Korrespondenzsatz Gruppentheorie Der Korrespondenzsatz beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie den Sa

Korrespondenzsatz (Gruppentheorie)

Der Korrespondenzsatz beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie den Sachverhalt, dass die Untergruppen in einer Faktorgruppe genau denjenigen Untergruppen der Ausgangsgruppe entsprechen, die den Normalteiler umfassen. Die Bezeichnung Korrespondenzsatz wird, wenn auch seltener, für ähnliche Beziehungen zwischen Unterstrukturen anderer algebraischer Strukturen verwendet.

Korrespondenzsatz in der Gruppentheorie Bearbeiten

Es sei ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern . Dann ist die Zuordnung

eine Bijektion zwischen der Menge aller umfassenden Untergruppen von auf die Menge aller Untergruppen von .

ist die Umkehrabbildung. Die Untergruppen von korrespondieren also eineindeutig zu den Untergruppen von , die enthalten. Dabei werden in beiden Richtungen Normalteiler auf Normalteiler abgebildet.

Spezialisiert man diese Aussage auf , so erhält man, dass die Untergruppen (bzw. Normalteiler) von genau diejenigen der Form sind mit einer Untergruppe (bzw. einem Normalteiler) .

Diese Zuordnung ist monoton, das heißt für Untergruppen gilt genau dann, wenn .

Folgerung: Ein Normalteiler ist genau maximal unter allen Normalteilern von , wenn einfach ist.

Korrespondenzsatz in der Ringtheorie Bearbeiten

Es seien ein Ring mit Einselement und ein zweiseitiges Ideal. Dann ist die Zuordnung

eine Bijektion von der Menge aller umfassenden Linksideale auf die Menge der Linksideale in . Diese Zuordnung is monoton, das heißt für Linksideale gilt genau dann, wenn

Korrespondenzsatz für Moduln Bearbeiten

Es seien ein Links-R-Modul und ein Untermodul. Dann ist die Zuordnung

eine Bijektion von der Menge aller umfassenden Untermoduln auf die Menge aller Untermoduln von . Diese Zuordnung ist monoton, das heißt für Untermoduln gilt genau dann, wenn .

Einzelnachweise Bearbeiten

Christian Karpfinger: Algebra, Gruppen - Ringe - Körper, Spektrum der Wissenschaft (2013), ISBN 978-3-8274-3011-3, Satz 4.13 (Korrespondenzsatz)
D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Kapitel 1.4, Seite 20, Subgroups of the Image
Christian Karpfinger: Algebra, Gruppen - Ringe - Körper, Spektrum der Wissenschaft (2013), ISBN 978-3-8274-3011-3, Lemma 11.2
Joseph J. Rotman: An Introduction to Homological Algebra, Academic Press Inc. (1979), ISBN 978-0-12-599250-3, Satz 2.15 (Correspondence Theorem for Rings)
Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra, Gabler-Verlag (2013), ISBN 978-3-658-02220-4, Kapitel II.2.4, Korrespondenzsatz für Ideale
Christian Karpfinger: Algebra, Gruppen - Ringe - Körper, Spektrum der Wissenschaft (2013), ISBN 978-3-8274-3011-3, Satz 15.14 (Korrespondenzsatz)
Joseph J. Rotman: An Introduction to Homological Algebra, Academic Press Inc. (1979), ISBN 978-0-12-599250-3, Satz 2.14 (Correspondence Theorem)

