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Astronomische Koordinatensysteme dienen dazu die Position von Himmelskörpern anzugeben In ihnen werden die beiden Winkel

Astronomische Koordinatensysteme

Astronomische Koordinatensysteme dienen dazu, die Position von Himmelskörpern anzugeben. In ihnen werden die beiden Winkel von Kugelkoordinaten verwendet; die Entfernung wird als dritte Kugelkoordinate in der Regel nicht benutzt. Wegen der großen Entfernungen der Himmelskörper von der Erde ist es für den Zweck der Beobachtung ausreichend, die Richtung der Objekte als Sternörter z. B. in Sternkatalogen anzugeben.

Koordinatensystem des Horizonts, nördliche Erdkugelhälfte
Koordinatensystem des Orts-Äquators, nördliche Erdkugelhälfte

Der willkürlich wählbare Koordinatenursprung der astronomischen Systeme ist je nach Anwendung:

  • der Beobachter (ein Ort auf der Erdoberfläche, „topozentrisch“)
  • der Mittelpunkt der Erde („geozentrisch“)
  • die Sonne („heliozentrisch“)
  • ein anderer Himmelskörper (z. B. ein Planet, um die Lage seiner Monde relativ zu ihm selbst anzugeben), oder
  • ein Raumflugkörper.

Der Koordinatenursprung befindet sich in einer zu wählenden Bezugsebene, innerhalb derer die eine der beiden astronomischen Winkelkoordinaten bestimmt wird; der zweite Winkel wird senkrecht über der Bezugsebene bis zum beobachteten Himmelskörper gemessen.

Einteilung

Relative Koordinatensysteme

Relative Koordinatensysteme sind an den Beobachter gebunden. Sie haben ihren Bezugspunkt am Ort des Beobachters, also auf der Erdoberfläche, und werden auch lokale Koordinatensysteme oder topozentrische Koordinatensysteme genannt.

Das Horizontsystem ist das jedem Beobachter vertrauteste Koordinatensystem. Er befindet sich in dessen Ursprung, der Horizont ist die Bezugsebene. Der Winkel über Horizont zum Himmelskörper ist dessen Höhenwinkel h (Elevation). Die Abweichung des Punktes, in dem der Vertikal durch den Himmelskörper den Horizont schneidet, von der Süd-Richtung ist das Azimut a. Bei Anwendung des Horizontsystems auf der Südhalbkugel ist Nord Bezugsrichtung. Am Äquator und auf den Polen ist das Horizontsystem unbestimmt.

Beim Orts-Äquatorsystem (ruhendes Äquatorsystem) befindet sich der Beobachter ebenfalls im Koordinatenursprung. Bezugsebene ist der Himmelsäquator, in der der Stundenwinkel τ auf dem Himmelsäquator vom oberen Schnittpunkt des Ortsmeridians mit dem Himmelsäquator aus bis zum Meridian des Himmelskörpers gemessen wird. Die von der Erdoberfläche aus festgestellten Winkel unterscheiden sich wegen der geringen Ausdehnung der Erde wenig von denen mit Koordinatenursprung im Erdmittelpunkt. Ausnahmen sind Beobachtungen erdnaher Objekte wie z. B. benachbarter Planeten. Sie werden für Vergleichszwecke (z. B. bei einem Venustransit) auf Koordinaten mit Ursprung im Erdmittelpunkt umgerechnet.

Astronauten benutzen im Weltraum an ihren Flugkörper gebundene Koordinatensysteme.

Absolute Koordinatensysteme

rotierendes äquatoriales Koordinatensystem; Koordinaten: Rektaszension und Deklination

Absolute Koordinatensysteme haben ihren Ursprung an einem relativ zum Beobachter neutralen Punkt: im Mittelpunkt von Erde, Sonne oder einem anderen Himmelskörper oder im galaktischen Zentrum. Ihre Bezugsebene ist auch nicht an den Beobachter gebunden, dreht sich also relativ zu ihm.

Aus dem oben genannten ortsfesten äquatorialen (geozentrischen) Koordinatensystem geht das rotierende äquatoriale Koordinatensystem hervor. Es hat seinen Ursprung im Erdmittelpunkt, der Bezugspunkt für die Winkelmessung in der Äquatorialebene des Himmels ist der im Himmel fixe Frühlingspunkt. Der in der Äquatorialebene angegebene Winkel ist die Rektaszension α. Der Deklinationswinkel δ ist mit dem Deklinationswinkel im ruhenden äquatorialen System identisch.

