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Denavit Hartenberg Transformation Die DH Transformation aus dem Jahr 1955 wurde nach Jacques Denavit und Richard S Harte

Denavit-Hartenberg-Transformation

Die Denavit-Hartenberg-Transformation (DH-Transformation) aus dem Jahr 1955 wurde nach Jacques Denavit und Richard S. Hartenberg benannt und ist ein mathematisches Verfahren, das auf der Basis von homogenen Matrizen und der sogenannten Denavit-Hartenberg-Konvention (DH-Konvention) die Überführung von Ortskoordinatensystemen (OKS) innerhalb von kinematischen Ketten beschreibt. Dies wird vor allem in der Berechnung der direkten Kinematik (Vorwärtskinematik), der inversen Kinematik, als auch bei in der Kalibrierung von Industrierobotern gezielt ausgenutzt und gilt hierbei mittlerweile als das Standardverfahren im Bereich Robotik.

Beispiel einer kinematischen Kette anhand eines Roboters; mit Koordinatensystemen und DH-Parametern

DH-Konvention Bearbeiten

Folgende Voraussetzungen sind notwendig:

  1. die -Achse liegt entlang der Bewegungsachse des -ten Gelenks
  2. die -Achse ist das Kreuzprodukt von -Achse und -Achse ().
  3. das Koordinatensystem wird durch die -Achse so ergänzt, dass es ein rechtshändiges System ergibt.

Für das erste Gelenk wird die -Achse vom zweiten Gelenk übernommen. Es ist weiter zu beachten, dass die nach der DH-Konvention modellierten Gelenke nicht an den gleichen Positionen liegen müssen wie ihre physischen Gegenstücke. Sofern die Verschiebung in einem der nachfolgenden Segmente der kinematischen Kette ausgeglichen wird, können Gelenke nach Belieben entlang ihrer Rotationsachse verschoben und um diese gedreht werden, ohne das Gesamtergebnis der Berechnung zu beeinflussen. Diese Eigenschaft wird gezielt ausgenutzt, um Gelenke so aneinander auszurichten, dass Rotationen und Verschiebungen entlang der -Achse vermieden werden und in der Folge die Anzahl der notwendigen Parameter zur Beschreibung der jeweiligen Transformationen von sechs auf vier reduziert werden kann.

Einen Sonderfall bilden Schubgelenke: Hier ist zusätzlich eine Translation orthogonal zum Schubvektor möglich, wodurch es in DH konformen Modellen - genau wie bei aufeinander folgenden, parallel ausgerichteten Gelenken - noch immer zu Redundanzen in den Modellparametern kommen kann. Um eine vollständige Kalibrierung zu ermöglichen werden in der Theorie zudem zwei zusätzliche Freiheitsgrade zwischen dem letzten Gelenk und dem Endeffektor eines Roboters benötigt. Neueren Modellen wie dem S-Model, das complete and parametrically continuous kinematic (CPC) Model und das Modifizierte CPC (MCPC) Model ist es gelungen einzelne oder sogar alle Schwächen der DH-Konvention auszugleichen, jedoch haben diese Modelle nie eine ähnliche Bekanntheit wie die DH-Konvention erlangen können.

DH-Transformation Bearbeiten

Die eigentliche DH-Transformation vom Objektkoordinatensystem (OKS) in das OKS besteht in der Hintereinanderausführung folgender Einzeltransformationen:

  • einer Rotation (Gelenkwinkel) um die -Achse, damit die -Achse parallel zu der -Achse liegt
Schritt 1 der Denavit-Hartenberg-Transformation. Koordinatensysteme und der zugehörige Denavit-Hartenberg Parameter
  • einer Translation (Gelenkabstand) entlang der - Achse bis zu dem Punkt, wo sich und schneiden
Schritt 2 der Denavit-Hartenberg-Transformation. Koordinatensysteme und der zugehörige Denavit-Hartenberg Parameter
  • einer Translation (Armelementlänge) entlang der -Achse, um die Ursprünge der Koordinatensysteme in Deckung zu bringen
Schritt 3 der Denavit-Hartenberg-Transformation. Koordinatensysteme und der zugehörige Denavit-Hartenberg Parameter
  • einer Rotation (Verwindung) um die -Achse, um die -Achse in die -Achse zu überführen
Schritt 4 der Denavit-Hartenberg-Transformation. Koordinatensysteme und der zugehörige Denavit-Hartenberg Parameter