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 11:47 am

Der Korrespondenzsatz beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie den Sachverhalt dass die Untergruppen in einer Faktorgruppe G N displaystyle G N genau denjenigen Untergruppen der Ausgangsgruppe entsprechen die den Normalteiler N displaystyle N umfassen Die Bezeichnung Korrespondenzsatz wird wenn auch seltener fur ahnliche Beziehungen zwischen Unterstrukturen anderer algebraischer Strukturen verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Korrespondenzsatz in der Gruppentheorie 2 Korrespondenzsatz in der Ringtheorie 3 Korrespondenzsatz fur Moduln 4 EinzelnachweiseKorrespondenzsatz in der Gruppentheorie BearbeitenEs sei f G H displaystyle varphi G rightarrow H nbsp ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern N displaystyle N nbsp Dann ist die Zuordnung U f U displaystyle U mapsto varphi U nbsp eine Bijektion zwischen der Menge aller N displaystyle N nbsp umfassenden Untergruppen U displaystyle U nbsp von G displaystyle G nbsp auf die Menge aller Untergruppen von H displaystyle H nbsp V f 1 V displaystyle V mapsto varphi 1 V nbsp ist die Umkehrabbildung 1 Die Untergruppen von H displaystyle H nbsp korrespondieren also eineindeutig zu den Untergruppen von G displaystyle G nbsp die N displaystyle N nbsp enthalten Dabei werden in beiden Richtungen Normalteiler auf Normalteiler abgebildet Spezialisiert man diese Aussage auf G N H displaystyle G N cong H nbsp so erhalt man dass die Untergruppen bzw Normalteiler von G N displaystyle G N nbsp genau diejenigen der Form U N displaystyle U N nbsp sind mit einer Untergruppe bzw einem Normalteiler N U G displaystyle N subset U subset G nbsp 2 Diese Zuordnung ist monoton das heisst fur Untergruppen N U 1 U 2 G displaystyle N subset U 1 U 2 subset G nbsp gilt U 1 U 2 displaystyle U 1 subset U 2 nbsp genau dann wenn U 1 N U 2 N displaystyle U 1 N subset U 2 N nbsp Folgerung Ein Normalteiler N displaystyle N nbsp ist genau maximal unter allen Normalteilern von G displaystyle G nbsp wenn G N displaystyle G N nbsp einfach ist 3 Korrespondenzsatz in der Ringtheorie BearbeitenEs seien R displaystyle R nbsp ein Ring mit Einselement und a R displaystyle mathfrak a subset R nbsp ein zweiseitiges Ideal Dann ist die Zuordnung b b a displaystyle mathfrak b mapsto mathfrak b mathfrak a nbsp eine Bijektion von der Menge aller a displaystyle mathfrak a nbsp umfassenden Linksideale auf die Menge der Linksideale in R a displaystyle R mathfrak a nbsp Diese Zuordnung is monoton das heisst fur Linksideale a b b R displaystyle mathfrak a subset mathfrak b mathfrak b subset R nbsp gilt b b displaystyle mathfrak b subset mathfrak b nbsp genau dann wenn b a b a displaystyle mathfrak b mathfrak a subset mathfrak b mathfrak a nbsp 4 5 6 Korrespondenzsatz fur Moduln BearbeitenEs seien M displaystyle M nbsp ein Links R Modul und T M displaystyle T subset M nbsp ein Untermodul Dann ist die Zuordnung S S T displaystyle S mapsto S T nbsp eine Bijektion von der Menge aller T displaystyle T nbsp umfassenden Untermoduln S M displaystyle S subset M nbsp auf die Menge aller Untermoduln von M T displaystyle M T nbsp Diese Zuordnung ist monoton das heisst fur Untermoduln T S S M displaystyle T subset S S subset M nbsp gilt S S displaystyle S subset S nbsp genau dann wenn S T S T displaystyle S T subset S T nbsp 7 Einzelnachweise Bearbeiten Christian Karpfinger Algebra Gruppen Ringe Korper Spektrum der Wissenschaft 2013 ISBN 978 3 8274 3011 3 Satz 4 13 Korrespondenzsatz D J S Robinson A Course in the Theory of Groups Springer Verlag 1996 ISBN 0 387 94461 3 Kapitel 1 4 Seite 20 Subgroups of the Image Christian Karpfinger Algebra Gruppen Ringe Korper Spektrum der Wissenschaft 2013 ISBN 978 3 8274 3011 3 Lemma 11 2 Joseph J Rotman An Introduction to Homological Algebra Academic Press Inc 1979 ISBN 978 0 12 599250 3 Satz 2 15 Correspondence Theorem for Rings Gerd Fischer Lehrbuch der Algebra Gabler Verlag 2013 ISBN 978 3 658 02220 4 Kapitel II 2 4 Korrespondenzsatz fur Ideale Christian Karpfinger Algebra Gruppen Ringe Korper Spektrum der Wissenschaft 2013 ISBN 978 3 8274 3011 3 Satz 15 14 Korrespondenzsatz Joseph J Rotman An Introduction to Homological Algebra Academic Press Inc 1979 ISBN 978 0 12 599250 3 Satz 2 14 Correspondence Theorem Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Korrespondenzsatz Gruppentheorie amp oldid 219580782