In der Mathematik genauer der Algebra nennt man eine Aquivalenzrelation auf einer algebraischen Struktur eine Kongruenzrelation wenn die fundamentalen Operationen der algebraischen Struktur mit dieser Aquivalenzrelation vertraglich sind Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Kongruenzrelation und Quotientenalgebra 1 2 Kern eines Homomorphismus 2 Verallgemeinerung 2 1 Quotientenstruktur 3 Spezielle Kongruenzen 3 1 Normalteiler einer Gruppe 3 2 Kongruenz nach einem Modul 4 Beispiele 4 1 Identitatsrelation 4 2 Allrelation 4 3 Ringideale 4 4 Lp Raum 4 5 Kongruenz ganzer Zahlen 5 Weitere Kongruenzbegriffe 6 Literatur 7 Einzelnachweise und AnmerkungenDefinitionen BearbeitenKongruenzrelation und Quotientenalgebra Bearbeiten Eine Aquivalenzrelation auf einer Menge A displaystyle A nbsp hat nicht notwendigerweise etwas mit der Struktur zu tun die darauf definiert ist Speziell in der Algebra sind jedoch solche Aquivalenzrelationen displaystyle equiv nbsp von besonderem Interesse deren surjektive Quotientenabbildung q A A a a displaystyle mathrm q equiv colon A twoheadrightarrow A equiv a mapsto a equiv nbsp mit der algebraischen Struktur A A f i i I displaystyle mathbf A A f i i in I nbsp vertraglich bzw ein Homomorphismus ist Denn dann ist die von q displaystyle mathrm q equiv nbsp induzierte Struktur auf der Quotientenmenge A displaystyle A equiv nbsp die sogenannte Faktor oder Quotientenalgebra A A f i i I displaystyle mathbf A equiv A equiv f i equiv i in I nbsp von A displaystyle mathbf A nbsp nach displaystyle equiv nbsp mit Operationen f i displaystyle f i equiv nbsp f i a 1 a n i f i a 1 a n i displaystyle f i equiv a 1 equiv dotsc a n i equiv f i a 1 dotsc a n i equiv nbsp fur alle a 1 a n i A displaystyle a 1 dotsc a n i in A nbsp und jedes i I displaystyle i in I nbsp von der gleichen Art wie die von A displaystyle A nbsp Man nennt eine solche Aquivalenzrelation displaystyle equiv nbsp eine Kongruenzrelation auf A displaystyle mathbf A nbsp und zwei Elemente a b A displaystyle a b in A nbsp kongruent nach displaystyle equiv nbsp wenn sie bezuglich displaystyle equiv nbsp aquivalent sind a b a b displaystyle a equiv b iff a equiv b equiv nbsp Die Aquivalenzklasse a displaystyle a equiv nbsp von jedem a A displaystyle a in A nbsp heisst dann Kongruenzklasse Eine Aquivalenzrelation displaystyle equiv nbsp auf A displaystyle A nbsp ist genau dann eine Kongruenzrelation auf einer algebraischen Struktur A A f i i I displaystyle mathbf A A f i i in I nbsp wenn alle fundamentalen Operationen f i displaystyle f i nbsp i I displaystyle i in I nbsp vertraglich sind mit displaystyle equiv nbsp d h fur alle a 1 a n i b 1 b n i A displaystyle a 1 dotsc a n i b 1 dotsc b n i in A nbsp n i N displaystyle n i in mathbb N nbsp mit a 1 b 1 a n i b n i displaystyle a 1 equiv b 1 dotsc a n i equiv b n i nbsp gilt f i a 1 a n i f i b 1 b n i displaystyle f i a 1 dotsc a n i equiv f i b 1 dotsc b n i nbsp Kern eines Homomorphismus Bearbeiten Sind A A f i i I displaystyle mathbf A A f i i in I nbsp und B B g i i I displaystyle mathbf B B g i i in I nbsp zwei algebraische Strukturen gleicher Art und ist f A B displaystyle varphi colon mathbf A to mathbf B nbsp ein Homomorphismus dieser Art dann ist der Kern von f displaystyle varphi nbsp ker f f 1 f a b A A f a f b displaystyle ker varphi varphi 1 circ varphi a b in A times A mid varphi a varphi b colon equiv nbsp eine Kongruenzrelation displaystyle equiv nbsp auf A displaystyle mathbf A nbsp und fur alle a A displaystyle a in A nbsp gilt a f 1 f a f 1 f a ker f a displaystyle a equiv varphi 1 varphi a varphi 1 varphi a ker varphi a nbsp f displaystyle varphi nbsp lasst sich wie folgt in einen surjektiven einen bijektiven sowie einen injektiven Homomorphismus zerlegen Homomorphiesatz f i f f q displaystyle varphi mathrm i varphi circ varphi equiv circ mathrm q equiv nbsp mit f A f A a f a displaystyle varphi equiv colon A equiv twoheadrightarrow rightarrowtail varphi A a equiv mapsto varphi a nbsp und der Inklusionsabbildung i f f A B f a f a displaystyle mathrm i varphi colon varphi A rightarrowtail B varphi a mapsto varphi a nbsp Verallgemeinerung BearbeitenQuotientenstruktur Bearbeiten Allgemein spielen diejenigen Aquivalenzrelationen displaystyle equiv nbsp auf einer Menge A displaystyle A nbsp eine wichtige Rolle deren Quotientenabbildung q A A a a displaystyle mathrm q equiv colon A twoheadrightarrow A equiv a mapsto a equiv nbsp mit der Struktur A A R i i I displaystyle mathbf A A R i i in I nbsp auf A displaystyle A nbsp vertraglich bzw ein Homomorphismus ist Die durch q displaystyle mathrm q equiv nbsp gegebene Struktur auf der Quotientenmenge A displaystyle A equiv nbsp die sogenannte Faktor oder Quotientenstruktur A A R i i I displaystyle mathbf A equiv A equiv R i equiv i in I nbsp mit Relationen R i displaystyle R i equiv nbsp a 1 a n i R i a 1 a n i R i displaystyle a 1 equiv dotsc a n i equiv in R i equiv iff a 1 dotsc a n i in R i nbsp fur jedes i I displaystyle i in I nbsp ist dann wieder von der gleichen Art wie die von A displaystyle A nbsp Insbesondere sind dann auch alle zu A displaystyle mathbf A nbsp gehorenden Funktionen mit displaystyle equiv nbsp vertraglich Spezielle Kongruenzen BearbeitenNormalteiler einer Gruppe Bearbeiten Bezeichne nun G G displaystyle mathbf G G nbsp eine Gruppe e displaystyle e nbsp deren neutrales Element und N N displaystyle mathbf N N nbsp eine beliebige normale Untergruppe von G displaystyle mathbf G nbsp Fur jedes a G displaystyle a in G nbsp sei a N a n n N displaystyle aN a n mid n in N nbsp die zugehorige Nebenklasse des Normalteilers N displaystyle N nbsp 1 Mit G N a N a G displaystyle G N aN mid a in G nbsp und dem Komplexprodukt displaystyle cdot nbsp bildet dann G N G N displaystyle mathbf G N G N cdot nbsp eine Gruppe mit dem neutralen Element N e N displaystyle N eN nbsp die Faktorgruppe von G displaystyle mathbf G nbsp nach N displaystyle N nbsp Weil aber f N G G N a a N displaystyle varphi N colon mathbf G to mathbf G N a mapsto aN nbsp ein Gruppenhomomorphismus ist ist N ker f N displaystyle equiv N ker varphi N nbsp eine Kongruenzrelation auf G displaystyle mathbf G nbsp und fur alle a b G displaystyle a b in G nbsp gilt a N b f N a f N b a N b N displaystyle a equiv N b iff varphi N a varphi N b iff aN bN nbsp Umgekehrt liefert jede beliebige Kongruenzrelation displaystyle equiv nbsp auf G displaystyle mathbf G nbsp genau einen Normalteiler e displaystyle e equiv nbsp in G displaystyle mathbf G nbsp Bei einer Gruppe entsprechen also die Normalteiler genau den Kongruenzrelationen Daher wird fur einen beliebigen Gruppenhomomorphismus f G H displaystyle varphi colon mathbf G to mathbf H nbsp auch der Normalteiler e ker f e displaystyle e equiv ker varphi e nbsp als der Kern von f displaystyle varphi nbsp bezeichnet Kongruenz nach einem Modul Bearbeiten Eine additive abelsche Gruppe G G displaystyle mathbf G G nbsp nennt man einen Modul von lat modulus Mass Da jede Untergruppe M M displaystyle mathbf M M nbsp von G displaystyle mathbf G nbsp ein Modul und zudem normal ist entsprechen die Tragermengen der Untergruppen 1 genau den Kongruenzrelationen auf einem Modul Dies gilt ebenso fur die Tragermengen der Untermoduln eines Moduls uber einem Ring und insbesondere auch fur die Untervektorraume eines Vektorraumes Man bezeichnet fur alle a G displaystyle a in G nbsp die Nebenklasse a M a m m M displaystyle a M a m mid m in M nbsp als Restklasse nach M displaystyle M nbsp oder Restklasse modulo M displaystyle M nbsp von lat modulō Ablativ zu modulus und die Faktorgruppe G M G M displaystyle mathbf G M G M nbsp heisst Restklassenmodul von G displaystyle mathbf G nbsp nach M displaystyle M nbsp Wenn zwei Elemente a b G displaystyle a b in G nbsp kongruent nach M displaystyle equiv M nbsp sind dann nennt man sie auch kongruent nach dem Modul M displaystyle M nbsp 1 oder kongruent modulo M displaystyle M nbsp und schreibt dies a b mod M displaystyle a equiv b pmod M quad