Die beiden Rotation entsprechen hierbei den klassischen Euler Winkeln. In Matrixschreibweise lautet die Gesamttransformation dann (von links nach rechts zu interpretieren):

Koordinatensysteme und die zugehörigen Denavit-Hartenberg parameter

Die Inverse dieser Matrix

beschreibt die Transformation eines Punktes vom OKS ins OKS . Entsprechend kann die ursprüngliche Matrix auch als Transformation eines Punktes vom OKS ins OKS interpretiert werden, wenn der Ortsvektor des Punktes von rechts an die Matrix multipliziert wird. Es ist zu beachten, dass die Matrizen-Multiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ und somit die Berechnungsfolge der Gesamttransformation nicht vertauschbar ist.

Die Parameter und werden dabei auch Denavit-Hartenberg-Parameter genannt.

Bei offenen kinematischen Ketten sind und variable Größen während der Bewegung des Roboters, abhängig von dessen spezieller Geometrie und Maßen. Bei einem rotatorischen Gelenk ist variant und konstant, bei einem Schubgelenk umgekehrt. und dagegen sind sowohl bei Rotations-, als auch bei Schubgelenken invariante Größen und müssen für die spätere Berechnung der direkten Kinematik nur einmal für jedes einzelne Armelement bestimmt werden.

Modifizierte DH-Parameter Bearbeiten

Einige Bücher wie Introduction to Robotics: Mechanics and Control (3rd Edition) verwenden modifizierte DH-Parameter. Der Unterschied zwischen den klassischen DH-Parametern und den modifizierten DH-Parametern sind die Orte der Koordinatensystemanbindung an die Glieder und die Reihenfolge der durchgeführten Transformationen.

Im Vergleich zu den klassischen DH-Parametern werden die Koordinaten des Rahmens auf die Achse gelegt, nicht auf die Achse in klassischer DH-Konvention. Die Koordinaten von werden in klassischer DH-Konvention auf die Achse , nicht auf die Achse gelegt.

Ein weiterer Unterschied ist, dass nach der modifizierten Konvention die Transformationsmatrix durch die folgende Reihenfolge der Operationen gegeben ist:

Somit wird die Matrix der modifizierten DH-Parameter

bzw. die Inverse:

In einigen Büchern wird die Transformationsreihenfolge für ein Paar aus aufeinanderfolgender Rotation und Translation (z. B. und ) ersetzt. Da die Reihenfolge der Matrixmultiplikation für ein solches Paar jedoch keine Rolle spielt, ist das Ergebnis dasselbe. Ein Beispiel: .