Mit der als Ekliptik bezeichneten Bahnebene, in der die Erde die Sonne einmal im Jahr umrundet, als Bezugsebene werden zwei astronomische Koordinatensysteme definiert. Beim ersten der beiden ekliptikalen Koordinatensysteme befindet sich der Ursprung im Erdmittelpunkt (geozentrisch), beim zweiten im Mittelpunkt der Sonne (heliozentrisch). In beiden Fällen werden die Koordinatenwinkel ekliptikale Länge λ (Bezugspunkt ist der Frühlingspunkt) beziehungsweise ekliptikale Breite β genannt.

Außer topozentrischen (immer relative Systeme), geozentrischen und heliozentrischen werden auch baryzentrische und das galaktische Koordinatensystem verwendet.

Das galaktische Koordinatensystem hat seinen Ursprung (l=0°, b=0°) in Richtung des galaktischen Zentrums, seine Bezugsebene ist die Milchstraßenscheibe.

Ein baryzentrisches Koordinatensystem hat zum Beispiel seinen Ursprung im Baryzentrum (gemeinsamer Schwerpunkt), etwa von Erde und Mond, oder im Sonnensystem.

Diese Systeme rotieren um den Beobachter. In der Astronomie ist es aber üblich, den Fixsternhimmel als ruhend zu betrachten, daher spricht man von „absolut“, während die beobachterbezogenen Positionen als „scheinbar“ bezeichnet werden.

Winkel-Angaben in Stunden anstatt in Grad

Beim Stundenwinkel (ortsfestes äquatoriales Koordinatensystem) und der Rektaszension (rotierendes äquatoriales Koordinatensystem) werden die Angaben in Stunden, Minuten und Sekunden (Stundenmaß oder Zeitmaß) denen in Grad vorgezogen. Der Grund beim Stundenwinkel ist, dass die Änderung des Stundenwinkels der Sonne die Änderung der Tageszeit bestimmt. 15° Änderung sind eine Stunde, das ist ihre ursprüngliche Definition.

Ursache dieses Brauchs bei der Rektaszension ist der Einfluss der Erddrehung, von der sie prinzipiell unabhängig ist, auf die Messung. Zwei Sterne mit 15° Differenz in Rektaszension durchlaufen den Meridiankreis einer Sternwarte mit einer Stunde Unterschied in Sternzeit. Eine Sternzeitstunde ist etwa 10 Sekunden kürzer als eine Stunde. Der Beobachtungsplan in einer Sternwarte richtet sich nach der Sternzeit, die an einer entsprechenden Uhr ablesbar ist. Diese zeigt 0 Uhr Sternzeit, wenn der Frühlingspunkt, der Bezugspunkt äquatorialer Himmelskoordinaten, den Meridiankreis passiert. Die Tageszeit läuft der Sternzeit um einen Tag im Jahr nach, so wie die Sonne (scheinbar) einmal im Jahr rückwärts den Sternenhimmel durchwandert.

Übersichtstabelle

Koordinaten­system Koordinaten­ursprungs­punkt Fundamen­talebene Pole Koordinaten Bezugs­richtung
vertikale horizontale
horizontales Beobachter Horizont Zenit / Nadir Höhenwinkel h Azimut a Nord- oder Süd-Punkt des Horizonts
äquatoriales
"ruhend"		 Beobachter oder Erd­mit­telpunkt Himmelsäquator Himmels­pole Deklinati­onswinkel δ Stundenwinkel τ Meridian des Beobachters
äquatoriales
"rotierend"		 Erd­mit­telpunkt Rektaszension α Frühlingspunkt
ekliptikales Sonnen­mit­telpunkt oder

Erdmittelpunkt

Ekliptik Ekliptik­pole ekliptikale Breite β ekliptikale Länge λ
galaktisches Sonnenmittelpunkt galaktische Ebene galakti­sche Pole galaktische Breite b galaktische Länge l galaktisches Zentrum

Umrechnungen

Die Umrechnungen erfolgen über die Darstellungen in kartesische Koordinaten beider Systeme. Zwischen den kartesischen Formen der Systeme findet die Transformation – eine Drehung um die y-Achse – statt (die y-Koordinaten sind in beiden Systemen gleich): Drehung um den Winkel 90°− φ (φ = geographische Breite) im ersten, um den Winkel ε (Schiefe der Ekliptik) im zweiten Fall.

