Diese Liste multivariater und matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen enthalt multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen und matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterteilt in diskrete multivariate Verteilungen absolutstetige multivariate Verteilungen und matrixvariate Verteilungen Inhaltsverzeichnis 1 Notation 2 Diskret Multivariat 3 Absolutstetig Multivariat 4 Matrixvariat 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseNotation BearbeitenEs gelten folgende Konventionen Ist x R n displaystyle x in mathbb R n nbsp so ist x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp und x 0 displaystyle x geq 0 nbsp komponentenweise zu verstehen also x 0 displaystyle x geq 0 nbsp genau dann wenn x i 0 displaystyle x i geq 0 nbsp fur alle i displaystyle i nbsp Ist X R n n displaystyle X in mathbb R n times n nbsp so bezeichnen die Ordnungssymbole die Loewner Halbordnung also X gt 0 displaystyle X gt 0 nbsp genau dann wenn X displaystyle X nbsp positiv definit ist und X gt Y displaystyle X gt Y nbsp genau dann wenn X Y gt 0 displaystyle X Y gt 0 nbsp 1 k displaystyle mathbf 1 k nbsp bezeichnet den Einsvektor der Lange k displaystyle k nbsp und 1 k k displaystyle mathbf 1 k times k nbsp die k k displaystyle k times k nbsp Einheitsmatrix Abkurzend wird verwendet a 1 a 2 a k 1 k T a displaystyle a 1 a 2 dots a k mathbf 1 k T a nbsp wobei a a 1 a 2 a k displaystyle a a 1 a 2 dots a k nbsp ist etr A exp spur A displaystyle operatorname etr A exp operatorname spur A nbsp fur ein A R n n displaystyle A in mathbb R n times n nbsp spur A displaystyle operatorname spur A nbsp bezeichnet hier die Spur der Matrix A displaystyle A nbsp Diskret Multivariat BearbeitenName Trager Parameter Wahrscheinlichkeitsfunktion BemerkungMultinomial Verteilung Polynomial Verteilung x N 0 k displaystyle x in mathbb N 0 k nbsp 1 k T x n displaystyle mathbf 1 k T x n nbsp p displaystyle p nbsp stochastischer Vektor aus R k displaystyle mathbb R k nbsp f x n x i 1 k p i x i displaystyle f x n choose x prod i 1 k p i x i nbsp Verallgemeinerung der Binomial Verteilung n x displaystyle n choose x nbsp ist der MultinomialkoeffizientNegativmultinomial Verteilung 1 Negative Multinomial Verteilung Negative Polynomial Verteilung x N 0 k displaystyle x in mathbb N 0 k nbsp p R k displaystyle p in mathbb R k nbsp p i 0 1 displaystyle p i in 0 1 nbsp 1 k T p 1 displaystyle mathbf 1 k T p leq 1 nbsp a 0 displaystyle alpha in 0 infty nbsp f x G a 1 k T x 1 1 k T p a G a i 1 k x i i 1 k p i x i displaystyle f x frac Gamma alpha mathbf 1 k T x 1 mathbf 1 k T p alpha Gamma alpha prod i 1 k x i prod i 1 k p i x i nbsp Verallgemeinerung der negativen BinomialverteilungMultivariate hypergeometrische Verteilung allgemeine hypergeometrische Verteilung 2 x N 0 k displaystyle x in mathbb N 0 k nbsp x 1 x k n displaystyle x 1 dots x k n nbsp B N 0 k displaystyle B in mathbb N 0 k nbsp 1 k T B N displaystyle mathbf 1 k T B N nbsp n N N displaystyle n N in mathbb N nbsp n N displaystyle n leq N nbsp f x N n 1 i 1 k B i x i displaystyle f x binom N n 1 prod i 1 k binom B i x i nbsp Verallgemeinerung der hypergeometrischen VerteilungPolyhypergeometrische Verteilung 1 x N 0 k displaystyle x in mathbb N 0 k nbsp 1 k T x n displaystyle mathbf 1 k T x leq n nbsp n N N displaystyle n N in mathbb N nbsp n N displaystyle n leq N nbsp K 1 N 1 k displaystyle K in 1 dots N 1 k nbsp 1 k T K N displaystyle mathbf 1 k T K leq N nbsp f x n M 1 1 1 k T K n 1 k T x i 1 k K i x i displaystyle f x binom n M 1 binom 1 mathbf 1 k T K n mathbf 1 k T x prod i 1 k binom K i x i nbsp Verallgemeinerung der multivariaten hypergeometrischen VerteilungMultivariate Poisson Verteilung 1 N 0 k displaystyle mathbb N 0 k nbsp a R k displaystyle alpha in mathbb