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Hadamard Produkt Dieser Artikel behandelt das von Matrizen zum gleich benannten Produkt in der Zahlentheorie siehe Riema

Hadamard-Produkt

Das Hadamard-Produkt, Schur-Produkt, komponentenweises Produkt oder elementweises Produkt ist in der Mathematik ein spezielles Produkt zweier Matrizen gleicher Größe. Die resultierende Matrix ergibt sich dabei durch Multiplikation der jeweils entsprechenden Einträge der beiden Ausgangsmatrizen. Das Hadamard-Produkt ist assoziativ, mit der Matrizenaddition distributiv und kommutativ, falls der zugrunde liegende Ring ebenfalls kommutativ ist.

Beim Hadamard-Produkt weisen alle involvierten Matrizen die gleiche Spalten- und Zeilenzahl auf.

Das Hadamard-Produkt weist einige interessante Eigenschaften auf. So ist beispielsweise das Hadamard-Produkt zweier positiv semidefiniter Matrizen wieder positiv semidefinit. Weiter lassen sich verschiedene Kenngrößen (wie Norm, Rang oder Spektralradius) des Hadamard-Produkts über das Produkt der jeweiligen Kenngrößen der Ausgangsmatrizen abschätzen. Im Vergleich zum komplexeren Matrizenprodukt ist das Hadamard-Produkt allerdings in der Praxis weniger bedeutsam. Es ist nach den Mathematikern Jacques Hadamard und Issai Schur benannt.

Definition Bearbeiten

Bei der Berechnung des Hadamard-Produkts werden die Matrixeinträge komponentenweise miteinander multipliziert.

Ist ein Ring und sind sowie zwei Matrizen über , dann wird das Hadamard-Produkt von und durch

definiert. Das Ergebnis ist damit eine Matrix der gleichen Größe, wobei sich jeder Eintrag durch komponentenweise Multiplikation der Einträge der Matrix mit den Einträgen der Matrix berechnet. Als Operatorsymbol wird für das Hadamard-Produkt gelegentlich auch das Zeichen verwendet.

Beispiel Bearbeiten

Das Hadamard-Produkt der beiden reellen (2 × 2)-Matrizen

ist gegeben durch

Eigenschaften Bearbeiten

Rechengesetze Bearbeiten

Das Hadamard-Produkt erbt im Wesentlichen die Eigenschaften des zugrunde liegenden Rings. Es ist immer assoziativ, das heißt für Matrizen gilt

und es ist verträglich mit der Multiplikation von Skalaren , also

Ist der zugrunde liegende Ring kommutativ, so ist auch das Hadamard-Produkt kommutativ, das heißt

worin es sich von dem normalerweise verwendeten Matrizenprodukt unterscheidet. Mit der komponentenweisen Matrizenaddition gelten auch die Distributivgesetze

Für die transponierte Matrix eines Hadamard-Produkts gilt zudem

Das Hadamard-Produkt zweier symmetrischer Matrizen ist demnach wieder symmetrisch.

Algebraische Strukturen Bearbeiten

Die Menge der Matrizen über einem Ring bildet mit der Matrizenaddition und dem Hadamard-Produkt wieder einen Ring . Ist ein unitärer Ring mit Einselement , dann besitzt auch der Matrizenring ein Einselement, die Einsmatrix , bei der alle Elemente gleich sind. Mit der Einsmatrix gilt dann für alle Matrizen

Ist ein Körper, dann heißt eine Matrix Hadamard-invertierbar, wenn alle Einträge von ungleich dem Nullelement sind. Die Menge der Hadamard-invertierbaren Matrizen bildet dann eine Gruppe , wobei die Einträge der Hadamard-Inversen von durch

gegeben sind. Im Weiteren werden nur Matrizen über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen betrachtet.

Positive Definitheit Bearbeiten

Sind die quadratischen Matrizen positiv semidefinit, so ist auch ihr Hadamard-Produkt positiv semidefinit und für die Eigenwerte von gilt

Wenn positiv definit ist und positiv semidefinit mit positiven Hauptdiagonaleinträgen ist, dann ist auch das Hadamard-Produkt positiv definit. Diese Aussagen gehen auf Issai Schur zurück, der sie 1911 erstmals formulierte.

