Ein pythagoreisches Quadrupel 1 ist ein Tupel von ganzen Zahlen a b c d Z displaystyle a b c d in mathbb Z so dass gilt Alle vier primitiven pythagoreischen Quadrupel mit einstelligen Wertena 2 b 2 c 2 d 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 Es handelt sich dabei um die Losungen einer diophantischen Gleichung Meistens werden aber nur positive ganze Zahlen als Losungen betrachtet 2 Inhaltsverzeichnis 1 Primitive pythagoreische Quadrupeln 2 Beispiele 3 Geometrische Deutung 4 Eigenschaften von pythagoreischen Quadrupeln 5 Erzeugung von pythagoreischen Quadrupeln 6 Siehe auch 7 Weblinks 8 EinzelnachweisePrimitive pythagoreische Quadrupeln BearbeitenEin pythagoreisches Quadrupel a b c d displaystyle a b c d nbsp heisst primitives pythagoreisches Quadrupel wenn die Werte positiv ganzzahlig sind und der grosste gemeinsame Teiler der vier Werte gleich 1 ist wenn also ggT a b c d 1 displaystyle operatorname ggT a b c d 1 nbsp gilt Jedes pythagoreische Quadrupel ist ein ganzzahliges Vielfaches eines primitiven pythagoreischen Quadrupels Beispiel 1 Das Tupel a b c d 2 3 6 7 displaystyle a b c d 2 3 6 7 nbsp ist ein primitives pythagoreisches Quadrupel weil ggT 2 3 6 7 1 displaystyle operatorname ggT 2 3 6 7 1 nbsp ist und 2 2 3 2 6 2 7 2 49 displaystyle 2 2 3 2 6 2 7 2 quad 49 nbsp gilt Beispiel 2 Das Tupel a b c d 5 2 5 3 5 6 5 7 10 15 30 35 displaystyle a b c d 5 cdot 2 5 cdot 3 5 cdot 6 5 cdot 7 10 15 30 35 nbsp ist kein primitives pythagoreisches Quadrupel weil ggT 10 15 30 35 5 1 displaystyle operatorname ggT 10 15 30 35 5 not 1 nbsp ist obwohl 10 2 15 2 30 2 35 2 1225 displaystyle 10 2 15 2 30 2 35 2 quad 1225 nbsp gilt Beispiele BearbeitenEs gibt 31 primitive pythagoreische Quadrupel bei denen alle Werte kleiner als 30 sind a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp d displaystyle d nbsp a 2 b 2 c 2 d 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 nbsp 1 2 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 displaystyle 1 2 2 2 2 2 3 2 nbsp 2 3 6 7 2 2 3 2 6 2 7 2 displaystyle 2 2 3 2 6 2 7 2 nbsp 1 4 8 9 1 2 4 2 8 2 9 2 displaystyle 1 2 4 2 8 2 9 2 nbsp 4 4 7 9 4 2 4 2 7 2 9 2 displaystyle 4 2 4 2 7 2 9 2 nbsp 2 6 9 11 2 2 6 2 9 2 11 2 displaystyle 2 2 6 2 9 2 11 2 nbsp 6 6 7 11 6 2 6 2 7 2 11 2 displaystyle 6 2 6 2 7 2 11 2 nbsp 3 4 12 13 3 2 4 2 12 2 13 2 displaystyle 3 2 4 2 12 2 13 2 nbsp 2 5 14 15 2 2 5 2 14 2 15 2 displaystyle 2 2 5 2 14 2 15 2 nbsp a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp d displaystyle d nbsp a 2 b 2 c 2 d 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 nbsp 2 10 11 15 2 2 10 2 11 2 15 2 displaystyle 2 2 10 2 11 2 15 2 nbsp 1 12 12 17 1 2 12 2 12 2 17 2 displaystyle 1 2 12 2 12 2 17 2 nbsp 8 9 12 17 8 2 9 2 12 2 17 2 displaystyle 8 2 9 2 12 2 17 2 nbsp 1 6 18 19 1 2 6 2 18 2 19 2 displaystyle 1 2 6 2 18 2 19 2 nbsp 