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Ordnungsisomorphismus Ein ist ein Begriff aus der Ordnungstheorie einem Teilbereich der Mathematik Er ermöglicht das ein

Ordnungsisomorphismus

Ein Ordnungsisomorphismus ist ein Begriff aus der Ordnungstheorie, einem Teilbereich der Mathematik. Er ermöglicht das eindeutige Übertragen von Kleiner-gleich-Relationen zwischen Mengen.

Definition Bearbeiten

Sind zwei Halbordnungen und gegeben, so heißt eine Abbildung

ein Ordnungsisomorphismus, wenn eine bijektive isotone Abbildung ist, deren Umkehrabbildung ebenfalls eine isotone Abbildung ist.

Existiert zwischen und ein Ordnungsisomorphismus, so lässt sich die Existenz auch mit ausdrücken und und werden als ordnungsisomorph bezeichnet. Bildet ein Ordnungsisomorphismus eine Menge auf sich selbst ab, so ist er ein Automorphismus und wird auch Ordnungsautomorphismus genannt.

Beispiele Bearbeiten

  • Die identische Abbildung einer jeden Halb- / Totalordnung ist zugleich auch ein Ordnungsautomorphismus.
  • Zwischen beschränkten offenen und beschränkten halboffenen oder abgeschlossenen Intervallen lässt sich kein Ordnungsisomorphismus erklären, denn die letzteren haben kleinste und/oder größte Elemente, die ersteren nicht.
  • Sei eine Funktion, die von in die Menge aller Quadratzahlen abbildet:

    Die Funktion lautet neu:
    Von dieser neuen Funktion existiert auch eine Umkehrfunktion:
    Somit ist bijektiv. Weil bijektiv und isoton ist und weil die Ordnungen und total sind, so ist auch ein Ordnungsisomorphismus.
  • Die identische Abbildung ist eine bijektive antitone Abbildung zwischen und .
  • Die Funktion des additiv inversen Elementes ist eine Involution und damit auch eine Bijektion. ist eine antitone Abbildung von in sich selbst und außerdem eine isotone Abbildung von nach . Des Weiteren ist gar ein Ordnungsisomorphismus, da die Ordnungsrelationen Totalordnungen sind und da bijektiv ist. Dies trifft unter anderem zu für die ganzen Zahlen , die rationalen Zahlen und für die reellen Zahlen zu.
  • Die Komponentenweise-kleiner-oder-gleich-Relation auf beliebigen n-Tupeln bildet für eine echte Halbordnung, die das Totalitätskriterium nicht erfüllt. Die Funktion ist offensichtlich bijektiv, die Umkehrfunktion lautet . Auf ist außerdem sowohl als auch isoton, was und als Ordnungsisomorphismen – genauer gesagt als einen Ordnungsautomorphismen, denn sowohl die Definitions- als auch die Zielmengen sind , – auszeichnet.

Komposition Bearbeiten

Sei ein Ordnungsisomorphismus zwischen und und sei ein Ordnungsisomorphismus zwischen und , so ist auch ein Ordnungsisomorphismus und zwar zwischen und . Durch die Eigenschaft – dass es sich um Ordnungsisomorphismen handelt – ist garantiert, dass die Abbildungen bijektiv sind, womit auch die durch Komposition entstandene Funktion bijektiv sein muss. Durch die Bijektivität wird ebenfalls garantiert, dass das Bild von gleich der Zielmenge von ist.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Es gilt wegen der Bijektivität, dass
  • Sind und Totalordnungen und existiert eine isotone Bijektion , so ist diese automatisch auch ein Ordnungsisomorphismus, bzw. ist auch isoton.
  • Es lässt sich zeigen, dass jede endliche Menge ordnungsisomorph zu der Menge natürlicher Zahlen bis zur Mächtigkeit der Menge ist. Formal:

