Einsmatrix Die ist in der Mathematik eine Matrix deren Elemente alle gleich der Zahl Eins beziehungsweise dem Einselemen

Einsmatrix

Die Einsmatrix ist in der Mathematik eine Matrix, deren Elemente alle gleich der Zahl Eins (beziehungsweise dem Einselement des zugrunde liegenden Rings) sind. Eine Einsmatrix, die nur aus einer Zeile oder Spalte besteht, wird auch Einsvektor genannt. Jede Einsmatrix lässt sich als dyadisches Produkt von Einsvektoren darstellen. Im Matrizenring mit der Matrizenaddition und dem Hadamard-Produkt ist die Einsmatrix das neutrale Element. Wichtige Kennzahlen und Potenzen von Einsmatrizen lassen sich explizit berechnen. Die Einsmatrix und der Einsvektor dürfen nicht mit der Einheitsmatrix und dem Einheitsvektor verwechselt werden.

Definition Bearbeiten

Ist ein Ring mit Einselement , dann ist die Einsmatrix definiert als

Eine Einsmatrix bestehend aus nur einer Zeile oder Spalte wird auch Einsvektor genannt und mit bezeichnet. Wird die Dimension der Einsmatrix aus dem Kontext klar und bestehen keine Verwechslungsmöglichkeiten, so werden die Indizes auch weggelassen und nur geschrieben. In Anlehnung an Einheitsmatrizen, die häufig mit bezeichnet werden, werden Einsmatrizen auch durch notiert.

Beispiele Bearbeiten

Ist der Körper der reellen Zahlen und bezeichnet die Zahl Eins, so sind Beispiele für Einsvektoren und -matrizen:

Sei der Nullring, dann sind auch folgende Matrizen Beispiele für Einsmatrizen:

Hinweis: Im Nullring fallen die Begriffe Nullmatrix und Einsmatrix zusammen. Tatsächlich ist sogar jede Matrix über dem Nullring eine Einsmatrix (und eine Nullmatrix).

Eigenschaften Bearbeiten

Algebraische Eigenschaften Bearbeiten

Eine Einsmatrix lässt sich auch als dyadisches Produkt von Einsvektoren darstellen:

Die Transponierte einer Einsmatrix ist wieder eine Einsmatrix, also

Die Einsmatrix ist zudem das neutrale Element in dem Matrizenring , wobei die Matrizenaddition und das Hadamard-Produkt sind. Damit gilt für alle Matrizen

Rang, Determinante, Spur Bearbeiten

Ist nun ein Körper, dann gilt für den Rang einer Einsmatrix

Die Determinante einer quadratischen Einsmatrix ist dann

Die Spur einer quadratischen Einsmatrix über den reellen oder komplexen Zahlen ist

Eigenwerte Bearbeiten

Das charakteristische Polynom einer reellen oder komplexen Einsmatrix ergibt sich als

Die Eigenwerte sind entsprechend

Zugehörige Eigenvektoren sind

Produkte Bearbeiten

Für das Produkt zweier reeller oder komplexer Einsmatrizen passender Größe gilt

Damit berechnet sich die -te Potenz einer quadratischen Einsmatrix für als

Daher ist die Matrix idempotent, das heißt

Für das Matrixexponential der Einsmatrix gilt

wobei die Einheitsmatrix der Größe und die Eulersche Zahl sind.

Programmierung Bearbeiten

In dem numerischen Softwarepaket MATLAB wird die Einsmatrix durch die Funktion ones(m,n) erzeugt.

Literatur Bearbeiten

Karsten Schmidt, Götz Trenkler: Einführung in die Moderne Matrix-Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-33008-9.

Einzelnachweise Bearbeiten

Schmidt, Trenkler: Einführung in die Moderne Matrix-Algebra. S. 27–28.
Christoph W. Überhuber, Stefan Katzenbeisser, Dirk Praetorius: MATLAB 7: Eine Einführung. Springer, 2007, S. 18.

Weblinks Bearbeiten

Eric W. Weisstein: Unit Matrix. In: MathWorld (englisch).

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Veröffentlichungsdatum: November 27, 2023, 11:55 am