Diagonalmatrizen Bearbeiten

Ist eine Diagonalmatrix, dann gelten für das Hadamard-Produkt und die Matrixmultiplikation folgende Gleichungen:

Diagonalierbare Matrizen Bearbeiten

Sei eine diagonalisierbare Matrix mit dem Diagonalvektor , den Eigenwerten und der Diagonalisierung , wobei eine Diagonalmatrix und eine reguläre Matrix ist. Dann gilt:

Singulärwertzerlegung Bearbeiten

Sei eine Matrix mit Singulärwertzerlegung und den Singulärwerten . Dann gilt:

Abschätzungen Bearbeiten

Spektralnorm Bearbeiten

Ist die quadratische Matrix positiv definit, dann gilt für die Spektralnorm eines Hadamard-Produkts

Ist das Produkt zweier Matrizen, dann gilt

wobei die maximale euklidische Norm der Spaltenvektoren von ist. Insgesamt erhält man so die Abschätzung:

Diese drei Abschätzungen gehen ebenfalls auf Issai Schur zurück.

Kronecker-Produkt Bearbeiten

Das Kronecker-Produkt liefert als Resultat eine große Matrix, die durch Betrachtung aller möglichen Produkte von Einträgen der beiden Ausgangsmatrizen entsteht. Sind die Matrizen , dann finden sich die Einträge des Hadamard-Produkts genau an den Schnittpunkten der Spalten mit den Zeilen des entsprechenden Kronecker-Produkts. Das Hadamard-Produkt ist somit eine Untermatrix des Kronecker-Produkts. Daher gilt für die Spektralnorm eines Hadamard-Produkts

und für den Rang eines Hadamard-Produkts

Haben zwei Matrizen und nur nichtnegative Einträge, dann gilt dies auch für und . Sind dabei und quadratisch, dann gilt für den Spektralradius (den Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts) eines Hadamard-Produkts

Induzierte Sesquilinearform Bearbeiten

Für Diagonalmatrizen (und nur für diese) stimmen das Hadamard-Produkt und das normale Matrizenprodukt überein:

Sind nun beliebig, zwei (Spalten-)Vektoren und zwei Diagonalmatrizen mit den Einträgen von und auf der Diagonalen, dann gilt

Demnach kann die Sesquilinearform, die durch das Hadamard-Produkt erzeugt wird, als Spur geschrieben werden. Hieraus folgt beispielsweise die Submultiplikativität der Frobeniusnorm bezüglich des Hadamard-Produkts:

Programmierung Bearbeiten

Das Hadamard-Produkt ist in Programmiersystemen auf unterschiedliche Weise integriert:

  • In dem numerischen Softwarepaket Matlab wird das Hadamard-Produkt durch die Symbolkombination .* dargestellt, während * für das Matrizenprodukt steht.
  • In der Programmiersprache Fortran wird das Hadamard-Produkt durch den einfachen Multiplikationsoperator * realisiert, während für die Matrizenmultiplikation eine eigene Routine matmul zur Verfügung steht. Diese Benennungen wurden auch für NumPy in Python übernommen.
  • In der Statistiksoftware R wird das Hadamard-Produkt durch * dargestellt, während die Matrizenmultiplikation durch %*% realisiert wird.

Analog: Elementweise Division Bearbeiten

In derselben Weise kann man auch einen Operator für die komponentenweise bzw. elementweise Division definieren:


, mit

Literatur Bearbeiten

  • Roger A. Horn: The Hadamard Product. In: Charles R. Johnson (Hrsg.): Matrix Theory and Applications (= Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. Band 40). American Mathematical Society, Providence RI 1990, ISBN 0-8218-0154-6, S. 87–170.
  • Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Topics in Matrix Analysis. 1st paperback edition. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1994, ISBN 0-521-46713-6, S. 298–381.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Horn: The Hadamard Product. In: Johnson (Hrsg.): Matrix Theory and Applications. 1990, S. 87–170, hier S. 88.
  2. Christian Voigt, Jürgen Adamy: Formelsammlung der Matrizenrechnung. Oldenbourg, München u. a. 2007, ISBN 978-3-486-58350-2, S. 13.
  3. ↑ Horn: The Hadamard Product. In: Johnson (Hrsg.): Matrix Theory and Applications. 1990, S. 87–170, hier S. 95.
  4. George P. H. Styan, McGill University: Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis
  5. ↑ Elizabeth Million, University of Puget Sound: The Hadamard Product
  6. ↑ Horn: The Hadamard Product. In: Johnson (Hrsg.): Matrix Theory and Applications. 1990, S. 87–170, hier S. 96–100.
  7. ↑ Horn: The Hadamard Product. In: Johnson (Hrsg.): Matrix Theory and Applications. 1990, S. 87–170, hier S. 100–104.
  8. Christoph Überhuber, Stefan Katzenbeisser, Dirk Praetorius: MATLAB 7. Eine Einführung. Springer, Wien u. a. 2005, ISBN 3-211-21137-3, S. 81.
  9. Gordon Wetzstein, Douglas Lanman, Matthew Hirsch, Ramesh Raskar: Supplementary Material: Tensor Displays: Compressive Light Field Synthesis using Multilayer Displays with Directional Backlighting. In: MIT Media Lab.
  10. Boguslaw Cyganek: Object Detection and Recognition in Digital Images: Theory and Practice. John Wiley & Sons, 2013, ISBN 978-1-118-61836-3, S. 109 (google.com).
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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel behandelt das Hadamard Produkt von Matrizen zum gleich benannten Produkt in der Zahlentheorie siehe Riemannsche z Funktion Produktentwicklung Das Hadamard Produkt Schur Produkt komponentenweises Produkt oder elementweises Produkt ist in der Mathematik ein spezielles Produkt zweier Matrizen gleicher Grosse Die resultierende Matrix ergibt sich dabei durch Multiplikation der jeweils entsprechenden Eintrage der beiden Ausgangsmatrizen Das Hadamard Produkt ist assoziativ mit der Matrizenaddition distributiv und kommutativ falls der zugrunde liegende Ring ebenfalls kommutativ ist Beim Hadamard Produkt weisen alle involvierten Matrizen die gleiche Spalten und Zeilenzahl auf Das Hadamard Produkt weist einige interessante Eigenschaften auf So ist beispielsweise das Hadamard Produkt zweier positiv semidefiniter Matrizen wieder positiv semidefinit Weiter lassen sich verschiedene Kenngrossen wie Norm Rang oder Spektralradius des Hadamard Produkts uber das Produkt der jeweiligen Kenngrossen der Ausgangsmatrizen abschatzen Im Vergleich zum komplexeren Matrizenprodukt ist das Hadamard Produkt allerdings in der Praxis weniger bedeutsam Es ist nach den Mathematikern Jacques Hadamard und Issai Schur benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Eigenschaften 3 1 Rechengesetze 3 2 Algebraische Strukturen 3 3 Positive Definitheit 3 4 Diagonalmatrizen 3 5 Diagonalierbare Matrizen 3 6 Singularwertzerlegung 4 Abschatzungen 4 1 Spektralnorm 4 2 Kronecker Produkt 4 3 Induzierte Sesquilinearform 5 Programmierung 6 Analog Elementweise Division 7 Literatur 8 EinzelnachweiseDefinition Bearbeiten nbsp Bei der Berechnung des Hadamard Produkts werden die Matrixeintrage komponentenweise miteinander multipliziert Ist R displaystyle R cdot nbsp ein Ring und sind A a i j R m n displaystyle A a ij in R m times n nbsp sowie B b i j R m n displaystyle B b ij in R m times n nbsp zwei Matrizen uber R displaystyle R nbsp dann wird das Hadamard