Äquatoriales und horizontales Koordinatensystem

Zur Umrechnung: Horizontalsystem ↔ Äquatorialsystem (ruhend) Der Zenit ist senkrecht über dem Beobachter und der Nadir senkrecht unter dem Beobachter im Zentrum der Darstellung. Wenn sich der Beobachter auf dem Nord- oder Südpol befindet ( bzw. ), dann sind Horizont- und Äquatorebene identisch, und Zenit und Nadir befinden sich auf der Polachse (blau).

Der Meridian ist der Großkreis durch Himmelsnord- und Himmelsüdpol sowie die Richtungen Norden (N) und Süden (S) vom Beobachter aus gesehen.

Der Beobachter sieht im Horizontalsystem (graue Scheibe) am Himmel einen Punkt (violett) unter dem Azimut a (schwarz), der vom Meridian aus in der Horizontalebene gemessen wird, und dem Höhenwinkel h (grün), der senkrecht zur Horizontalebene auf dem Großkreis zwischen Zenit und Nadir (grün) gemessen wird, der durch den beobachteten Punkt geht. Diese Winkel können in die kartesischen Koordinaten x, y und z im Horizontalsystem umgerechnet werden.

Im Äquatorialsystem (türkisfarbene Scheibe) wird der Stundenwinkel τ (cyan) vom Meridian aus in der Äquatorialebene und der Deklinationswinkel δ (rot) senkrecht zur Äquatorialebene auf dem Großkreis bestimmt, der durch die Himmelspole und den beobachteten Punkt geht.

Ostpunkt (O) und Westpunkt (W) sind in beiden Systemen identisch, und die Neigung der beiden Ebenen ist durch die Polhöhe φ (blau) gegeben, die mit dem Breitengrad übereinstimmt, auf dem sich der Beobachter befindet. Der beobachtete Punkt am Himmel (violett) bewegt sich innerhalb eines halben Tages scheinbar auf einem Halbkreis von Osten nach Westen, der mit konstantem Deklinationswinkel δ parallel zur Äquatorialebene verläuft.

In den folgenden Aufstellungen sind neben den Endergebnissen der Umrechnungen auch die kartesischen Koordinaten x, y und z der Einheitskugel im Zielsystem als Zwischenergebnisse angegeben. Zu beachten ist, dass die beiden ersten Systeme (horizontales und ruhendes äquatoriales) als Linkssysteme, die beiden anderen (rotierendes äquatoriales und geozentrisch-ekliptikales) als Rechtssysteme definiert sind.

Ruhende äquatoriale (δ,τ) in rotierende äquatoriale Koordinaten (δ,α) und umgekehrt

= Sternzeit am Ort der Beobachtung
= Stundenwinkel
= Rektaszension
= Deklination

Die Deklination δ bleibt unverändert.

Horizontale (a, h) → kartesische Koordinaten → ruhende äquatoriale Koordinaten (τ, δ)

= geographische Breite
= Azimut (ab Südrichtung im Uhrzeigersinn)
= Höhenwinkel
= Stundenwinkel
= Deklination

Ruhende äquatoriale (τ, δ) → kartesische Koordinaten → horizontale Koordinaten (a, h)

= geographische Breite
= Azimut (ab Südrichtung im Uhrzeigersinn)
= Höhenwinkel
= Stundenwinkel
= Deklination

Rotierende äquatoriale (α, δ) → kartesische Koordinaten → horizontale Koordinaten (a, h)

= geographische Breite
= Sternzeit am Ort der Beobachtung
= Rektaszension
= Deklination
= Azimut (ab Südrichtung im Uhrzeigersinn)
= Höhenwinkel

Rotierende äquatoriale (α, δ) → ekliptikale Koordinaten (λ, β, geozentrisch)

= 23,44° = Schiefe der Ekliptik
= Rektaszension
= Deklination
= ekliptikale Länge
= ekliptikale Breite

Die letzte Gleichung für hat unter der Voraussetzung zwei Lösungen, die sich um unterscheiden. Richtig ist der Wert, der im gleichen Quadranten liegt wie .

Ekliptikale (λ, β, geozentrisch) → rotierende äquatoriale (α, δ) Koordinaten

= 23,44° = Schiefe der Ekliptik
= Rektaszension
= Deklination
= ekliptikale Länge
= ekliptikale Breite

Die letzte Gleichung für hat unter der Voraussetzung zwei Lösungen, die sich um unterscheiden. Richtig ist der Wert, der im gleichen Quadranten liegt wie .