6 6 17 19 6 2 6 2 17 2 19 2 displaystyle 6 2 6 2 17 2 19 2 nbsp 6 10 15 19 6 2 10 2 15 2 19 2 displaystyle 6 2 10 2 15 2 19 2 nbsp 4 5 20 21 4 2 5 2 20 2 21 2 displaystyle 4 2 5 2 20 2 21 2 nbsp 4 8 19 21 4 2 8 2 19 2 21 2 displaystyle 4 2 8 2 19 2 21 2 nbsp a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp d displaystyle d nbsp a 2 b 2 c 2 d 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 nbsp 4 13 16 21 4 2 13 2 16 2 21 2 displaystyle 4 2 13 2 16 2 21 2 nbsp 8 11 16 21 8 2 11 2 16 2 21 2 displaystyle 8 2 11 2 16 2 21 2 nbsp 3 6 22 23 3 2 6 2 22 2 23 2 displaystyle 3 2 6 2 22 2 23 2 nbsp 3 14 18 23 3 2 14 2 18 2 23 2 displaystyle 3 2 14 2 18 2 23 2 nbsp 6 13 18 23 6 2 13 2 18 2 23 2 displaystyle 6 2 13 2 18 2 23 2 nbsp 9 12 20 25 9 2 12 2 20 2 25 2 displaystyle 9 2 12 2 20 2 25 2 nbsp 12 15 16 25 12 2 15 2 16 2 25 2 displaystyle 12 2 15 2 16 2 25 2 nbsp 2 7 26 27 2 2 7 2 26 2 27 2 displaystyle 2 2 7 2 26 2 27 2 nbsp a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp d displaystyle d nbsp a 2 b 2 c 2 d 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 nbsp 2 10 25 27 2 2 10 2 25 2 27 2 displaystyle 2 2 10 2 25 2 27 2 nbsp 2 14 23 27 2 2 14 2 23 2 27 2 displaystyle 2 2 14 2 23 2 27 2 nbsp 7 14 22 27 7 2 14 2 22 2 27 2 displaystyle 7 2 14 2 22 2 27 2 nbsp 10 10 23 27 10 2 10 2 23 2 27 2 displaystyle 10 2 10 2 23 2 27 2 nbsp 3 16 24 29 3 2 16 2 24 2 29 2 displaystyle 3 2 16 2 24 2 29 2 nbsp 11 12 24 29 11 2 12 2 24 2 29 2 displaystyle 11 2 12 2 24 2 29 2 nbsp 12 16 21 29 12 2 16 2 21 2 29 2 displaystyle 12 2 16 2 21 2 29 2 nbsp Aus diesen primitiven pythagoreischen Quadrupeln kann man beliebig viele weitere nicht primitive pythagoreische Quadrupel bilden Zum Beispiel kann man aus dem primitiven pythagoreischen Quadrupel a b c d 1 2 2 3 displaystyle a b c d 1 2 2 3 nbsp durch Multiplikation mit 2 3 4 displaystyle 2 3 4 ldots nbsp die nicht primitiven pythagoreischen Quadrupel a b c d 2 4 4 6 displaystyle a b c d 2 4 4 6 nbsp a b c d 3 6 6 9 displaystyle a b c d 3 6 6 9 nbsp a b c d 4 8 8 12 displaystyle a b c d 4 8 8 12 nbsp etc bilden Geometrische Deutung BearbeitenEin pythagoreisches Quadrupel a b c d displaystyle a b c d nbsp definiert einen Quader mit ganzzahligen Seitenlangen a b displaystyle a b nbsp und c displaystyle c nbsp wobei mit a displaystyle a nbsp der Betrag von a displaystyle a nbsp gemeint ist Die Raumdiagonale dieses Quaders hat dann eine ganzzahlige Lange d displaystyle d nbsp Pythagoreische Quadrupel heissen deswegen auf englisch auch Pythagorean boxes 3 Eigenschaften von pythagoreischen Quadrupeln BearbeitenDas pythagoreische Quadrupel mit dem kleinsten Produkt ist 1 2 2 3 displaystyle 1 2 2 3 nbsp Sei a 2 b 2 c 2 d 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 nbsp mit a b c d N displaystyle a b c d in mathbb N nbsp Dann gilt 4 Das Produkt a b c