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 S 36 106 119 149 Ralf Greve Kontinuumsmechanik Ein Grundkurs fur Ingenieure und Physiker Springer Berlin u a 2003 ISBN 978 3 642 62463 6 S 90 f 98 doi 10 1007 978 3 642 55485 8 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Deviator amp oldid 230686921