Produkt von A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp durch A B a i j b i j a 11 b 11 a 1 n b 1 n a m 1 b m 1 a m n b m n R m n displaystyle A circ B a ij cdot b ij begin pmatrix a 11 cdot b 11 amp cdots amp a 1n cdot b 1n vdots amp ddots amp vdots a m1 cdot b m1 amp cdots amp a mn cdot b mn end pmatrix in R m times n nbsp definiert Das Ergebnis ist damit eine Matrix der gleichen Grosse wobei sich jeder Eintrag durch komponentenweise Multiplikation der Eintrage der Matrix A displaystyle A nbsp mit den Eintragen der Matrix B displaystyle B nbsp berechnet 1 Als Operatorsymbol wird fur das Hadamard Produkt gelegentlich auch das Zeichen displaystyle odot nbsp verwendet 2 Beispiel BearbeitenDas Hadamard Produkt der beiden reellen 2 2 Matrizen A 3 2 0 1 displaystyle A begin pmatrix 3 amp 2 0 amp 1 end pmatrix nbsp und B 1 2 3 1 displaystyle B begin pmatrix 1 amp 2 3 amp 1 end pmatrix nbsp ist gegeben durch A B 3 1 2 2 0 3 1 1 3 4 0 1 displaystyle A circ B begin pmatrix 3 cdot 1 amp 2 cdot 2 0 cdot 3 amp 1 cdot 1 end pmatrix begin pmatrix 3 amp 4 0 amp 1 end pmatrix nbsp Eigenschaften BearbeitenRechengesetze Bearbeiten Das Hadamard Produkt erbt im Wesentlichen die Eigenschaften des zugrunde liegenden Rings 1 Es ist immer assoziativ das heisst fur Matrizen A B C R m n displaystyle A B C in R m times n nbsp gilt A B C A B C displaystyle A circ B circ C A circ B circ C nbsp und es ist vertraglich mit der Multiplikation von Skalaren a R displaystyle a in R nbsp also a A B a A B A a B displaystyle a A circ B a A circ B A circ a B nbsp Ist der zugrunde liegende Ring kommutativ so ist auch das Hadamard Produkt kommutativ das heisst A B B A displaystyle A circ B B circ A nbsp worin es sich von dem normalerweise verwendeten Matrizenprodukt unterscheidet Mit der komponentenweisen Matrizenaddition A B displaystyle A B nbsp gelten auch die Distributivgesetze A B C A C B C displaystyle A B circ C A circ C B circ C nbsp und A B C A B A C displaystyle A circ B C A circ B A circ C nbsp Fur die transponierte Matrix eines Hadamard Produkts gilt zudem A B T A T B T displaystyle A circ B T A T circ B T nbsp Das Hadamard Produkt zweier symmetrischer Matrizen ist demnach wieder symmetrisch Algebraische Strukturen Bearbeiten Die Menge der Matrizen uber einem Ring bildet mit der Matrizenaddition und dem Hadamard Produkt wieder einen Ring R m n displaystyle R m times n circ nbsp Ist R displaystyle R nbsp ein unitarer Ring mit Einselement 1 displaystyle 1 nbsp dann besitzt auch der Matrizenring ein Einselement die Einsmatrix J R m n displaystyle J in R m times n nbsp bei der alle Elemente gleich 1 displaystyle 1 nbsp sind Mit der Einsmatrix gilt dann fur alle Matrizen A R m n displaystyle A in R m times n nbsp A J J A A displaystyle A circ J J circ A A nbsp Ist R displaystyle R nbsp ein Korper dann heisst eine Matrix A displaystyle A nbsp Hadamard invertierbar wenn alle Eintrage von A displaystyle A nbsp ungleich dem Nullelement sind 1 Die Menge der Hadamard invertierbaren Matrizen bildet dann eine Gruppe R m n displaystyle R m times n circ nbsp wobei die Eintrage der Hadamard Inversen A a i j displaystyle hat A hat a ij nbsp von A displaystyle A nbsp durch a i j a i j 1 displaystyle hat a ij a ij 1 nbsp gegeben sind Im Weiteren werden nur Matrizen uber dem Korper K displaystyle mathbb K nbsp der reellen oder komplexen Zahlen betrachtet Positive Definitheit Bearbeiten Sind die quadratischen Matrizen A B K n n displaystyle A B in mathbb K n times n nbsp positiv semidefinit so ist auch ihr Hadamard Produkt A B displaystyle A circ B nbsp positiv semidefinit und fur die Eigenwerte von A B displaystyle A circ B nbsp gilt min 1 i n a i i l min B l min A B l max A B max 1 i n a i i l max B displaystyle left min 1 leq i leq n a ii right lambda min B leq lambda min A circ B leq lambda max A circ B leq left max 1 leq i leq n a ii right lambda max B nbsp Wenn