d displaystyle abcd nbsp ist immer durch 12 displaystyle 12 nbsp teilbar dd Eine grossere Zahl die dieses Produkt teilt gibt es nicht denn fur das kleinste pythagoreische Quadrupel also fur a b c d 1 2 2 3 displaystyle a b c d 1 2 2 3 nbsp gilt 1 2 2 3 12 displaystyle 1 cdot 2 cdot 2 cdot 3 12 nbsp Somit kann es keine grossere Zahl geben die das Produkt teilt Erzeugung von pythagoreischen Quadrupeln BearbeitenMethode 1 2 5 Seien m n p q displaystyle m n p q nbsp positive ganze Zahlen Dann kann die Menge der pythagoreischen Quadrupel mit ungeradem a displaystyle a nbsp wie folgt erzeugt werden a m 2 n 2 p 2 q 2 b 2 m q n p c 2 n q m p d m 2 n 2 p 2 q 2 displaystyle begin aligned a amp m 2 n 2 p 2 q 2 b amp 2 mq np c amp 2 nq mp d amp m 2 n 2 p 2 q 2 end aligned nbsp dd Gelten zusatzlich die folgenden elf Bedingungen dann kann damit die Menge von primitiven pythagoreischen Quadrupeln mit ungeradem a displaystyle a nbsp erzeugt werden 6 n q gt m p m 2 n 2 gt p 2 q 2 m 0 n 1 p 0 q 1 m p 1 m n p q 1 mod 2 das heisst m n p q ist ungerade also muss ein Wert oder mussen drei Werte gerade Zahlen sein g g T m 2 n 2 p 2 q 2 m q n p 1 m 0 q p p 0 n m displaystyle begin array lll nq gt mp amp amp m 2 n 2 gt p 2 q 2 m geq 0 n geq 1 p geq 0 q geq 1 amp amp m p geq 1 m n p q equiv 1 pmod 2 amp amp text das heisst m n p q text ist ungerade also muss ein Wert oder mussen drei Werte gerade Zahlen sein ggT m 2 n 2 p 2 q 2 mq np 1 amp amp m 0 Longrightarrow q leq p amp amp p 0 Longrightarrow n leq m end array nbsp dd dd Alle primitiven pythagoreischen Quadrupel erfullen somit die diophantische Gleichung d 2 a 2 b 2 c 2 displaystyle d 2 a 2 b 2 c 2 nbsp welche man auch Lebesguesche Identitat nennt 7 8 m 2 n 2 p 2 q 2 2 m 2 n 2 p 2 q 2 2 2 m q 2 n p 2 2 n q 2 m p 2 displaystyle m 2 n 2 p 2 q 2 2 m 2 n 2 p 2 q 2 2 2mq 2np 2 2nq 2mp 2 nbsp dd Beispiel 1 Sei m 1 n 7 p 2 displaystyle m 1 n 7 p 2 nbsp und q 5 displaystyle q 5 nbsp Dann sind alle zusatzlichen Bedingungen erfullt und es ist a 21 b 38 c 66 displaystyle a 21 b 38 c 66 nbsp und d 79 displaystyle d 79 nbsp und tatsachlich ist a 2 b 2 c 2 21 2 38 2 66 2 79 2 d 2 6241 displaystyle a 2 b 2 c 2 21 2 38 2 66 2 79 2 d 2 quad 6241 nbsp ein primitives pythagoreisches Quadrupel dd Beispiel 2 Sei m 2 n 3 p 5 displaystyle m 2 n 3 p 5 nbsp und q 9 displaystyle q 9 nbsp Dann ist die zusatzliche Bedingung m 2 n 2 13 gt 106 p 2 q 2 displaystyle m 2 n 2 13 stackrel gt 106 p 2 q 2 nbsp zwar nicht erfullt es ist aber a 93 b 66 c 34 displaystyle a 93 b 66 c 34 nbsp und d 119 displaystyle d 119 nbsp wegen a 2 b 2 c 2 93 2 66 2 34 2 119 2 d 2 14161 displaystyle a 2 b 2 c 2 93 2 66 2 34 2 119 2 d 2 quad 14161 nbsp trotzdem ein pythagoreisches Quadrupel allerdings mit a 93 lt 0 displaystyle a 93 lt 0 nbsp dd Beispiel 3 Sei m 1 n 3 p 1 displaystyle m 1 n 3 p 1 nbsp und q 2 displaystyle