Ein Tangentenviereck ist ein Viereck dessen Seiten Tangenten eines Kreises sind Diesen Kreis nennt man den Inkreis des Tangentenvierecks Ein solches Tangentenviereck ist immer konvex Vierecke bei denen lediglich die verlangerten Seiten Tangenten eines Kreises sind und die damit auch nicht notwendigerweise konvex sein mussen sind keine Tangentenvierecke im Sinne der hiesigen Definition Spezielle Tangentenvierecke sind das Quadrat die Raute und das Drachenviereck Ein Tangentenviereck ABCD mit Inkreis k Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Formeln 3 Gleichungen 4 Sehnentangentenviereck 4 1 Vereinfachte Flacheninhaltsberechnung 4 2 Spezielle Eigenschaften 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenFur jedes Tangentenviereck gilt der Satz von Pitot Die Summe der Langen zweier gegenuberliegender Seiten ist gleich der Summe der Langen der anderen beiden Seiten Es gilt also a c b d displaystyle a c b d nbsp Beweis siehe Skizze unten a c e f g h displaystyle a c e f g h nbsp b d e h f g displaystyle b d e h f g nbsp also a c b d displaystyle a c b d nbsp Umgekehrt gilt auch dass jedes konvexe Viereck mit a c b d displaystyle a c b d nbsp einen Inkreis besitzt und somit ein Tangentenviereck ist Der Satz von Pitot und seine Umkehrung werden zusammen auch als Satz vom Tangentenviereck bezeichnet Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden aller vier Innenwinkel Deshalb mussen sich beim Tangentenviereck alle Winkelhalbierenden auch in einem Punkt schneiden Ausserdem ist ein Viereck das kein Trapez ist genau dann ein Tangentenviereck wenn folgenden Bedingungen gelten siehe Skizze nbsp Dabei ist E der Schnittpunkt der Geraden A B displaystyle AB nbsp und C D displaystyle CD nbsp und F ist der Schnittpunkt der Geraden B C displaystyle BC nbsp und D A displaystyle DA nbsp Beweis siehe Wikibooks Beweisarchiv Sind P Q R S die Fusspunkte der Lote des Inkreismittelpunkts M auf die Seiten AB BC CD DA und r displaystyle r nbsp der Inkreisradius des Tangentenvierecks dann sind die rechtwinkligen Dreiecke MSA und APM nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent weil sie die Seite AM gemeinsam haben und ausserdem M S M P r displaystyle overline MS overline MP r nbsp und M S A A P M 90 displaystyle angle MSA angle APM 90 circ nbsp gilt Daraus folgt dass die Innenwinkel dieser rechtwinkligen Dreiecke jeweils gleich sind also gilt auch A M S P M A displaystyle angle AMS angle PMA nbsp Entsprechend gilt B M P Q M B displaystyle angle BMP angle QMB nbsp C M Q R M C displaystyle angle CMQ angle RMC nbsp und D M R S M D displaystyle angle DMR angle SMD nbsp Die Summe dieser acht Teilwinkel am Inkreismittelpunkt M ist gleich 360 Daraus folgt schliesslich B M A D M C P M A B M P R M C D M R 180 displaystyle angle BMA angle DMC angle PMA angle BMP angle RMC angle DMR 180 circ nbsp und C M B A M D Q M B C M Q S M D A M S 180 displaystyle angle CMB angle AMD angle QMB angle CMQ angle SMD angle AMS 180 circ nbsp also B M A D M C C M B A M D 180 displaystyle angle BMA angle DMC angle CMB angle AMD 180 circ nbsp Die Summe der gegenuber liegenden Winkel am Inkreismittelpunkt betragt also jeweils 180 1 Formeln BearbeitenMathematische Formeln