B displaystyle B nbsp positiv definit ist und A displaystyle A nbsp positiv semidefinit mit positiven Hauptdiagonaleintragen ist dann ist auch das Hadamard Produkt A B displaystyle A circ B nbsp positiv definit Diese Aussagen gehen auf Issai Schur zuruck der sie 1911 erstmals formulierte 3 Diagonalmatrizen Bearbeiten Ist D K n n displaystyle D in mathbb K n times n nbsp eine Diagonalmatrix dann gelten fur das Hadamard Produkt und die Matrixmultiplikation folgende Gleichungen 4 D A B D A B A D B displaystyle D cdot A circ B D cdot A circ B A circ D cdot B nbsp A B D A D B A B D displaystyle A circ B cdot D A cdot D circ B A circ B cdot D nbsp D A B D D A D B A D B D D A B D A D D B displaystyle D cdot A circ B cdot D D cdot A cdot D circ B A circ D cdot B cdot D D cdot A circ B cdot D A cdot D circ D cdot B nbsp Diagonalierbare Matrizen Bearbeiten Sei A K n n displaystyle A in mathbb K n times n nbsp eine diagonalisierbare Matrix mit dem Diagonalvektor a 11 a 22 a n n T displaystyle a 11 a 22 ldots a nn T nbsp den Eigenwerten l 1 l 2 l n displaystyle lambda 1 lambda 2 ldots lambda n nbsp und der Diagonalisierung A S D S 1 displaystyle A SDS 1 nbsp wobei D displaystyle D nbsp eine Diagonalmatrix und S displaystyle S nbsp eine regulare Matrix ist Dann gilt 5 a 11 a 22 a n n S S 1 T l 1 l 2 l n displaystyle begin pmatrix a 11 a 22 vdots a nn end pmatrix S circ S 1 T begin pmatrix lambda 1 lambda 2 vdots lambda n end pmatrix nbsp Singularwertzerlegung Bearbeiten Sei A K n n displaystyle A in mathbb K n times n nbsp eine Matrix mit Singularwertzerlegung A U S V displaystyle A U Sigma V nbsp und den Singularwerten s 1 s 2 s n displaystyle sigma 1 sigma 2 ldots sigma n nbsp Dann gilt 5 a 11 a 22 a n n U V T s 1 s 2 s n displaystyle begin pmatrix a 11 a 22 vdots a nn end pmatrix U circ V T begin pmatrix sigma 1 sigma 2 vdots sigma n end pmatrix nbsp Abschatzungen BearbeitenSpektralnorm Bearbeiten Ist die quadratische Matrix A K n n displaystyle A in mathbb K n times n nbsp positiv definit dann gilt fur die Spektralnorm eines Hadamard Produkts A B 2 max 1 i n a i i B 2 displaystyle A circ B 2 leq left max 1 leq i leq n a ii right B 2 nbsp Ist A X H Y displaystyle A X H Y nbsp das Produkt zweier Matrizen dann gilt A B 2 c X c Y B 2 displaystyle A circ B 2 leq c X c Y B 2 nbsp wobei c Z displaystyle c Z nbsp die maximale euklidische Norm der Spaltenvektoren von Z displaystyle Z nbsp ist Insgesamt erhalt man so die Abschatzung A B 2 A 2 B 2 displaystyle A circ B 2 leq A 2 cdot B 2 nbsp Diese drei Abschatzungen gehen ebenfalls auf Issai Schur zuruck 3 Kronecker Produkt Bearbeiten Das Kronecker Produkt A B displaystyle A otimes B nbsp liefert als Resultat eine grosse Matrix die durch Betrachtung aller moglichen Produkte von Eintragen der beiden Ausgangsmatrizen entsteht Sind die Matrizen A B K m n displaystyle A B in mathbb K m times n nbsp dann finden sich die Eintrage des Hadamard Produkts A B displaystyle A circ B nbsp genau an den Schnittpunkten der Spalten 1 n 2 2 n 3 n 2 displaystyle 1 n 2 2n 3 ldots n 2 nbsp mit den Zeilen 1 m 2 2 m 3 m 2 displaystyle 1 m 2 2m 3 ldots m 2 nbsp des entsprechenden Kronecker Produkts Das Hadamard Produkt ist somit eine Untermatrix des Kronecker Produkts Daher gilt fur die Spektralnorm eines Hadamard Produkts 6 A B 2 A B 2 A 2 B 2 displaystyle A circ B 2 leq A otimes B 2 A 2 cdot B 2 nbsp und fur den Rang eines Hadamard Produkts 6 rang A B rang A B rang A rang B displaystyle operatorname rang A circ B leq operatorname rang A otimes B operatorname rang A cdot operatorname rang B nbsp Haben zwei Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp nur nichtnegative Eintrage dann gilt dies auch fur A B displaystyle A circ B nbsp und A B displaystyle A otimes B nbsp Sind dabei A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp quadratisch dann gilt fur den Spektralradius den Betrag des betragsmassig