Literatur Bearbeiten

  • Hans-Jürgen Siegert, Siegfried Bocionek: Robotik, Programmierung intelligenter Roboter. Springer Verlag 1996, ISBN 3-540-60665-3.
  • Wolfgang Weber: Industrieroboter, Methoden der Steuerung und Regelung. Carl Hanser Verlag, München Wien, 2009, ISBN 978-3-446-41031-2.
  • Jorge Angeles: Fundamentals of Robotic Mechanical Systems. Springer Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94540-7.
  • Friedrich Pfeiffer, Eduard Reithmeier: Roboterdynamik. Teubner Verlag, Stuttgart, 1987, ISBN 3-519-02077-7.
  • Miomir Vukobratvic: Introduction to Robotics. Springer Verlag, Berlin, 1989, ISBN 0-387-17452-4.
  • John J. Craig: Introduction to Robotics, Mechanics and Control. Pearson Prentice Hall, NJ 07458, 2005, ISBN 0-201-54361-3.
  • J.J. Craig, Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 3rd ed., Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2004, ISBN 978-0201543612.
  • Chen-Gang, Li-Tong, Chu-Ming, J.-Q. Xuan und Xu, Sun-Han, Review on kinematics calibration technology of serial robots, International journal of precision engineering and manufacturing, 15(8):1759–1774, 2014.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Denavit-Hartenberg-Transformation – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Jacques Denavit und Richard S. Hartenberg: A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices. 1955.
  2. Stone, Henry W: Kinematic modeling, identification, and control of robotic manipulators. Springer Science & Business Media, 1987.
  3. Zhuang, Hanqi and Roth, Zvi S and Hamano, Fumio: A complete and parametrically continuous kinematic model for robot manipulators. IEEE, 1992.
  4. Zhuang, Hanqi and Wang, Luke K and Roth, Zvi S: Error-model-based robot calibration using a modified CPC model. Elsevier, 1993.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Denavit Hartenberg Transformation DH Transformation aus dem Jahr 1955 wurde nach Jacques Denavit und Richard S Hartenberg benannt und ist ein mathematisches Verfahren das auf der Basis von homogenen Matrizen und der sogenannten Denavit Hartenberg Konvention DH Konvention die Uberfuhrung von Ortskoordinatensystemen OKS innerhalb von kinematischen Ketten beschreibt 1 Dies wird vor allem in der Berechnung der direkten Kinematik Vorwartskinematik der inversen Kinematik als auch bei in der Kalibrierung von Industrierobotern gezielt ausgenutzt und gilt hierbei mittlerweile als das Standardverfahren im Bereich Robotik Beispiel einer kinematischen Kette anhand eines Roboters mit Koordinatensystemen und DH Parametern Inhaltsverzeichnis 1 DH Konvention 2 DH Transformation 3 Modifizierte DH Parameter 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseDH Konvention BearbeitenFolgende Voraussetzungen sind notwendig die z n 1 displaystyle z n 1 nbsp Achse liegt entlang der Bewegungsachse des n displaystyle n nbsp ten Gelenks die x n displaystyle x n nbsp Achse ist das Kreuzprodukt von z n 1 displaystyle z n 1 nbsp Achse und z n displaystyle z n nbsp Achse e x n e z n 1 e z n displaystyle vec e x n vec e z n 1 times vec e z n nbsp das Koordinatensystem wird durch die y n displaystyle y n nbsp Achse so erganzt dass es ein rechtshandiges System ergibt Fur das erste Gelenk wird die x displaystyle x nbsp Achse vom zweiten Gelenk ubernommen Es ist weiter zu beachten dass die nach der DH Konvention modellierten Gelenke nicht an den gleichen Positionen liegen mussen wie ihre physischen Gegenstucke Sofern die Verschiebung in einem der nachfolgenden Segmente der kinematischen Kette ausgeglichen wird konnen Gelenke nach Belieben entlang ihrer Rotationsachse verschoben und um diese gedreht werden ohne das Gesamtergebnis der Berechnung zu beeinflussen Diese Eigenschaft wird gezielt ausgenutzt um Gelenke so aneinander auszurichten dass Rotationen und Verschiebungen entlang der y displaystyle y nbsp Achse vermieden werden und in der Folge die