R k nbsp a gt 0 displaystyle alpha gt 0 nbsp f x i 1 k e a i a i x i x i displaystyle f x prod i 1 k e alpha i frac alpha i x i x i nbsp Polya Eggenberger Verteilung 1 x N 0 k displaystyle x in mathbb N 0 k nbsp 1 k T x n displaystyle mathbf 1 k T x leq n nbsp n N displaystyle n in mathbb N nbsp a 0 displaystyle a in 0 infty nbsp b R k displaystyle b in mathbb R k nbsp b gt 0 displaystyle b gt 0 nbsp 1 k T b a displaystyle mathbf 1 k T b leq a nbsp f x a n 1 1 k T b x n 1 k T x i 1 k b i x i 1 x i a n 1 n displaystyle f x frac binom a n 1 mathbf 1 k T b x n mathbf 1 k T x prod i 1 k binom b i x i 1 x i binom a n 1 n nbsp Absolutstetig Multivariat BearbeitenName Trager Parameter Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion BemerkungMehrdimensionale Normalverteilung multivariate Normalverteilung 3 R n displaystyle mathbb R n nbsp m R n displaystyle mu in mathbb R n nbsp S R n n displaystyle Sigma in mathbb R n times n nbsp S gt 0 displaystyle Sigma gt 0 nbsp f x 1 2 p n det S exp 1 2 x m T S 1 x m displaystyle f x frac 1 sqrt 2 pi n det Sigma exp left frac 1 2 x mu T Sigma 1 x mu right nbsp Verallgemeinerung der NormalverteilungDirichlet Verteilung der Ordnung K displaystyle K nbsp 4 x R K displaystyle x in mathbb R K nbsp 1 K T x 1 displaystyle mathbf 1 K T x 1 nbsp x 0 displaystyle x geq 0 nbsp a R n displaystyle alpha in mathbb R n nbsp a gt 0 displaystyle alpha gt 0 nbsp f x G i 1 K a i i 1 K G a i i 1 K x i a i 1 displaystyle f x frac Gamma left sum i 1 K alpha i right prod i 1 K Gamma alpha i prod i 1 K x i alpha i 1 nbsp Matrixvariat BearbeitenName Trager Parameter Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion BemerkungMatrixvariate Normalverteilung englisch matrix variate normal distribution 5 R n p displaystyle mathbb R n times p nbsp M R n p displaystyle M in mathbb R n times p nbsp U R n n displaystyle U in mathbb R n times n nbsp V R p p displaystyle V in mathbb R p times p nbsp U gt 0 displaystyle U gt 0 nbsp V gt 0 displaystyle V gt 0 nbsp f X etr 1 2 V 1 X M T U 1 X M 2 p n p 2 det V n 2 det U p 2 displaystyle f X frac operatorname etr left frac 1 2 left V 1 X M T U 1 X M right right 2 pi np 2 det V n 2 det U p 2 nbsp Verallgemeinerung der NormalverteilungWishart Verteilung 5 R p p displaystyle mathbb R p times p nbsp V R p p displaystyle V in mathbb R p times p nbsp V gt 0 displaystyle V gt 0 nbsp Freiheitsgrad n p displaystyle n geq p nbsp f X det X n p 1 2 etr 1 2 V 1 X 2 n p 2 det V n 2 G p n 2 displaystyle f X frac det X tfrac n p 1 2 operatorname etr left tfrac 1 2 V 1 X right 2 tfrac np 2 det V tfrac n 2 Gamma p tfrac n 2 nbsp Hierbei bezeichnet G p displaystyle Gamma p cdot nbsp die Multivariate Gamma Funktion Die Wishart Verteilung ist die matrixvariate Verallgemeinerung der Chi Quadrat Verteilung Matrixvariate Studentsche t Verteilung englisch matrix variate t distribution 5 R n p displaystyle mathbb R n times p nbsp M R n p displaystyle M in mathbb R n times p nbsp W R p p displaystyle Omega in mathbb R p times p nbsp S R n n displaystyle Sigma in mathbb R n times n nbsp W gt 0 S gt 0 displaystyle Omega gt 0 Sigma gt 0 nbsp Freiheitsgrad n displaystyle nu nbsp f X G p n n p 1 2 p n p 2 G p n p 1 2 det W n 2 det S p 2 displaystyle f X frac Gamma p left tfrac nu n p 1 2 right pi tfrac np 2 Gamma p left frac nu p 1 2 right det Omega tfrac n 2 det Sigma tfrac p 2 nbsp det 1 n n S 1 X M W 1 X M T n n p 1 2 displaystyle cdot det left mathbb 1 n times n Sigma 1 X M Omega 1 X M T right frac nu n p 1 2 nbsp Verallgemeinerung der studentschen t VerteilungMatrixvariate Beta Verteilung englisch matrix variate beta type I distribution 5 X R p p displaystyle X in mathbb R p times p nbsp 0 lt X lt 1 p p displaystyle 0 lt X lt mathbb 1 p times p nbsp a gt 1 2 p 1 b gt 1 2 p 1 displaystyle