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Orthodiagonales Viereck In der euklidischen Geometrie ist ein orthodiagonales Viereck ein Viereck in dem sich die Diagon

Orthodiagonales Viereck

In der euklidischen Geometrie ist ein orthodiagonales Viereck ein Viereck, in dem sich die Diagonalen rechtwinklig kreuzen. Mit anderen Worten: Es ist eine vierseitige ebene Figur, in der die Verbindungslinien zwischen den nicht benachbarten Ecken orthogonal zueinander sind.

Orthodia­gonales Viereck mit senk­rechten Diago­nalen. Die Fläche F = e · f ist doppelt so groß wie das Viereck.

Spezielle orthodiagonale Vierecke sind Drachenvierecke, insbesondere Rauten und Quadrate.

Eigenschaften Bearbeiten

Der Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen entsprechend der Längen der beiden Diagonalen und , also , besteht aus vier Teilrechtecken, welche durch die Seiten des Vierecks diagonal halbiert werden. Daraus ergibt sich für den Flächeninhalt des Vierecks:

Die beiden rot ge­färb­ten Quadrate haben zu­sam­men die gleiche Fläche wie die beiden gelb ge­färb­ten Quadrate.

Für die Seitenlängen gilt:

Nachweis im nächsten Abschnitt

Die Diagonalen eines konvexen Vierecks sind genau dann senkrecht zueinander, wenn die beiden Bimediane (die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Seitenmittelpunkte) gleich lang sind.

Die Diagonalen eines konvexen Vierecks ABCD auch genau dann senkrecht zueinander, wenn

gilt, wobei S der Schnittpunkt der Diagonalen ist. Aus dieser Gleichung folgt fast unmittelbar, dass die Diagonalen eines konvexen Vierecks sich genau dann senkrecht schneiden, wenn die Projektionen des Diagonalenschnittpunkts auf die Vierecksseiten die Ecken eines Sehnenvierecks sind.

Ein konvexes Viereck ist genau dann orthodiagonal, wenn sein Varignon-Parallelogramm (dessen Ecken die Seitenmittelpunkte sind) ein Rechteck ist. Eine verwandte Charakterisierung besagt, dass ein konvexes Viereck genau dann orthodiagonal ist, wenn die Seitenmittelpunkte und die Fußpunkte der Lote von den Seitenmittelpunkten auf die gegenüberliegenden Seiten konzyklisch sind, also auf einem Kreis liegen (Acht-Punkte-Kreis). Der Mittelpunkt dieses Kreises stimmt mit dem Schwerpunkt des Vierecks überein.

Mehrere Bedingungen für orthodiagonale Vierecke beziehen sich auf die Teildreiecke , , und , in die das Viereck durch seine Diagonalen unterteilt wird. Bezeichnet man mit , , und die Verbindungsstrecken des Diagonalenschnittpunkts mit den Mittelpunkten der Seiten , , bzw. , und mit , , und die Lote von auf die Vierecksseiten, so ist ein konvexes Viereck genau dann orthodiagonal, wenn eine der folgenden Aussagen gilt:

Nachweis Bearbeiten

Zum Nachweis für a² + c² = b² + d²

Die Formel

kann wie folgt bewiesen werden:

Die Seiten bilden mit dem Diagonalenschnittpunkt vier rechtwinklige Dreiecke. Nennt man die Diagonalenabschnitte , , und , so gilt nach dem Satz des Pythagoras:

Damit ist

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. verwendet z. B. in: E. Lampe u. a.: Archiv der Mathematik und Physik. Dritte Reihe, 12. Bd., Teubner, Leipzig und Berlin 1907, S. 198 (online).
  2. Harries, J. "Area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 86, July 2002, 310–311.
  3. Josefsson, Martin (2012), "Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals", Forum Geometricorum 12: 13–25.
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In der euklidischen Geometrie ist ein orthodiagonales Viereck ein Viereck in dem sich die Diagonalen rechtwinklig kreuzen 1 Mit anderen Worten Es ist eine vierseitige ebene Figur in der die Verbindungslinien zwischen den nicht benachbarten Ecken orthogonal zueinander sind Orthodia gonales Viereck mit senk rechten Diago nalen Die Flache F e f ist doppelt so gross wie das Viereck Spezielle orthodiagonale Vierecke sind Drachenvierecke insbesondere Rauten und Quadrate Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Nachweis 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenDer Flacheninhalt des Rechtecks mit den Seitenlangen entsprechend der Langen der beiden Diagonalen e displaystyle e nbsp und f displaystyle f nbsp also F e f displaystyle F ef nbsp besteht aus vier Teilrechtecken welche durch die Seiten des Vierecks diagonal halbiert werden Daraus ergibt sich fur den Flacheninhalt des Vierecks 2 A 1 2 e f displaystyle A frac 1 2 ef nbsp nbsp Die beiden rot ge farb ten Quadrate haben zu sam men die gleiche Flache wie die beiden gelb ge farb ten Quadrate Fur die Seitenlangen gilt a 2 c 2 b 2 d 2 displaystyle a 2 c 2 b 2 d 2 nbsp Nachweis im nachsten AbschnittDie Diagonalen eines konvexen Vierecks sind genau dann senkrecht zueinander wenn die beiden Bimediane die Verbindungsstrecken gegenuberliegender Seitenmittelpunkte gleich lang sind Die Diagonalen eines konvexen Vierecks ABCD auch genau dann senkrecht zueinander wenn S A B S B A S C D S D C p displaystyle angle SAB angle SBA angle SCD angle SDC pi nbsp gilt wobei S der Schnittpunkt der Diagonalen ist Aus dieser Gleichung folgt fast unmittelbar dass die Diagonalen eines konvexen Vierecks sich genau dann senkrecht schneiden wenn die Projektionen des Diagonalenschnittpunkts auf die Vierecksseiten die Ecken eines Sehnenvierecks sind Ein konvexes Viereck ist genau dann orthodiagonal wenn sein Varignon Parallelogramm dessen Ecken die Seitenmittelpunkte sind ein Rechteck ist 3 Eine verwandte Charakterisierung besagt dass ein konvexes Viereck genau dann orthodiagonal ist wenn die Seitenmittelpunkte und die Fusspunkte der Lote von den Seitenmittelpunkten auf die gegenuberliegenden Seiten konzyklisch sind also auf einem Kreis liegen Acht Punkte Kreis Der Mittelpunkt dieses Kreises stimmt mit dem Schwerpunkt des Vierecks uberein Mehrere Bedingungen fur orthodiagonale Vierecke beziehen sich auf die Teildreiecke A B S displaystyle ABS nbsp B C S displaystyle BCS nbsp C D S displaystyle CDS nbsp und D A S displaystyle DAS nbsp in die das Viereck durch seine Diagonalen unterteilt wird Bezeichnet man mit m 1 displaystyle m 1 nbsp m 2 displaystyle m 2 nbsp m 3 displaystyle m 3 nbsp und m 4 displaystyle m 4 nbsp die Verbindungsstrecken des Diagonalenschnittpunkts M displaystyle M nbsp mit den Mittelpunkten der Seiten A B displaystyle AB nbsp B C displaystyle BC nbsp C D displaystyle CD nbsp bzw D A displaystyle DA nbsp und mit h 1 displaystyle h 1 nbsp h 2 displaystyle h 2 nbsp h 3 displaystyle h 3 nbsp und h 4 displaystyle h 4 nbsp die Lote von S displaystyle S nbsp auf die Vierecksseiten so ist ein konvexes Viereck A B C D displaystyle ABCD nbsp genau dann orthodiagonal wenn eine der folgenden Aussagen gilt m 1 2 m 3 2 m 2 2 m 4 2 displaystyle m 1 2 m 3 2 m 2 2 m 4 2 nbsp 1 h 1 2 1 h 3 2 1 h 2 2 1 h 4 2 displaystyle frac 1 h 1 2 frac 1 h 3 2 frac 1 h 2 2 frac 1 h 4 2 nbsp Nachweis Bearbeiten nbsp Zum Nachweis fur a c b d Die Formel a 2 c 2 b 2 d 2 displaystyle a 2 c 2 b 2 d 2 nbsp kann wie folgt bewiesen werden Die Seiten bilden mit dem Diagonalenschnittpunkt vier rechtwinklige Dreiecke Nennt man die Diagonalenabschnitte h a displaystyle h a nbsp h b displaystyle h b nbsp h c displaystyle h c nbsp und h d displaystyle h d nbsp so gilt nach dem Satz des Pythagoras a 2 h a 2 h b 2 displaystyle a 2 h a 2 h b 2 nbsp b 2 h b 2 h c 2 displaystyle b 2 h b 2 h c 2 nbsp c 2 h c 2 h d 2 displaystyle c 2 h c 2 h d 2 nbsp d 2 h d 2 h a 2 displaystyle d 2 h d 2 h a 2 nbsp Damit ist a 2 c 2 b 2 d 2 h a 2 h b 2 h c 2 h d 2 h a 2 h b 2 h c 2 h d 2 displaystyle a 2 c 2 b 2 d 2 h a 2 h b 2 h c 2 h d 2 h a 2 h b 2 h c 2 h d 2 nbsp a 2 c 2 b 2 d 2 0 displaystyle a 2 c 2 b 2 d 2 0 nbsp a 2 c 2 b 2 d 2 displaystyle a 2 c 2 b 2 d 2 nbsp w z b w Weblinks BearbeitenMartin Josefsson Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals PDF David Fraivert Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals PDF 278 kB David Fraivert A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal Points Circles Einzelnachweise Bearbeiten verwendet z B in E Lampe u a Archiv der Mathematik und Physik Dritte Reihe 12 Bd Teubner Leipzig und Berlin 1907 S 198 online Harries J Area of a quadrilateral Mathematical Gazette 86 July 2002 310 311 Josefsson Martin 2012 Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals Forum Geometricorum 12 13 25 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Orthodiagonales Viereck amp oldid 232534757