Einzelnachweise

  1. Oliver Montenbruck, Grundlagen der Ephemeridenrechnung, 6. Auflage (2001), S. 14
  2. Oliver Montenbruck, Grundlagen der Ephemeridenrechnung, 6. Auflage (2001), S. 14

Weblinks

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Astronomische Koordinatensysteme dienen dazu die Position von Himmelskorpern anzugeben In ihnen werden die beiden Winkel von Kugelkoordinaten verwendet die Entfernung wird als dritte Kugelkoordinate in der Regel nicht benutzt Wegen der grossen Entfernungen der Himmelskorper von der Erde ist es fur den Zweck der Beobachtung ausreichend die Richtung der Objekte als Sternorter z B in Sternkatalogen anzugeben Koordinatensystem des Horizonts nordliche ErdkugelhalfteKoordinatensystem des Orts Aquators nordliche ErdkugelhalfteDer willkurlich wahlbare Koordinatenursprung der astronomischen Systeme ist je nach Anwendung der Beobachter ein Ort auf der Erdoberflache topozentrisch der Mittelpunkt der Erde geozentrisch die Sonne heliozentrisch ein anderer Himmelskorper z B ein Planet um die Lage seiner Monde relativ zu ihm selbst anzugeben oder ein Raumflugkorper Der Koordinatenursprung befindet sich in einer zu wahlenden Bezugsebene innerhalb derer die eine der beiden astronomischen Winkelkoordinaten bestimmt wird der zweite Winkel wird senkrecht uber der Bezugsebene bis zum beobachteten Himmelskorper gemessen Inhaltsverzeichnis 1 Einteilung 1 1 Relative Koordinatensysteme 1 2 Absolute Koordinatensysteme 2 Winkel Angaben in Stunden anstatt in Grad 3 Ubersichtstabelle 4 Umrechnungen 4 1 Ruhende aquatoriale d t in rotierende aquatoriale Koordinaten d a und umgekehrt 4 2 Horizontale a h kartesische Koordinaten ruhende aquatoriale Koordinaten t d 4 3 Ruhende aquatoriale t d kartesische Koordinaten horizontale Koordinaten a h 4 4 Rotierende aquatoriale a d kartesische Koordinaten horizontale Koordinaten a h 4 5 Rotierende aquatoriale a d ekliptikale Koordinaten l b geozentrisch 4 6 Ekliptikale l b geozentrisch rotierende aquatoriale a d Koordinaten 5 Einzelnachweise 6 WeblinksEinteilung BearbeitenRelative Koordinatensysteme Bearbeiten Relative Koordinatensysteme sind an den Beobachter gebunden Sie haben ihren Bezugspunkt am Ort des Beobachters also auf der Erdoberflache und werden auch lokale Koordinatensysteme oder topozentrische Koordinatensysteme genannt Das Horizontsystem ist das jedem Beobachter vertrauteste Koordinatensystem Er befindet sich in dessen Ursprung der Horizont ist die Bezugsebene Der Winkel uber Horizont zum Himmelskorper ist dessen Hohenwinkel h Elevation Die Abweichung des Punktes in dem der Vertikal durch den Himmelskorper den Horizont schneidet von der Sud Richtung ist das Azimut a Bei Anwendung des Horizontsystems auf der Sudhalbkugel ist Nord Bezugsrichtung Am Aquator und auf den Polen ist das Horizontsystem unbestimmt Beim Orts Aquatorsystem ruhendes Aquatorsystem befindet sich der Beobachter ebenfalls im Koordinatenursprung Bezugsebene ist der Himmelsaquator in der der Stundenwinkel t auf dem Himmelsaquator vom oberen Schnittpunkt des Ortsmeridians mit dem Himmelsaquator aus bis zum Meridian des Himmelskorpers gemessen wird Die von der Erdoberflache aus festgestellten Winkel unterscheiden sich wegen der geringen Ausdehnung der Erde wenig von denen mit Koordinatenursprung im Erdmittelpunkt Ausnahmen sind Beobachtungen erdnaher Objekte wie z B benachbarter Planeten Sie werden fur Vergleichszwecke z B bei einem Venustransit auf Koordinaten mit Ursprung im Erdmittelpunkt umgerechnet Astronauten benutzen im Weltraum an ihren Flugkorper gebundene Koordinatensysteme Absolute Koordinatensysteme Bearbeiten rotierendes aquatoriales Koordinatensystem Koordinaten Rektaszension und DeklinationAbsolute Koordinatensysteme haben ihren Ursprung an einem relativ zum Beobachter neutralen Punkt im Mittelpunkt von Erde Sonne oder einem anderen Himmelskorper oder im galaktischen Zentrum Ihre Bezugsebene ist auch nicht an den Beobachter gebunden dreht sich also relativ zu ihm Aus dem oben genannten ortsfesten aquatorialen geozentrischen Koordinatensystem geht das rotierende aquatoriale Koordinatensystem hervor Es hat seinen Ursprung im Erdmittelpunkt der Bezugspunkt fur die Winkelmessung in der Aquatorialebene des Himmels ist der im Himmel fixe Fruhlingspunkt Der in der Aquatorialebene angegebene Winkel ist die Rektaszension a Der Deklinationswinkel d ist mit dem Deklinationswinkel im ruhenden aquatorialen System identisch Mit der als Ekliptik bezeichneten Bahnebene in der die Erde die Sonne einmal im Jahr umrundet als Bezugsebene werden zwei astronomische Koordinatensysteme definiert Beim ersten der beiden ekliptikalen Koordinatensysteme befindet sich der Ursprung im Erdmittelpunkt geozentrisch beim zweiten im Mittelpunkt der Sonne heliozentrisch In beiden Fallen werden die Koordinatenwinkel ekliptikale Lange l Bezugspunkt ist der Fruhlingspunkt beziehungsweise ekliptikale Breite b genannt Ausser topozentrischen immer relative Systeme geozentrischen und heliozentrischen werden auch baryzentrische und das galaktische Koordinatensystem verwendet Das galaktische Koordinatensystem hat seinen Ursprung l 0 b 0 in Richtung des galaktischen Zentrums seine Bezugsebene ist die Milchstrassenscheibe Ein baryzentrisches Koordinatensystem hat zum Beispiel seinen Ursprung im Baryzentrum gemeinsamer Schwerpunkt etwa von Erde und Mond oder im Sonnensystem Diese Systeme rotieren um den Beobachter In der Astronomie ist es aber ublich den Fixsternhimmel als ruhend zu betrachten daher spricht man von absolut wahrend die beobachterbezogenen Positionen als scheinbar bezeichnet werden Winkel Angaben in Stunden anstatt in Grad BearbeitenBeim Stundenwinkel ortsfestes aquatoriales Koordinatensystem und der Rektaszension rotierendes aquatoriales Koordinatensystem werden die Angaben in Stunden Minuten und Sekunden Stundenmass oder Zeitmass denen in Grad vorgezogen Der Grund beim Stundenwinkel ist dass die Anderung des Stundenwinkels der Sonne die Anderung der Tageszeit bestimmt 15 Anderung sind eine Stunde das ist ihre ursprungliche Definition Ursache dieses Brauchs bei der Rektaszension ist der Einfluss der Erddrehung von der sie prinzipiell unabhangig ist auf die Messung Zwei Sterne mit 15 Differenz in Rektaszension durchlaufen den Meridiankreis einer Sternwarte mit einer Stunde Unterschied in Sternzeit Eine Sternzeitstunde ist etwa 10 Sekunden kurzer als eine Stunde Der Beobachtungsplan in einer Sternwarte richtet sich nach der Sternzeit die an einer entsprechenden Uhr ablesbar ist Diese zeigt 0 Uhr Sternzeit wenn der Fruhlingspunkt der Bezugspunkt aquatorialer Himmelskoordinaten den Meridiankreis passiert Die Tageszeit lauft der Sternzeit um einen Tag im Jahr nach so wie die Sonne scheinbar einmal im Jahr ruckwarts den Sternenhimmel durchwandert Ubersichtstabelle BearbeitenKoordinaten system Koordinaten ursprungs punkt Fundamen talebene Pole Koordinaten Bezugs richtungvertikale horizontalehorizontales Beobachter Horizont Zenit Nadir Hohenwinkel h Azimut a Nord oder Sud Punkt des Horizontsaquatoriales ruhend Beobachter oder Erd mit telpunkt Himmelsaquator Himmels pole Deklinati onswinkel d Stundenwinkel t Meridian des Beobachtersaquatoriales rotierend Erd mit telpunkt Rektaszension a Fruhlingspunktekliptikales Sonnen mit telpunkt oder Erdmittelpunkt Ekliptik Ekliptik pole ekliptikale Breite b ekliptikale Lange lgalaktisches Sonnenmittelpunkt galaktische Ebene galakti sche Pole galaktische Breite b galaktische Lange l galaktisches ZentrumUmrechnungen BearbeitenDie Umrechnungen erfolgen uber