q 2 nbsp Dann ist a 5 b 10 c 10 displaystyle a 5 b 10 c 10 nbsp und d 15 displaystyle d 15 nbsp und tatsachlich ist a 2 b 2 c 2 5 2 10 2 10 2 15 2 d 2 225 displaystyle a 2 b 2 c 2 5 2 10 2 10 2 15 2 d 2 quad 225 nbsp Allerdings ist dieses pythagoreische Quadrupel nicht primitiv weil ggT a b c d 5 1 displaystyle operatorname ggT a b c d 5 not 1 nbsp und die Bedingung ggT m 2 n 2 p 2 q 2 m q n p 5 1 displaystyle operatorname ggT m 2 n 2 p 2 q 2 mq np 5 not 1 nbsp ist dd Methode 2 Alle pythagoreischen Quadrupel inklusive der nicht primitiven konnen wie folgt aus zwei positiven ganzen Zahlen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp erzeugt werden Sei die Paritat von a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp verschieden sei also entweder a displaystyle a nbsp gerade und b displaystyle b nbsp ungerade oder a displaystyle a nbsp ungerade und b displaystyle b nbsp gerade Sei weiters p displaystyle p nbsp ein Faktor von a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 nbsp mit p 2 lt a 2 b 2 displaystyle p 2 lt a 2 b 2 nbsp Dann gilt c a 2 b 2 p 2 2 p displaystyle c frac a 2 b 2 p 2 2p nbsp und d a 2 b 2 p 2 2 p displaystyle d frac a 2 b 2 p 2 2p nbsp mit p d c displaystyle p d c nbsp dd dd Beispiel Sei a 2 b 11 displaystyle a 2 b 11 nbsp und p 5 displaystyle p 5 nbsp Dann sind alle Voraussetzungen erfullt und es ist c 10 displaystyle c 10 nbsp und d 15 displaystyle d 15 nbsp und es ist p d c displaystyle p d c nbsp und tatsachlich ist a 2 b 2 c 2 2 2 11 2 10 2 15 2 d 2 225 displaystyle a 2 b 2 c 2 2 2 11 2 10 2 15 2 d 2 quad 225 nbsp dd Methode 3 9 Seien a 2 l displaystyle a 2l nbsp und b 2 m displaystyle b 2m nbsp gerade Zahlen Sei ausserdem n displaystyle n nbsp ein Teiler von l 2 m 2 displaystyle l 2 m 2 nbsp mit n 2 lt l 2 m 2 displaystyle n 2 lt l 2 m 2 nbsp Dann gilt c l 2 m 2 n 2 n displaystyle c frac l 2 m 2 n 2 n nbsp und d l 2 m 2 n 2 n displaystyle d frac l 2 m 2 n 2 n nbsp dd Diese Methode erzeugt alle pythagoreischen Quadrupel exakt ein Mal wenn l displaystyle l nbsp und m displaystyle m nbsp alle Paare naturlicher Zahlen durchlaufen und n displaystyle n nbsp alle moglichen Werte fur jedes Paar durchlauft dd Beispiel Sei a 14 b 6 displaystyle a 14 b 6 nbsp und n 2 displaystyle n 2 nbsp Dann sind alle Voraussetzungen erfullt l 7 displaystyle l 7 nbsp m 3 displaystyle m 3 nbsp und es ist c 27 displaystyle c 27 nbsp und d 31 displaystyle d 31 nbsp und tatsachlich ist a 2 b 2 c 2 14 2 6 2 27 2 31 2 d 2 961 displaystyle a 2 b 2 c 2 14 2 6 2 27 2 31 2 d 2 quad 961 nbsp dd Es gibt kein pythagoreisches Quadrupel bei dem mehr als eine der Zahlen a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp ungerade ist Methode 4 Sei n displaystyle n nbsp eine positive ganze Zahl Dann kann ein pythagoreisches Quadrupel wie folgt erzeugt werden a n b n 1 c a b d c 1 