Eine multivariate Verteilung ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und in der Statistik die Verteilung eines Zufallsvektors – also einer Zufallsvariablen, deren Werte Vektoren im sind. Im zweidimensionalen Fall spricht man auch von einer bivariaten Verteilung. Die multivariate Verteilung eines Zufallsvektors ist somit ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf , das messbaren Teilmengen die Wahrscheinlichkeit zuordnet, dass einen Wert aus annimmt. Eine multivariate Verteilung kann durch eine multivariate Verteilungsfunktion charakterisiert werden. Die Verteilungen der einzelnen Komponenten eines Zufallsvektors werden die Randverteilungen von genannt. Beispiele für multivariate Verteilungen sind die Multinomialverteilung oder die multivariate Normalverteilung, weitere finden sich in der Liste multivariater und matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Einführendes Beispiel Bearbeiten
Wir betrachten zwei Zufallsexperimente:
- Zweimaliges Würfeln mit einem idealen Würfel. Dies ist äquivalent zu einem Urnenexperiment mit sechs unterscheidbaren Kugeln, wobei zweimal mit Zurücklegen gezogen wird. Es gibt 36 mögliche Ergebnispaare (da wir die Reihenfolge des Würfelns bzw. der Ziehung berücksichtigen), und alle 36 Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich, haben also eine Wahrscheinlichkeit von 1/36.
- Ein ähnliches Urnenexperiment, aber ohne Zurücklegen. In diesem Fall kommen die Ergebnisse (1,1), (2,2), …, (6,6) nicht vor, da die -te Kugel beim zweiten Ziehen nicht vorkommen kann, wenn sie bereits bei der ersten Ziehung herausgenommen wurde. Die übrigen 30 Paare sind gleich wahrscheinlich und haben daher die Wahrscheinlichkeit 1/30.
Diese beiden Experimente ergeben nun zweidimensionale diskrete Zufallsvariablen und , welche die gleichen Randverteilungen haben (jede Zahl von 1 bis 6 ist bei beiden Experimenten in beiden Ziehungen gleich wahrscheinlich und tritt mit Wahrscheinlichkeit 1/6 auf).
Jedoch sind die beiden Ziehungen im ersten Experiment unabhängig, da die gezogene Kugel zurückgelegt wird, während sie im zweiten Experiment nicht unabhängig sind. Das wird am deutlichsten, wenn man sich klarmacht, dass die Paare (1,1), (2,2), …, (6,6) bei einem unabhängigen Experiment jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/36 vorkommen müssen (Produkt der Randwahrscheinlichkeiten 1/6), sie aber beim zweiten Experiment überhaupt nicht auftreten können (Wahrscheinlichkeit 0 haben), da die Kugel nicht zurückgelegt wird.
Die Verteilungen von und sind daher verschieden; es handelt sich also um ein Beispiel zweier unterschiedlicher diskreter multivariater Verteilungen mit gleichen Randverteilungen.
Bivariate Verteilung Bearbeiten
Die Realisationen eines bivariaten Zufallsvektors (einer zweidimensionalen Zufallsvariablen) sind Vektoren in . Die bivariate Verteilung des Zufallsvektors liegt durch die Angabe der Wahrscheinlichkeiten
fest, wobei die Borelsche σ-Algebra auf bezeichnet. Durch für alle ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß definiert, das zu einem Wahrscheinlichkeitsraum macht. ist die bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung oder kurz bivariate Verteilung von .
Bivariate Verteilungsfunktion Bearbeiten
Die Verteilung des Zufallsvektors liegt bereits dann fest, wenn die Wahrscheinlichkeiten
gegeben sind. Dies motiviert das Konzept der bivariaten Verteilungsfunktion des Zufallsvektors , die durch
definiert ist. Durch Angabe der Funktion liegt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von fest, da sich aus den durch die Verteilungsfunktion angegebenen Wahrscheinlichkeiten mit den Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung die Wahrscheinlichkeiten aller anderen Ereignisse ergeben.
Bivariate Dichtefunktion Bearbeiten
Falls der Zufallsvektor eine bivariate (oder zweidimensionale) Dichtefunktion besitzt, dann besteht zwischen der bivariaten Verteilungsfunktion und der bivariaten Dichtefunktion der Zusammenhang
Somit liegt durch die Angabe einer bivariaten Dichtefunktion die bivariate Verteilungsfunktion und damit die bivariate Verteilung fest.
Bivariate Verteilung und bedingte Wahrscheinlichkeiten Bearbeiten
Wenn die Zufallsvariable diskret ist, dann kann man die gemeinsame Verteilung mit Hilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten so schreiben:
und im stetigen Fall entsprechend
Hier sind und die bedingten Dichten ( unter der Bedingung , bzw. von unter der Bedingung ) und die Dichten der Randverteilungen von und .
Stochastische Unabhängigkeit Bearbeiten
Die Komponenten des Zufallsvektors sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn
gilt. Anderenfalls liegt stochastische Abhängigkeit vor. Wenn für diskrete Zufallsvariablen
gilt oder wenn für stetige Zufallsvariablen
gilt, dann sind die Zufallsvariablen und unabhängig.
Abhängigkeitsstruktur und Copula Bearbeiten
Wenn die Komponenten des Zufallsvektors nicht stochastisch unabhängig sind, kann die Abhängigkeitsstruktur durch die sogenannte Copula charakterisiert werden. In der Abbildung ist ein Beispiel für die Modellierung der Abhängigkeitsstruktur mit Hilfe einer speziellen Copula gezeigt. Insbesondere ist das ein Beispiel dafür, dass eine bivariate Zufallsvariable mit normalen Randverteilungen nicht bivariat normalverteilt sein muss.