Die Einsmatrix ist in der Mathematik eine Matrix deren Elemente alle gleich der Zahl Eins beziehungsweise dem Einselement des zugrunde liegenden Rings sind Eine Einsmatrix die nur aus einer Zeile oder Spalte besteht wird auch Einsvektor genannt Jede Einsmatrix lasst sich als dyadisches Produkt von Einsvektoren darstellen Im Matrizenring mit der Matrizenaddition und dem Hadamard Produkt ist die Einsmatrix das neutrale Element Wichtige Kennzahlen und Potenzen von Einsmatrizen lassen sich explizit berechnen Die Einsmatrix und der Einsvektor durfen nicht mit der Einheitsmatrix und dem Einheitsvektor verwechselt werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Algebraische Eigenschaften 3 2 Rang Determinante Spur 3 3 Eigenwerte 3 4 Produkte 4 Programmierung 5 Literatur 6 Einzelnachweise 7 WeblinksDefinition BearbeitenIst R displaystyle R nbsp ein Ring mit Einselement 1 displaystyle 1 nbsp dann ist die Einsmatrix 1 1 m n R m n displaystyle 1 1 mn in R m times n nbsp definiert als 1 1 m n 1 1 1 1 displaystyle 1 1 mn begin pmatrix 1 amp cdots amp 1 vdots amp ddots amp vdots 1 amp cdots amp 1 end pmatrix nbsp Eine Einsmatrix bestehend aus nur einer Zeile oder Spalte wird auch Einsvektor genannt und mit 1 1 n displaystyle 1 1 n nbsp bezeichnet 1 Wird die Dimension der Einsmatrix aus dem Kontext klar und bestehen keine Verwechslungsmoglichkeiten so werden die Indizes auch weggelassen und nur 1 1 displaystyle 1 1 nbsp geschrieben In Anlehnung an Einheitsmatrizen die haufig mit I displaystyle I nbsp bezeichnet werden werden Einsmatrizen auch durch J displaystyle J nbsp notiert Beispiele BearbeitenIst R displaystyle R nbsp der Korper der reellen Zahlen und bezeichnet 1 displaystyle 1 nbsp die Zahl Eins so sind Beispiele fur Einsvektoren und matrizen 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 22 1 1 1 1 1 1 33 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 24 1 1 1 1 1 1 1 1 displaystyle 1 1 2 begin pmatrix 1 1 end pmatrix 1 1 3 begin pmatrix 1 1 1 end pmatrix 1 1 22 begin pmatrix 1 amp 1 1 amp 1 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1 1 m otimes 1 1 n 1 1 m cdot 1 1 n T nbsp Die Transponierte einer Einsmatrix ist wieder eine Einsmatrix also 1 1 m n T 1 1 n m displaystyle 1 1 mn T 1 1 nm nbsp Die Einsmatrix 1 1 m n displaystyle 1 1 mn nbsp ist zudem das neutrale Element in dem Matrizenring R m n displaystyle R m times n circ nbsp wobei A B displaystyle A B nbsp die Matrizenaddition und A B displaystyle A circ B nbsp das Hadamard Produkt sind Damit gilt fur alle Matrizen A R m n displaystyle A in R m times n nbsp A 1 1 m n 1 1 m n A A displaystyle A circ 1 1 mn 1 1 mn circ A A nbsp Rang Determinante Spur Bearbeiten Ist nun R displaystyle R nbsp ein Korper dann gilt fur den Rang einer Einsmatrix rang 1 1 m n 1 displaystyle operatorname rang 1 1 mn 1 nbsp Die Determinante einer quadratischen Einsmatrix ist dann det 1 1 n n 0 falls n gt 1 1 falls n 1 displaystyle det 1 1 nn begin cases 0 amp text falls n gt 1 1 amp text falls n 1 end cases nbsp Die Spur einer quadratischen Einsmatrix uber den reellen oder komplexen Zahlen ist spur 1 1 n n n displaystyle operatorname spur 1 1 nn n nbsp Eigenwerte Bearbeiten Das charakteristische Polynom einer reellen oder komplexen Einsmatrix 1 n n displaystyle 1 nn nbsp ergibt sich als x l l n 1 l n displaystyle chi lambda lambda n 1 lambda n nbsp Die Eigenwerte sind entsprechend l 1 n displaystyle lambda 1 n nbsp und l 2 l n 0 displaystyle lambda 2 ldots lambda n 0 nbsp Zugehorige Eigenvektoren sind 1 1 T displaystyle 1 ldots 1 T nbsp und 1 1 0 0 T 0 0 1 1 T displaystyle 1 1 0 ldots 0 T ldots 0 ldots 0 1 1 T nbsp Produkte Bearbeiten Fur das Produkt zweier reeller oder komplexer Einsmatrizen passender Grosse gilt 1 1 m n 1 1 n o n 1 1 m o displaystyle 1 1 mn cdot 1 1 no n cdot 1 1 mo nbsp Damit berechnet sich die k displaystyle k nbsp te Potenz einer quadratischen Einsmatrix fur k 1 displaystyle k geq 1 nbsp als 1 1 n n k n k 1 1 1 n n displaystyle 1 1 nn k n k 1 1 1 nn nbsp Daher ist die Matrix 1 n 1 1 n n displaystyle tfrac 1 n 1 1 nn nbsp idempotent das heisst 1 n 1 1 n n 1 n 1 1 n n 1 n 1 1 n n displaystyle tfrac 1 n 1 1 nn cdot tfrac 1 n 1 1 nn tfrac 1 n 1 1 nn nbsp Fur das Matrixexponential der Einsmatrix gilt exp 1 1 n n k 0 1 1 n n k k I n k 1 n k 1 k 1 1 n n I n e n 1 n 1 1 n n displaystyle exp 1 1 nn sum k 0 infty frac 1 1 nn k k I n sum k 1 infty frac n k 1 k cdot 1 1 nn I n frac e n 1 n cdot 1 1 nn nbsp wobei I n displaystyle I n nbsp die Einheitsmatrix der Grosse n displaystyle n nbsp und e displaystyle e nbsp die Eulersche Zahl sind Programmierung BearbeitenIn dem numerischen Softwarepaket MATLAB wird die Einsmatrix durch die Funktion ones m n erzeugt 2 Literatur BearbeitenKarsten Schmidt Gotz Trenkler Einfuhrung in die Moderne Matrix Algebra Springer 2006 ISBN 3 540 33008 9 Einzelnachweise Bearbeiten Schmidt Trenkler Einfuhrung in die Moderne Matrix Algebra S 27 28 Christoph W Uberhuber Stefan Katzenbeisser Dirk Praetorius MATLAB 7 Eine Einfuhrung Springer 2007 S 18 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Unit Matrix In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einsmatrix amp oldid 195565947