zum TangentenviereckFlacheninhalt A r a c r b d displaystyle A r cdot a c r cdot b d nbsp nbsp A 1 2 p 2 q 2 a c b d 2 displaystyle A frac 1 2 cdot sqrt p 2 cdot q 2 a cdot c b cdot d 2 nbsp A e f g h e f g f g h g h e h e f displaystyle A sqrt e f g h cdot e cdot f cdot g f cdot g cdot h g cdot h cdot e h cdot e cdot f nbsp A a b c d e g f h 2 displaystyle A sqrt a cdot b cdot c cdot d e cdot g f cdot h 2 nbsp A a b c d sin a g 2 a b c d sin b d 2 displaystyle A sqrt a cdot b cdot c cdot d cdot sin left frac alpha gamma 2 right sqrt a cdot b cdot c cdot d cdot sin left frac beta delta 2 right nbsp Umfang U 2 a c 2 b d displaystyle U 2 cdot a c 2 cdot b d nbsp Lange der Diagonalen p e g e g f h 4 f h f h displaystyle p sqrt frac e g cdot e g cdot f h 4 cdot f cdot h f h nbsp q f h e g f h 4 e g e g displaystyle q sqrt frac f h cdot e g cdot f h 4 cdot e cdot g e g nbsp Inkreisradius r A a c A b d displaystyle r frac A a c frac A b d nbsp r e f g f g h g h e h e f e f g h displaystyle r sqrt frac e cdot f cdot g f cdot g cdot h g cdot h cdot e h cdot e cdot f e f g h nbsp Mithilfe des Satz des Pythagoras und des Kosinussatz erhalt man die Langen der tangentialen Sehnen k P R displaystyle k overline PR nbsp und l Q S displaystyle l overline QS nbsp Es gilt k e f g f g h g h e h e f e f g h e g f h displaystyle k sqrt frac e cdot f cdot g f cdot g cdot h g cdot h cdot e h cdot e cdot f e f cdot g h cdot e g cdot f h nbsp l e f g f g h g h e h e f e h f g e g f h displaystyle l sqrt frac e cdot f cdot g f cdot g cdot h g cdot h cdot e h cdot e cdot f e h cdot f g cdot e g cdot f h nbsp Daraus ergibt sich das Langenverhaltnis 1 k l f g e h e f g h b d a c displaystyle frac k l sqrt frac f g cdot e h e f cdot g h sqrt frac b cdot d a cdot c nbsp Gleichungen BearbeitenFur die Winkel jedes Tangentenvierecks gelten folgende Gleichungen 1 2 sin a 2 e f g f g h g h e h e f e f e g e h displaystyle sin left frac alpha 2 right sqrt frac e cdot f cdot g f cdot g cdot h g cdot h cdot e h cdot e cdot f e f cdot e g cdot e h nbsp sin b 2 e f g f g h g h e h e f f e f g f h displaystyle sin left frac beta 2 right sqrt frac e cdot f cdot g f cdot g cdot h g cdot h cdot e h cdot e cdot f f e cdot f g cdot f h nbsp sin g 2 e f g f g h g h e h e f g e g f g h displaystyle sin left frac gamma 2 right sqrt frac e cdot f cdot g f cdot g cdot h g cdot h cdot e h cdot e cdot f g e cdot g f cdot g h nbsp sin d 2 e f g f g h g h e h e f h e h f h g displaystyle sin left frac delta 2 right sqrt frac e cdot f cdot g f cdot g cdot h g cdot h cdot e h cdot e cdot f h e cdot h f cdot h g nbsp tan A B D 2 tan B D C 2 tan A D B 2 tan D B C 2 displaystyle tan left frac angle ABD 2 right cdot tan left frac angle BDC 2 right tan left frac angle ADB 2 right cdot tan left frac angle DBC 2 right nbsp Sehnentangentenviereck BearbeitenVereinfachte Flacheninhaltsberechnung Bearbeiten Ein interessanter Spezialfall liegt vor wenn ein Tangentenviereck die Bedingung a g b d displaystyle alpha gamma beta delta nbsp erfullt Unter dieser Voraussetzung ist das Tangentenviereck zugleich ein Sehnenviereck also ein Viereck mit Inkreis und Umkreis und wird deshalb auch als Sehnentangentenviereck bezeichnet