Der allgemeine mehrdimensionale Fall Bearbeiten
Multivariate Verteilungen ordnen einem geeigneten Teilmengensystem von , dem sogenannten Ereignissystem, Wahrscheinlichkeiten zu. Typischerweise wird als Ereignissystem die Borelsche σ-Algebra auf gewählt, die mit bezeichnet wird. Aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Sicht gilt: „Multivariate Verteilungen sind Wahrscheinlichkeitsmaße auf .“
Bei Anwendungen, insbesondere im Bereich der Statistik, steht ein Zufallsvektor (eine -dimensionale Zufallsvariable), im Vordergrund, dessen Komponenten Zufallsvariablen sind. Der Zufallsvektor besitzt dann eine multivariate Verteilung, die das Bildmaß von unter ist. Dabei gilt
Verteilungsfunktion Bearbeiten
Die Verteilungsfunktion einer multivariaten Verteilung ist durch
definiert.
Die Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors ist durch
definiert.
Besitzt der Zufallsvektor eine Dichtefunktion , dann hängen die Verteilungsfunktion und die Dichte über
zusammen.
Randverteilungen Bearbeiten
Es gibt für Randverteilungen mehr Möglichkeiten als im zweidimensionalen Fall, da nun Randverteilungen für jede niedrigere Dimension existieren und man Möglichkeiten hat, einen -dimensionalen Teilvektor aus einem -dimensionalen Vektor auszuwählen. Beispielsweise gibt es im dreidimensionalen Fall zur Verteilung des Zufallsvektors die drei eindimensionale Randverteilungen der Komponenten , und sowie die drei zweidimensionale Randverteilungen der Teilvektoren , und .
Verteilungen von Zufallsmatrizen Bearbeiten
Eine Zufallsmatrix ist eine Matrix, deren Elemente Zufallsvariablen sind. Sie kann als eine Funktion aufgefasst werden. Die Verteilung einer Zufallsmatrix ordnet den (Borel-messbaren) Teilmengen von Wahrscheinlichkeiten zu.
Im Zusammenhang mit der Schätzung der Kovarianzmatrix einer -dimensionalen multivariaten Normalverteilung spielt eine -dimensionale Wishart-Verteilung eine entscheidende Rolle. Die Wishart-Verteilung ist eine Matrix-Verallgemeinerung der Chi-Quadrat-Verteilung.
Spezielle multivariate Verteilungen Bearbeiten
Diskrete multivariate Verteilungen Bearbeiten
Spezielle multivariate Verteilungen sind z. B. die Multinomialverteilung, die negative Multinomialverteilung, die multivariate Poissonverteilung, die multivariate hypergeometrische Verteilung, die multivariate Pólya-Eggenberger-Verteilung und die multivariate Ewens-Verteilung.
Stetige multivariate Verteilungen Bearbeiten
Spezielle stetige multivariate Verteilungen sind z. B. die multivariate Normalverteilung, verschiedene Konzepte multivariater Exponentialverteilungen, Gammaverteilungen, logistischer Verteilungen, die multivariate Dirichlet-Verteilung, die multivariate Liouville-Verteilung und die multivariaten Extremwertverteilungen.
Literatur Bearbeiten
- Ludwig Fahrmeir, Alfred Hamerle (Hrsg.): Multivariate statistische Verfahren. de Gruyter, New York 1996, ISBN 3-11-008509-7.
- Joachim Hartung, Bärbel Elpelt: Multivariate Statistik. Oldenbourg, München/Wien 1999, ISBN 3-486-25287-9.
- Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Discrete Multivariate Distributions. Wiley, New York 1997, ISBN 978-0-471-12844-1.
- K. V. Mardia, J. T. Kent, J. M. Bibby: Multivariate Analysis. Acad. Press, New York 1979, ISBN 0-12-471250-9 (engl.).
- Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan, Norman L. Johnson: Continuous Multivariate Distributions – Volume 1: Models and Applications. 2. Auflage. Wiley, New York 2000, ISBN 978-0-471-18387-7, doi:10.1002/0471722065.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 292.
- Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 294.
- ↑ K. V. Mardia, J. T. Kent und J. M. Bibby: Multivariate Analysis. 1979, S. 26.
- P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Wishart-Verteilung, S. 69.
- K. V. Mardia, J. T. Kent, J. M. Bibby: Multivariate Analysis. 1979, S. 69.
- K. V. Mardia, J. T. Kent, J. M. Bibby: Multivariate Analysis. 1979, S. 43.
- Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Discrete Multivariate Distributions. 1997, Kap. 35.
- Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Discrete Multivariate Distributions. 1997, Kap. 36.
- Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Discrete Multivariate Distributions. 1997, Kap. 37.
- Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Discrete Multivariate Distributions. 1997, Kap. 39.
- Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Discrete Multivariate Distributions. 1997, Kap. 40.
- Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Discrete Multivariate Distributions. 1997, Kap. 41.
- Samuel Kotz et al.: Continuous Multivariate Distributions. 2000, Kap. 44.
- Samuel Kotz et al.: Continuous Multivariate Distributions. 2000, Kap. 47.
- Samuel Kotz et al.: Continuous Multivariate Distributions. 2000, Kap. 48.
- Samuel Kotz et al.: Continuous Multivariate Distributions. 2000, Kap. 51.
- Samuel Kotz et al.: Continuous Multivariate Distributions. 2000, Kap. 49.
- Samuel Kotz et al.: Continuous Multivariate Distributions. 2000, Kap. 50.
- Samuel Kotz et al.: Continuous Multivariate Distributions. 2000, Kap. 53.