Literatur Bearbeiten

  • Rudolf Berghammer: Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen. Springer+Vieweg, 2. Auflage 2012. ISBN 978-3658006181
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Ordnungsisomorphismus ist ein Begriff aus der Ordnungstheorie einem Teilbereich der Mathematik Er ermoglicht das eindeutige Ubertragen von Kleiner gleich Relationen zwischen Mengen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Komposition 4 Eigenschaften 5 LiteraturDefinition BearbeitenSind zwei Halbordnungen G G displaystyle G leq G nbsp und H H displaystyle H leq H nbsp gegeben so heisst eine Abbildung ps G H displaystyle psi colon G rightarrow H nbsp ein Ordnungsisomorphismus wenn ps displaystyle psi nbsp eine bijektive isotone Abbildung ist deren Umkehrabbildung ps 1 displaystyle psi 1 nbsp ebenfalls eine isotone Abbildung ist Existiert zwischen G displaystyle G nbsp und H displaystyle H nbsp ein Ordnungsisomorphismus so lasst sich die Existenz auch mit G H displaystyle G cong H nbsp ausdrucken und G displaystyle G nbsp und H displaystyle H nbsp werden als ordnungsisomorph bezeichnet Bildet ein Ordnungsisomorphismus eine Menge auf sich selbst ab so ist er ein Automorphismus und wird auch Ordnungsautomorphismus genannt Beispiele BearbeitenDie identische Abbildung id G G G a a displaystyle operatorname id G colon G rightarrow G a mapsto a nbsp einer jeden Halb Totalordnung ist zugleich auch ein Ordnungsautomorphismus Zwischen beschrankten offenen und beschrankten halboffenen oder abgeschlossenen Intervallen lasst sich kein Ordnungsisomorphismus erklaren denn die letzteren haben kleinste und oder grosste Elemente die ersteren nicht Sei g displaystyle g nbsp eine Funktion die von N displaystyle mathbb N nbsp in die Menge aller Quadratzahlen Q displaystyle Q nbsp abbildet Q n 2 n N N displaystyle Q left n 2 mid n in mathbb N right subset mathbb N nbsp Die Funktion lautet neu g N Q x x 2 displaystyle g colon mathbb N rightarrow Q x mapsto x 2 nbsp Von dieser neuen Funktion g displaystyle g nbsp existiert auch eine Umkehrfunktion g 1 Q N x x displaystyle g 1 colon Q rightarrow mathbb N x mapsto sqrt x nbsp Somit ist g displaystyle g nbsp bijektiv Weil g displaystyle g nbsp bijektiv und isoton ist und weil die Ordnungen N displaystyle mathbb N leq nbsp und Q displaystyle Q leq nbsp total sind so ist g displaystyle g nbsp auch ein Ordnungsisomorphismus Die identische Abbildung id R R R x x displaystyle operatorname id mathbb R colon mathbb R rightarrow mathbb R x mapsto x nbsp ist eine bijektive antitone Abbildung zwischen R displaystyle mathbb R leq nbsp und R displaystyle mathbb R geq nbsp Die Funktion des additiv inversen Elementes f M M x x displaystyle f colon M rightarrow M x mapsto x nbsp ist eine Involution und damit auch eine Bijektion f displaystyle f nbsp ist eine antitone Abbildung von M displaystyle M leq nbsp in sich selbst und ausserdem eine isotone Abbildung von M displaystyle M leq nbsp nach M displaystyle M geq nbsp Des Weiteren ist f displaystyle f nbsp gar ein Ordnungsisomorphismus da die Ordnungsrelationen Totalordnungen sind und da f displaystyle f nbsp bijektiv ist Dies trifft unter anderem zu fur die ganzen Zahlen M Z displaystyle M mathbb Z nbsp die rationalen Zahlen M Q displaystyle M mathbb Q nbsp und fur die reellen Zahlen M R displaystyle M mathbb R nbsp zu Die Komponentenweise kleiner oder gleich Relation auf beliebigen n Tupeln a 1 a n n b 1 b n i 1 n N a i b i displaystyle a 1 cdots a n leq n b 1 cdots b n Longleftrightarrow forall i in 1 n cap mathbb N a i leq b i nbsp bildet fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp eine echte Halbordnung die das Totalitatskriterium nicht erfullt Die Funktion PS R 2 R 2 x y 2 x 2 y displaystyle Psi colon mathbb R 2 rightarrow mathbb R 2 x y mapsto 2x 2y nbsp ist offensichtlich bijektiv die Umkehrfunktion lautet PS 1 R 2 R 2 x y x 2 y 2 displaystyle Psi 1 colon mathbb R 2 rightarrow mathbb R 2 x y mapsto left frac x 2 frac y 2 right nbsp Auf R 2 2 displaystyle mathbb R 2 leq 2 nbsp ist ausserdem sowohl PS displaystyle Psi nbsp als auch PS 1 displaystyle Psi 1 nbsp isoton was PS displaystyle Psi nbsp und PS 1 displaystyle Psi 1 nbsp als Ordnungsisomorphismen genauer gesagt als einen Ordnungsautomorphismen denn sowohl die Definitions als auch die Zielmengen sind R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp auszeichnet Komposition BearbeitenSei f U V displaystyle f colon U rightarrow V nbsp ein Ordnungsisomorphismus zwischen U U displaystyle U leq U nbsp und V V displaystyle V leq V nbsp und sei g V W displaystyle g colon V rightarrow W nbsp ein Ordnungsisomorphismus zwischen V V displaystyle V leq V nbsp und W W displaystyle W leq W nbsp so ist auch f g U W displaystyle f circ g colon U rightarrow W nbsp ein Ordnungsisomorphismus und zwar zwischen U U displaystyle U leq U nbsp und W W displaystyle W leq W nbsp Durch die Eigenschaft dass es sich um Ordnungsisomorphismen handelt ist garantiert dass die Abbildungen bijektiv sind womit auch die durch Komposition entstandene Funktion bijektiv sein muss Durch die Bijektivitat wird ebenfalls garantiert dass das Bild von f displaystyle f nbsp gleich der Zielmenge von f displaystyle f nbsp ist Eigenschaften BearbeitenEs gilt wegen der Bijektivitat dass a G a ps 1 ps a displaystyle forall a in G a psi 1 left psi a right nbsp gilt und ebenso a H a ps ps 1 a displaystyle forall a in H a psi left psi 1 a right nbsp Sind G G displaystyle G leq G nbsp und H G displaystyle H leq G nbsp Totalordnungen und existiert eine isotone Bijektion g G H displaystyle gamma colon G rightarrow H nbsp so ist diese automatisch auch ein Ordnungsisomorphismus bzw g 1 displaystyle gamma 1 nbsp ist auch isoton Es lasst sich zeigen dass jede endliche Menge ordnungsisomorph zu der Menge naturlicher Zahlen bis zur Machtigkeit der Menge ist Formal M M 1 M displaystyle left M leq M right cong left left 1 dots left M right right leq right nbsp Literatur BearbeitenRudolf Berghammer Ordnungen Verbande und Relationen mit Anwendungen Springer Vieweg 2 Auflage 2012 ISBN 978 3658006181 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ordnungsisomorphismus amp oldid 200769503