Die Formel fur den Flacheninhalt liefert in diesem Fall das einfache Ergebnis A a b c d displaystyle A sqrt a cdot b cdot c cdot d nbsp Spezielle Eigenschaften Bearbeiten nbsp SehnentangentenviereckDa die Konstruktion eines Sehnentangentenvierecks aufwandiger ist als die eines reinen Sehnen bzw Tangentenvierecks liefert der nachfolgende Satz ein Kriterium welches die Konstruktion erleichtert Ein Tangentenviereck ist genau dann ein Sehnentangentenviereck wenn die Verbindungsstrecken gegenuberliegender Beruhrpunkte des Inkreises senkrecht aufeinander stehen Beweis Zu zeigen ist dass das Tangentenviereck A B C D displaystyle ABCD nbsp genau dann zugleich ein Sehnenviereck ist wenn ϕ 90 displaystyle phi 90 circ nbsp gilt Anders ausgedruckt ist somit zu zeigen b d 180 ϕ 90 displaystyle beta delta 180 circ Leftrightarrow phi 90 circ nbsp Da die beiden Dreiecke E G M 1 displaystyle EGM 1 nbsp und F H M 1 displaystyle FHM 1 nbsp gleichschenklig sind haben die Winkel M 1 G E displaystyle angle M 1 GE nbsp und G E M 1 displaystyle angle GEM 1 nbsp jeweils die Weite a displaystyle alpha nbsp und die Winkel H F M 1 displaystyle angle HFM 1 nbsp und M 1 H F displaystyle angle M 1 HF nbsp jeweils die Weite g displaystyle gamma nbsp Das Viereck S E C F displaystyle SECF nbsp hat die Innenwinkelsumme 90 a b 90 g ϕ 360 b a g ϕ 180 displaystyle 90 circ alpha beta 90 circ gamma phi 360 circ Leftrightarrow beta alpha gamma phi 180 circ nbsp Das Viereck A H S G displaystyle AHSG nbsp hat die Innenwinkelsumme d 90 g ϕ 90 a 360 d g ϕ a 180 displaystyle delta 90 circ gamma phi 90 circ alpha 360 circ Leftrightarrow delta gamma phi alpha 180 circ nbsp Nach Addition dieser beiden Gleichungen erhalt man b d 360 2 ϕ displaystyle beta delta 360 circ 2 phi nbsp Also ist b d 180 displaystyle beta delta 180 circ nbsp genau dann wenn ϕ 90 displaystyle phi 90 circ nbsp was zu zeigen war 3 Siehe auch BearbeitenSehnenviereck TangentenvieleckLiteratur BearbeitenHartmut Wellstein Peter Kirsche Elementargeometrie Springer 2009 ISBN 978 3 8348 0856 1 S 60 61 Siegfried Krauter Christine Bescherer Erlebnis Elementargeometrie Ein Arbeitsbuch zum selbststandigen und aktiven Entdecken Springer 2012 ISBN 978 3 8274 3025 0 S 77 78 Lorenz Halbeisen Norbert Hungerbuhler Juan Lauchli Mit harmonischen Verhaltnissen zu Kegelschnitten Perlen der klassischen Geometrie Springer 2016 ISBN 978 3 662 53034 4 S 21 Auszug PDF 4 1 MB Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Tangentenviereck Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Tangentenviereck Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Eric W Weisstein Tangential Quadrilateral In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten a b c Martin Josefsson Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral Forum Geometricorum Nicusor Minculete Characterizations of a Tangential Quadrilateral Forum Geometricorum Wolfgang Zeuge Nutzliche und schone Geometrie Eine etwas andere Einfuhrung in die Euklidische Geometrie Zweite korrigierte und erganzte Auflage Springer Spektrum Springer Verlag GmbH Berlin 2021 ISBN 978 3 662 63830 9 S 133 134 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tangentenviereck amp oldid 231093130