Anzahl der notwendigen Parameter zur Beschreibung der jeweiligen Transformationen von sechs auf vier reduziert werden kann Einen Sonderfall bilden Schubgelenke Hier ist zusatzlich eine Translation orthogonal zum Schubvektor moglich wodurch es in DH konformen Modellen genau wie bei aufeinander folgenden parallel ausgerichteten Gelenken noch immer zu Redundanzen in den Modellparametern kommen kann Um eine vollstandige Kalibrierung zu ermoglichen werden in der Theorie zudem zwei zusatzliche Freiheitsgrade zwischen dem letzten Gelenk und dem Endeffektor eines Roboters benotigt Neueren Modellen wie dem S Model 2 das complete and parametrically continuous kinematic CPC Model 3 und das Modifizierte CPC MCPC Model 4 ist es gelungen einzelne oder sogar alle Schwachen der DH Konvention auszugleichen jedoch haben diese Modelle nie eine ahnliche Bekanntheit wie die DH Konvention erlangen konnen DH Transformation BearbeitenDie eigentliche DH Transformation vom Objektkoordinatensystem OKS T n 1 displaystyle T n 1 nbsp in das OKS T n displaystyle T n nbsp besteht in der Hintereinanderausfuhrung folgender Einzeltransformationen einer Rotation 8 n displaystyle theta n nbsp Gelenkwinkel um die z n 1 displaystyle z n 1 nbsp Achse damit die x n 1 displaystyle x n 1 nbsp Achse parallel zu der x n displaystyle x n nbsp Achse liegt nbsp Schritt 1 der Denavit Hartenberg Transformation Koordinatensysteme und der zugehorige Denavit Hartenberg ParameterRot z n 1 8 n cos 8 n sin 8 n 0 0 sin 8 n cos 8 n 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 displaystyle operatorname Rot z n 1 theta n begin pmatrix cos theta n amp sin theta n amp 0 amp 0 sin theta n amp cos theta n amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp einer Translation d n displaystyle d n nbsp Gelenkabstand entlang der z n 1 displaystyle z n 1 nbsp Achse bis zu dem Punkt wo sich z n 1 displaystyle z n 1 nbsp und x n displaystyle x n nbsp schneiden nbsp Schritt 2 der Denavit Hartenberg Transformation Koordinatensysteme und der zugehorige Denavit Hartenberg ParameterTrans z n 1 d n 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 d n 0 0 0 1 displaystyle operatorname Trans z n 1 d n begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp d n 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp einer Translation a n displaystyle a n nbsp Armelementlange entlang der x n displaystyle x n nbsp Achse um die Ursprunge der Koordinatensysteme in Deckung zu bringen nbsp Schritt 3 der Denavit Hartenberg Transformation Koordinatensysteme und der zugehorige Denavit Hartenberg ParameterTrans x n a n 1 0 0 a n 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 displaystyle operatorname Trans x n a n begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 amp a n 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp einer Rotation a n displaystyle alpha n nbsp Verwindung um die x n displaystyle x n nbsp Achse um die z n 1 displaystyle z n 1 nbsp Achse in die z n displaystyle z n nbsp Achse zu uberfuhren nbsp Schritt 4 der Denavit Hartenberg Transformation Koordinatensysteme und der zugehorige Denavit Hartenberg ParameterRot x n a n 1 0 0 0 0 cos a n sin a n 0 0 sin a n cos a n 0 0 0 0 1 displaystyle operatorname Rot x n alpha n begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp cos alpha n amp sin alpha n amp 0 0 amp sin alpha n amp cos alpha n amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp Die beiden Rotation entsprechen hierbei den klassischen Euler Winkeln In Matrixschreibweise lautet die Gesamttransformation dann von links nach rechts zu interpretieren nbsp Koordinatensysteme und die zugehorigen Denavit Hartenberg parametern 1 T n Rot z n 1 8 n Trans z n 1 d n Trans x n a n Rot x n a n cos 8 n sin 8 n cos a n sin 8 n sin a n a n cos 8 n sin 8 n cos 8 n cos a n cos 8 n sin a n a n sin 8 n 0 sin a n cos a n d n 0 0 0 1 displaystyle begin aligned n 1 T n amp operatorname