displaystyle begin aligned a amp n b amp n 1 c amp ab d amp c 1 end aligned nbsp dd dd Beispiel Sei n a 3 displaystyle n a 3 nbsp b 4 displaystyle b 4 nbsp und c 12 displaystyle c 12 nbsp dann ist d 13 displaystyle d 13 nbsp und tatsachlich ist a 2 b 2 c 2 3 2 4 2 12 2 13 2 d 2 169 displaystyle a 2 b 2 c 2 3 2 4 2 12 2 13 2 d 2 quad 169 nbsp dd Methode 5 Seien x y z displaystyle x y z nbsp drei positive ganze Zahlen Dann lasst sich ein pythagoreisches Quadrupel a b c d displaystyle a b c d nbsp wie folgt erzeugen a x 2 y 2 z 2 b 2 x y c 2 x z d x 2 y 2 z 2 displaystyle begin aligned a amp x 2 y 2 z 2 b amp 2xy c amp 2xz d amp x 2 y 2 z 2 end aligned nbsp dd dd Beispiel Sei x 2 displaystyle x 2 nbsp y 1 displaystyle y 1 nbsp und z 1 displaystyle z 1 nbsp dd So ist a 2 displaystyle a 2 nbsp b 4 displaystyle b 4 nbsp c 4 displaystyle c 4 nbsp und d 6 displaystyle d 6 nbsp tatsachlich ein pythagoreisches Quadrupel denn a 2 b 2 c 2 2 2 4 2 4 2 6 2 d 2 36 displaystyle a 2 b 2 c 2 2 2 4 2 4 2 6 2 d 2 quad 36 nbsp Hierbei handelt es sich um das Doppelte des primitiven 1 2 2 3 displaystyle 1 2 2 3 nbsp Quadrupels Siehe auch BearbeitenPythagoreisches Tripel Drei Quadrate SatzWeblinks BearbeitenRobert D Carmichael Diophantine Analysis Mathematical Monographs 1915 S 1 100 abgerufen am 18 Oktober 2019 Eric W Weisstein Pythagorean Quadruple Wolfram MathWorld abgerufen am 18 Oktober 2019 Einzelnachweise Bearbeiten Zur Schreibweise Im aktuellen Duden Das grosse Worterbuch der deutschen Sprache in zehn Banden ISBN 3 411 70360 1 wird das Adjektiv pythagoreisch in dieser Schreibweise gegeben und die Schreibweise pythagoraisch als osterreichische Sonderform bezeichnet a b Robert Spira The Diophantine Equation x2 y2 z2 m2 The American Mathematical Monthly 69 5 1962 S 360 365 abgerufen am 11 Oktober 2019 Raymond A Beauregard E R Suryanarayan Pythagorean Boxes Mathematics Magazine 74 3 Juni 2001 S 222 227 abgerufen am 11 Oktober 2019 Des MacHale Christian van den Bosch Generalising a result about Pythagorean triples The Mathematical Gazette 96 535 Marz 2012 S 91 96 abgerufen am 11 Oktober 2019 Paul Oliverio Self Generating Pythagorean Quadruples and n Tuples Jefferson High School Los Angeles Dezember 1993 S 98 101 abgerufen am 18 Oktober 2019 Robert Spira The Diophantine Equation x2 y2 z2 m2 Theorem 2 The American Mathematical Monthly 69 5 1962 S 362 abgerufen am 11 Oktober 2019 Pythagorean Quadruple GeeksforGeeks A computer science portal for geeks abgerufen am 11 Oktober 2019 Eric W Weisstein Lebesgue Identity Wolfram MathWorld abgerufen am 18 Oktober 2019 Titu Andreescu Dorin Andrica Ion Cucurezeanu An Introduction to Diophantine Equations A Problem Based Approach Theorem 2 2 3 Birkhauser S 79 abgerufen am 18 Oktober 2019 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pythagoreisches Quadrupel amp oldid 235198967