grossten Eigenwerts eines Hadamard Produkts 6 r A B r A B r A r B displaystyle rho A circ B leq rho A otimes B rho A cdot rho B nbsp Induzierte Sesquilinearform Bearbeiten Fur Diagonalmatrizen A B K n n displaystyle A B in mathbb K n times n nbsp und nur fur diese stimmen das Hadamard Produkt und das normale Matrizenprodukt uberein A B A B displaystyle A circ B A cdot B nbsp Sind nun A B K n n displaystyle A B in mathbb K n times n nbsp beliebig x y K n displaystyle x y in mathbb K n nbsp zwei Spalten Vektoren und D x D y K n n displaystyle D x D y in mathbb K n times n nbsp zwei Diagonalmatrizen mit den Eintragen von x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp auf der Diagonalen dann gilt 7 x H A B y spur D x H A D y B T displaystyle x H A circ B y operatorname spur D x H cdot A cdot D y cdot B T nbsp Demnach kann die Sesquilinearform die durch das Hadamard Produkt erzeugt wird als Spur geschrieben werden Hieraus folgt beispielsweise die Submultiplikativitat der Frobeniusnorm bezuglich des Hadamard Produkts 7 A B F A F B F displaystyle A circ B F leq A F cdot B F nbsp Programmierung BearbeitenDas Hadamard Produkt ist in Programmiersystemen auf unterschiedliche Weise integriert In dem numerischen Softwarepaket Matlab wird das Hadamard Produkt durch die Symbolkombination dargestellt wahrend fur das Matrizenprodukt steht 8 In der Programmiersprache Fortran wird das Hadamard Produkt durch den einfachen Multiplikationsoperator realisiert wahrend fur die Matrizenmultiplikation eine eigene Routine matmul zur Verfugung steht Diese Benennungen wurden auch fur NumPy in Python ubernommen In der Statistiksoftware R wird das Hadamard Produkt durch dargestellt wahrend die Matrizenmultiplikation durch realisiert wird Analog Elementweise Division BearbeitenIn derselben Weise kann man auch einen Operator fur die komponentenweise bzw elementweise Division definieren 9 10 A B a i j b i j a 11 b 11 a 1 n b 1 n a m 1 b m 1 a m n b m n R m n displaystyle A oslash B a ij b ij begin pmatrix a 11 b 11 amp cdots amp a 1n b 1n vdots amp ddots amp vdots a m1 b m1 amp cdots amp a mn b mn end pmatrix in R m times n nbsp mit b i j 0 displaystyle b ij neq 0 nbsp Literatur BearbeitenRoger A Horn The Hadamard Product In Charles R Johnson Hrsg Matrix Theory and Applications Proceedings of Symposia in Applied Mathematics Band 40 American Mathematical Society Providence RI 1990 ISBN 0 8218 0154 6 S 87 170 Roger A Horn Charles R Johnson Topics in Matrix Analysis 1st paperback edition Cambridge University Press Cambridge u a 1994 ISBN 0 521 46713 6 S 298 381 Einzelnachweise Bearbeiten a b c Horn The Hadamard Product In Johnson Hrsg Matrix Theory and Applications 1990 S 87 170 hier S 88 Christian Voigt Jurgen Adamy Formelsammlung der Matrizenrechnung Oldenbourg Munchen u a 2007 ISBN 978 3 486 58350 2 S 13 a b Horn The Hadamard Product In Johnson Hrsg Matrix Theory and Applications 1990 S 87 170 hier S 95 George P H Styan McGill University Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis a b Elizabeth Million University of Puget Sound The Hadamard Product a b c Horn The Hadamard Product In Johnson Hrsg Matrix Theory and Applications 1990 S 87 170 hier S 96 100 a b Horn The Hadamard Product In Johnson Hrsg Matrix Theory and Applications 1990 S 87 170 hier S 100 104 Christoph Uberhuber Stefan Katzenbeisser Dirk Praetorius MATLAB 7 Eine Einfuhrung Springer Wien u a 2005 ISBN 3 211 21137 3 S 81 Gordon Wetzstein Douglas Lanman Matthew Hirsch Ramesh Raskar Supplementary Material Tensor Displays Compressive Light Field Synthesis using Multilayer Displays with Directional Backlighting In MIT Media Lab Abgerufen im 1 Januar 1 Boguslaw Cyganek Object Detection and Recognition in Digital Images Theory and Practice John Wiley amp Sons 2013 ISBN 978 1 118 61836 3 S 109 google com Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hadamard Produkt amp oldid 233750766