Rot z n 1 theta n cdot operatorname Trans z n 1 d n cdot operatorname Trans x n a n cdot operatorname Rot x n alpha n amp amp begin pmatrix cos theta n amp sin theta n cos alpha n amp sin theta n sin alpha n amp a n cos theta n sin theta n amp cos theta n cos alpha n amp cos theta n sin alpha n amp a n sin theta n 0 amp sin alpha n amp cos alpha n amp d n 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix end aligned nbsp Die Inverse dieser Matrix n 1 T n 1 Rot x n a n Trans x n a n Trans z n 1 d n Rot z n 1 8 n cos 8 n sin 8 n 0 a n sin 8 n cos a n cos 8 n cos a n sin a n sin a n d n sin a n sin 8 n sin a n cos 8 n cos a n cos a n d n 0 0 0 1 cos 8 n sin 8 n 0 a n sin 8 n cos a n cos 8 n cos a n sin a n d n sin a n sin a n sin 8 n cos 8 n sin a n cos a n d n cos a n 0 0 0 1 displaystyle begin aligned n 1 T n 1 amp operatorname Rot x n alpha n cdot operatorname Trans x n a n cdot operatorname Trans z n 1 d n cdot operatorname Rot z n 1 theta n amp amp begin pmatrix cos theta n amp sin theta n amp 0 amp a n sin theta n cos alpha n amp cos theta n cos alpha n amp sin alpha n amp sin alpha n d n sin alpha n sin theta n amp sin alpha n cos theta n amp cos alpha n amp cos alpha n d n 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix amp amp begin pmatrix cos theta n amp sin theta n amp 0 amp a n sin theta n cos alpha n amp cos theta n cos alpha n amp sin alpha n amp d n sin alpha n sin alpha n sin theta n amp cos theta n sin alpha n amp cos alpha n amp d n cos alpha n 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix end aligned nbsp beschreibt die Transformation eines Punktes vom OKS T n displaystyle T n nbsp ins OKS T n 1 displaystyle T n 1 nbsp Entsprechend kann die ursprungliche Matrix n 1 T n displaystyle n 1 T n nbsp auch als Transformation eines Punktes vom OKS T n 1 displaystyle T n 1 nbsp ins OKS T n displaystyle T n nbsp interpretiert werden wenn der Ortsvektor des Punktes von rechts an die Matrix multipliziert wird Es ist zu beachten dass die Matrizen Multiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ und somit die Berechnungsfolge der Gesamttransformation nicht vertauschbar ist Die Parameter 8 n d n a n displaystyle theta n d n a n nbsp und a n displaystyle alpha n nbsp werden dabei auch Denavit Hartenberg Parameter genannt Bei offenen kinematischen Ketten sind 8 n displaystyle theta n nbsp und d n displaystyle d n nbsp variable Grossen wahrend der Bewegung des Roboters abhangig von dessen spezieller Geometrie und Massen Bei einem rotatorischen Gelenk ist 8 n displaystyle theta n nbsp variant und d n displaystyle d n nbsp konstant bei einem Schubgelenk umgekehrt a n displaystyle alpha n nbsp und a n displaystyle a n nbsp dagegen sind sowohl bei Rotations als auch bei Schubgelenken invariante Grossen und mussen fur die spatere Berechnung der direkten Kinematik nur einmal fur jedes einzelne Armelement bestimmt werden Modifizierte DH Parameter BearbeitenEinige Bucher wie Introduction to Robotics Mechanics and Control 3rd Edition verwenden modifizierte DH Parameter Der Unterschied zwischen den klassischen DH Parametern und den modifizierten DH Parametern sind die Orte der Koordinatensystemanbindung an die Glieder und die Reihenfolge der durchgefuhrten Transformationen Im Vergleich zu den klassischen DH Parametern werden die Koordinaten des Rahmens O i 1 displaystyle O i 1 nbsp auf die Achse i 1 displaystyle i 1 nbsp gelegt nicht auf die Achse i displaystyle i nbsp in klassischer DH Konvention Die Koordinaten von O i displaystyle O i nbsp werden in klassischer DH Konvention auf die Achse i displaystyle i nbsp nicht auf die Achse i 1 displaystyle i 1 nbsp gelegt Ein weiterer Unterschied ist dass nach der modifizierten Konvention die Transformationsmatrix durch die folgende Reihenfolge der Operationen gegeben ist n 1 T n Rot x n 1 a n 1 Trans x n 1 a n 1 Rot z n 8 n Trans z n d n displaystyle n 1 T n