die Darstellungen in kartesische Koordinaten beider Systeme Zwischen den kartesischen Formen der Systeme findet die Transformation eine Drehung um die y Achse statt die y Koordinaten sind in beiden Systemen gleich Drehung um den Winkel 90 f f geographische Breite im ersten um den Winkel e Schiefe der Ekliptik im zweiten Fall Aquatoriales und horizontales KoordinatensystemZur Umrechnung Horizontalsystem Aquatorialsystem ruhend Der Zenit ist senkrecht uber dem Beobachter und der Nadir senkrecht unter dem Beobachter im Zentrum der Darstellung Wenn sich der Beobachter auf dem Nord oder Sudpol befindet f 90 displaystyle varphi 90 circ bzw f 90 displaystyle varphi 90 circ dann sind Horizont und Aquatorebene identisch und Zenit und Nadir befinden sich auf der Polachse blau Der Meridian ist der Grosskreis durch Himmelsnord und Himmelsudpol sowie die Richtungen Norden N und Suden S vom Beobachter aus gesehen Der Beobachter sieht im Horizontalsystem graue Scheibe am Himmel einen Punkt violett unter dem Azimut a schwarz der vom Meridian aus in der Horizontalebene gemessen wird und dem Hohenwinkel h grun der senkrecht zur Horizontalebene auf dem Grosskreis zwischen Zenit und Nadir grun gemessen wird der durch den beobachteten Punkt geht Diese Winkel konnen in die kartesischen Koordinaten x y und z im Horizontalsystem umgerechnet werden Im Aquatorialsystem turkisfarbene Scheibe wird der Stundenwinkel t cyan vom Meridian aus in der Aquatorialebene und der Deklinationswinkel d rot senkrecht zur Aquatorialebene auf dem Grosskreis bestimmt der durch die Himmelspole und den beobachteten Punkt geht Ostpunkt O und Westpunkt W sind in beiden Systemen identisch und die Neigung der beiden Ebenen ist durch die Polhohe f blau gegeben die mit dem Breitengrad ubereinstimmt auf dem sich der Beobachter befindet Der beobachtete Punkt am Himmel violett bewegt sich innerhalb eines halben Tages scheinbar auf einem Halbkreis von Osten nach Westen der mit konstantem Deklinationswinkel d parallel zur Aquatorialebene verlauft In den folgenden Aufstellungen sind neben den Endergebnissen der Umrechnungen auch die kartesischen Koordinaten x y und z der Einheitskugel im Zielsystem als Zwischenergebnisse angegeben Zu beachten ist dass die beiden ersten Systeme horizontales und ruhendes aquatoriales als Linkssysteme die beiden anderen rotierendes aquatoriales und geozentrisch ekliptikales als Rechtssysteme definiert sind Ruhende aquatoriale d t in rotierende aquatoriale Koordinaten d a und umgekehrt Bearbeiten 8 displaystyle theta Sternzeit am Ort der Beobachtungt displaystyle tau Stundenwinkela displaystyle alpha Rektaszensiond displaystyle delta DeklinationDie Deklination d bleibt unverandert a 8 t displaystyle alpha theta tau t 8 a displaystyle tau theta alpha Horizontale a h kartesische Koordinaten ruhende aquatoriale Koordinaten t d Bearbeiten f displaystyle varphi geographische Breitea displaystyle a Azimut ab Sudrichtung im Uhrzeigersinn h displaystyle h Hohenwinkelt displaystyle tau Stundenwinkeld displaystyle delta DeklinationKartesische Koordinaten im Zielsystem t displaystyle tau d displaystyle delta x cos d cos t cos f sin h sin f cos h cos a displaystyle x cos delta cdot cos tau cos varphi cdot sin h sin varphi cdot cos h cdot cos a y cos d sin t cos h sin a displaystyle y cos delta cdot sin tau cos h cdot sin a z sin d sin f sin h cos f cos h cos a displaystyle z sin delta sin varphi cdot sin h cos varphi cdot cos h cdot cos a Winkelkoordinaten im Zielsystem sin d sin f sin h cos f cos h cos a displaystyle sin delta sin varphi cdot sin h cos varphi cdot cos h cdot cos a tan t sin a sin f cos a 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wikipedia org w index php title Astronomische Koordinatensysteme amp oldid 235533703