nbsp oder a b mod M displaystyle quad a equiv b mod M quad nbsp oder kurz a b M displaystyle quad a equiv b M nbsp Es gilt a b mod M b a M displaystyle a equiv b mod M iff b a in M nbsp Ist M displaystyle M nbsp einfach erzeugt in G displaystyle G nbsp also M m z m z Z displaystyle M langle m rangle zeta m mid zeta in mathbb Z nbsp fur ein m G displaystyle m in G nbsp dann sagt man auch dass a b displaystyle a b nbsp kongruent modulo m displaystyle m nbsp sind und notiert a b mod m displaystyle a equiv b mod m nbsp Beispiele BearbeitenIdentitatsrelation Bearbeiten Fur jede algebraische Struktur A A f i i I displaystyle mathbf A A f i i in I nbsp ist die durch den Graphen der identischen Abbildung id A displaystyle operatorname id A nbsp auf A displaystyle A nbsp gegebene Aquivalenzrelation die Gleichheits oder Identitatsrelation I A a b A A a b a a a A displaystyle mathrm I A a b in A times A mid a b a a mid a in A nbsp eine Kongruenzrelation auf A displaystyle mathbf A nbsp Allrelation Bearbeiten Auf A A f i i I displaystyle mathbf A A f i i in I nbsp seien nun jeweils zwei beliebige Elemente aquivalent Dadurch ist eine Aquivalenzrelation gegeben die sogenannte All oder Universalrelation U A A A a b a b A displaystyle mathrm U A A times A a b mid a b in A nbsp auch sie ist eine Kongruenzrelation auf A displaystyle mathbf A nbsp Ringideale Bearbeiten Jeder Ring R R displaystyle mathbf R R cdot nbsp ist ein Modul R displaystyle R nbsp uber sich selbst und die Tragermengen der zugehorigen Untermoduln sind genau die Ideale des Ringes daher entsprechen die Ringideale genau den Kongruenzrelationen auf R displaystyle mathbf R nbsp Lp Raum Bearbeiten Im Vektorraum L p displaystyle mathcal L p nbsp der p displaystyle p nbsp fach integrierbaren Funktionen 0 lt p displaystyle 0 lt p leq infty nbsp ist U 0 f L p f x 0 displaystyle mathcal U 0 f in mathcal L p mid f x 0 nbsp fast uberall displaystyle nbsp Tragermenge eines Unterraums von L p displaystyle mathcal L p nbsp Den Quotientenvektorraum L p L p U 0 displaystyle L p mathcal L p mathcal U 0 nbsp bezeichnet man als L p displaystyle L p nbsp Raum Kongruenz ganzer Zahlen Bearbeiten Kongruenz nannte man ursprunglich jede auf dem Hauptidealring der ganzen Zahlen Z displaystyle mathbb Z cdot nbsp definierte Kongruenz zweier ganzer Zahlen a b displaystyle alpha beta nbsp modulo einer weiteren ganzen Zahl m displaystyle mu nbsp a b mod m a b m Z m z m z Z displaystyle alpha equiv beta mod mu iff alpha beta in mu mathbb Z mu zeta mu mid zeta in mathbb Z nbsp a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp sind genau dann kongruent modulo m displaystyle mu nbsp wenn sie denselben Rest bei Division durch m displaystyle mu nbsp haben Weitere Kongruenzbegriffe BearbeitenKongruente Zahl Kongruenz Geometrie Literatur BearbeitenStanley Burris H P Sankappanavar A Course in Universal Algebra Millennium Edition 2012 Update ISBN 978 0 9880552 0 9 math uwaterloo ca PDF 4 4 MB Udo Hebisch Hanns Joachim Weinert Halbringe Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik Teubner Stuttgart 1993 ISBN 3 519 02091 2 Thomas Ihringer Allgemeine Algebra Mit einem Anhang uber Universelle Coalgebra von H P Gumm Berliner Studienreihe zur Mathematik Band 10 Heldermann Lemgo 2003 ISBN 3 88538 110 9 Fritz Reinhardt Heinrich Soeder dtv Atlas zur Mathematik Tafeln und Texte Bande 1 und 2 9 und 8 Auflage Deutscher Taschenbuch Verlag Munchen 1991 und 1992 ISBN 3 423 03007 0 und ISBN 3 423 03008 9 B L van der Waerden Algebra Unter Benutzung von Vorlesungen von E Artin und E Noether Band I Heidelberger Taschenbucher Band 12 9 Auflage Springer Berlin Heidelberg 1993 ISBN 978 3 642 85528 3 doi 10 1007 978 3 642 85527 6 Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten a b c Zwischen einer Gruppe G G displaystyle mathbf G G nbsp und ihrer Tragermenge G displaystyle G nbsp wird in der Literatur meist nicht klar unterschieden Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kongruenzrelation amp oldid 215990781