operatorname Rot x n 1 alpha n 1 cdot operatorname Trans x n 1 a n 1 cdot operatorname Rot z n theta n cdot operatorname Trans z n d n nbsp Somit wird die Matrix der modifizierten DH Parameter n 1 T n cos 8 n sin 8 n 0 a n 1 sin 8 n cos a n 1 cos 8 n cos a n 1 sin a n 1 d n sin a n 1 sin 8 n sin a n 1 cos 8 n sin a n 1 cos a n 1 d n cos a n 1 0 0 0 1 displaystyle operatorname n 1 T n left begin array ccc c cos theta n amp sin theta n amp 0 amp a n 1 sin theta n cos alpha n 1 amp cos theta n cos alpha n 1 amp sin alpha n 1 amp d n sin alpha n 1 sin theta n sin alpha n 1 amp cos theta n sin alpha n 1 amp cos alpha n 1 amp d n cos alpha n 1 hline 0 amp 0 amp 0 amp 1 end array right nbsp bzw die Inverse n T n 1 cos 8 n sin 8 n cos a n 1 sin 8 n sin a n 1 a n 1 cos 8 n sin 8 n cos 8 n cos a n 1 cos 8 n sin a n 1 a n 1 sin 8 n 0 sin a n 1 cos a n 1 d n 0 0 0 1 displaystyle operatorname n T n 1 left begin array ccc c cos theta n amp sin theta n cos alpha n 1 amp sin theta n sin alpha n 1 amp a n 1 cos theta n sin theta n amp cos theta n cos alpha n 1 amp cos theta n sin alpha n 1 amp a n 1 sin theta n 0 amp sin alpha n 1 amp cos alpha n 1 amp d n hline 0 amp 0 amp 0 amp 1 end array right nbsp In einigen Buchern wird die Transformationsreihenfolge fur ein Paar aus aufeinanderfolgender Rotation und Translation z B d n displaystyle d n nbsp und 8 n displaystyle theta n nbsp ersetzt Da die Reihenfolge der Matrixmultiplikation fur ein solches Paar jedoch keine Rolle spielt ist das Ergebnis dasselbe Ein Beispiel Trans z n d n Rot z n 8 n Rot z n 8 n Trans z n d n displaystyle operatorname Trans z n d n cdot operatorname Rot z n theta n operatorname Rot z n theta n cdot operatorname Trans z n d n nbsp Literatur BearbeitenHans Jurgen Siegert Siegfried Bocionek Robotik Programmierung intelligenter Roboter Springer Verlag 1996 ISBN 3 540 60665 3 Wolfgang Weber Industrieroboter Methoden der Steuerung und Regelung Carl Hanser Verlag Munchen Wien 2009 ISBN 978 3 446 41031 2 Jorge Angeles Fundamentals of Robotic Mechanical Systems Springer Verlag New York 1997 ISBN 0 387 94540 7 Friedrich Pfeiffer Eduard Reithmeier Roboterdynamik Teubner Verlag Stuttgart 1987 ISBN 3 519 02077 7 Miomir Vukobratvic Introduction to Robotics Springer Verlag Berlin 1989 ISBN 0 387 17452 4 John J Craig Introduction to Robotics Mechanics and Control Pearson Prentice Hall NJ 07458 2005 ISBN 0 201 54361 3 J J Craig Introduction to Robotics Mechanics and Control 3rd ed Pearson Prentice Hall Upper Saddle River NJ 2004 ISBN 978 0201543612 Chen Gang Li Tong Chu Ming J Q Xuan und Xu Sun Han Review on kinematics calibration technology of serial robots International journal of precision engineering and manufacturing 15 8 1759 1774 2014 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Denavit Hartenberg Transformation Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eine Visualisierung zur Ermittlung der Denavit Hartenberg Parameter in englischer Sprache verfugbar unter Denavit Hartenberg Reference Frame Layout auf YouTube 1280x720 MPEG 4 MP4 49 8 MB 640x360 MPEG 4 MP4 19 2 MB 3D Visualisierung zur Ermittlung der Denavit Hartenberg Parameter Deutsch Denavit Hartenberg Parameter 3D Video Tutorial fur einen KUKA Industrieroboter auf YouTube Denavit Hartenberg Parameters englisch Einzelnachweise Bearbeiten Jacques Denavit und Richard S Hartenberg A kinematic notation for lower pair mechanisms based on matrices 1955 Stone Henry W Kinematic modeling identification and control of robotic manipulators Springer Science amp Business Media 1987 Zhuang Hanqi and Roth Zvi S and Hamano Fumio A complete and parametrically continuous kinematic model for robot manipulators IEEE 1992 Zhuang Hanqi and Wang Luke K and Roth Zvi S Error model based robot calibration using a modified CPC model Elsevier 1993 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Denavit Hartenberg Transformation amp oldid 230956938