a gt tfrac 1 2 p 1 b gt tfrac 1 2 p 1 nbsp f X 1 b p a b det X a p 1 2 det 1 p p X b p 1 2 displaystyle f X frac 1 beta p a b det X a p 1 2 det mathbb 1 p times p X b p 1 2 nbsp Verallgemeinerung der Beta VerteilungMatrixvariate inverse Beta Verteilung englisch matrix variate beta type II distribution 5 X R p p displaystyle X in mathbb R p times p nbsp 0 lt X displaystyle 0 lt X nbsp a gt 1 2 p 1 b gt 1 2 p 1 displaystyle a gt tfrac 1 2 p 1 b gt tfrac 1 2 p 1 nbsp f X 1 b p a b det X a p 1 2 det 1 p p X a b displaystyle f X frac 1 beta p a b det X a p 1 2 det mathbb 1 p times p X a b nbsp Verallgemeinerung der inversen Beta VerteilungSiehe auch BearbeitenListe univariater WahrscheinlichkeitsverteilungenEinzelnachweise Bearbeiten a b c d Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2 durchgesehene Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2011 ISBN 978 3 642 21025 9 S 296 300 doi 10 1007 978 3 642 21026 6 Hans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 doi 10 1515 9783110215274 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 S 334 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 S 562 563 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 a b c d e A K Gupta Matrix variate distribution In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Diskrete univariate Verteilungen Diskrete univariate Verteilungen fur endliche Mengen Benford Bernoulli beta binomial binomial Dirac diskret uniform empirisch hypergeometrisch kategorial negativ hypergeometrisch Rademacher verallgemeinert binomial Zipf Zipf Mandelbrot ZweipunktDiskrete univariate Verteilungen fur unendliche Mengen Boltzmann Conway Maxwell Poisson discrete Phase Type erweitert negativ binomial Gauss Kuzmin gemischt Poisson geometrisch logarithmisch negativ binomial parabolisch fraktal Poisson Skellam verallgemeinert Poisson Yule Simon ZetaKontinuierliche univariate Verteilungen Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall Beta Cantor Kumaraswamy raised Cosine Dreieck Trapez U quadratisch stetig uniform Wigner HalbkreisKontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall Beta prime Bose Einstein Burr Chi Chi Quadrat Coxian Erlang Exponential Extremwert F Fermi Dirac Folded normal Frechet Gamma Gamma Gamma verallgemeinert invers Gauss halblogistisch halbnormal Hartman Watson Hotellings T Quadrat hyper exponentiale hypoexponential invers Chi Quadrat scale invers Chi Quadrat Invers Normal Invers Gamma Kolmogorow Verteilung Levy log normal log logistisch Maxwell Boltzmann Maxwell Speed Nakagami nichtzentriert Chi Quadrat Pareto Phase Type Rayleigh relativistisch Breit Wigner Rice Rosin Rammler shifted Gompertz truncated normal Type 2 Gumbel Weibull Wilks LambdaKontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschranktem Intervall Cauchy Extremwert exponential Power Fishers z Fisher Tippett Gumbel generalized hyperbolic Hyperbolic secant Landau Laplace alpha stabil logistisch normal Gauss normal invers Gauss sch Skew normal Studentsche t Type 1 Gumbel Variance Gamma VoigtMultivariate Verteilungen Diskrete multivariate Verteilungen Dirichlet compound multinomial Ewens gemischt Multinomial multinomial multivariat hypergeometrisch multivariat Poisson negativmultinomial Polya Eggenberger polyhypergeometrischKontinuierliche multivariate Verteilungen Dirichlet GEM generalized Dirichlet multivariat normal multivariat Student normalskaliert invers Gamma Normal Gamma Poisson DirichletMultivariate Matrixverteilungen Invers Wishart Matrix Beta Matrix Gamma Matrix invers Beta Matrix invers Gamma Matrix Normal Matrix Student t Normal invers Wishart Normal Wishart Wishart Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Liste multivariater und matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen amp oldid 238086959
