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Reguläre Funktion In der algebraischen Geometrie ist eine reguläre Funktion eine Funktion von einer Varietät in ihren Kö

Reguläre Funktion

In der algebraischen Geometrie ist eine reguläre Funktion eine Funktion von einer Varietät in ihren Körper. Der Ring der regulären Funktionen kann auf jeder offenen Menge der Varietät definiert werden. Diese Ringe bilden eine Garbe. Der Ring der Funktionen, die auf der ganzen Varietät regulär sind, nennt man den Koordinatenring. Reguläre Funktionen werden unter anderem gebraucht, um Morphismen von Varietäten zu definieren. Reguläre Funktionen sind nicht zu verwechseln mit regulären Abbildungen, womit manchmal in der Literatur auch Morphismen von Varietäten bezeichnet werden.

Daneben gibt es den Begriff reguläre Funktion auch in der Funktionentheorie, wo er holomorphe Funktionen bezeichnet, die nicht singulär sind.

Reguläre Funktionen Bearbeiten

Ist (oder ) eine quasi-affine (oder quasi-projektive) Varietät, so ist eine Funktion regulär in einem Punkt , wenn es eine (bezüglich der Zariski-Topologie) offene Umgebung von und (homogene) Polynome ( vom selben Grad) gibt, sodass keine Nullstellen auf hat und auf durch gegeben ist, d. h. .

Bemerke, dass im projektiven Fall eine wohldefinierte Funktion ist, da und homogen und vom gleichen Grad sind.

Ist eine quasi-affine (oder quasi-projektive) Varietät, so ist eine Funktion regulär, wenn sie auf jedem Punkt in regulär ist.

Wird der Körper mit dem affinen Raum identifiziert, so ist eine reguläre Funktion stetig in der Zariski-Topologie.

Eine wichtige Folgerung daraus ergibt sich für irreduzible Varietäten: Sind und reguläre Funktionen auf und gibt es eine nichtleere, offene Menge , auf der und übereinstimmen, so stimmen und auf überein. Denn die Menge aller Punkte, auf der ist, ist nicht leer, abgeschlossen und dicht.

Die Garbe der regulären Funktionen und der Koordinatenring Bearbeiten

Für jede offene Menge bildet die Menge der regulären Funktionen auf einen Ring, der mit bezeichnet wird. Diese Ringe bilden eine Prägarbe. Da die regulären Funktionen durch lokale Eigenschaften definiert sind, bilden sie sogar eine Garbe. Diese Garbe steht in enger Beziehung zu dem affinen Schema der Varietät. Den Ring der Funktionen, die auf der gesamten Varietät regulär sind, nennt man Koordinatenring . Er ist isomorph zu . Dabei ist das Verschwindeideal von , also das Ideal der Polynome, die in jedem Punkt von Null sind.

Der Koordinatenring ist ein Integritätsbereich und eine endlich erzeugte -Algebra.

Der lokale Ring eines Punktes Bearbeiten

Der lokale Ring eines Punktes ist der Ring der Keime von regulären Funktionen. Dieser Ring wird mit oder nur bezeichnet. Dieser Ring besteht also aus Äquivalenzklassen von mit , wobei äquivalent zu ist, wenn und auf übereinstimmen. Dieser Ring ist ein lokaler Ring, sein maximales Ideal besteht aus den Keimen, die in verschwinden.

Literatur Bearbeiten

  • Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2000, ISBN 3-528-03156-5.
  • Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9
  • Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6
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In der algebraischen Geometrie ist eine regulare Funktion eine Funktion von einer Varietat in ihren Korper Der Ring der regularen Funktionen kann auf jeder offenen Menge der Varietat definiert werden Diese Ringe bilden eine Garbe Der Ring der Funktionen die auf der ganzen Varietat regular sind nennt man den Koordinatenring Regulare Funktionen werden unter anderem gebraucht um Morphismen von Varietaten zu definieren Regulare Funktionen sind nicht zu verwechseln mit regularen Abbildungen womit manchmal in der Literatur auch Morphismen von Varietaten bezeichnet werden Daneben gibt es den Begriff regulare Funktion auch in der Funktionentheorie wo er holomorphe Funktionen bezeichnet die nicht singular sind Inhaltsverzeichnis 1 Regulare Funktionen 2 Die Garbe der regularen Funktionen und der Koordinatenring 3 Der lokale Ring eines Punktes 4 LiteraturRegulare Funktionen BearbeitenIst Y A k n displaystyle Y subset mathbb A k n nbsp oder Y P k n displaystyle Y subset mathbb P k n nbsp eine quasi affine oder quasi projektive Varietat so ist eine Funktion f Y k displaystyle f colon Y to k nbsp regular in einem Punkt P Y displaystyle P in Y nbsp wenn es eine bezuglich der Zariski Topologie offene Umgebung U displaystyle U nbsp von P U displaystyle P in U nbsp und homogene Polynome g h k x 1 x n displaystyle g h in k x 1 ldots x n nbsp g h k x 0 x n displaystyle g h in k x 0 ldots x n nbsp vom selben Grad gibt sodass h displaystyle h nbsp keine Nullstellen auf U displaystyle U nbsp hat und f displaystyle f nbsp auf U displaystyle U nbsp durch g h displaystyle tfrac g h nbsp gegeben ist d h f U g h displaystyle f U tfrac g h nbsp Bemerke dass im projektiven Fall g h displaystyle tfrac g h nbsp eine wohldefinierte Funktion ist da g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp homogen und vom gleichen Grad sind Ist Y displaystyle Y nbsp eine quasi affine oder quasi projektive Varietat so ist eine Funktion f Y k displaystyle f colon Y to k nbsp regular wenn sie auf jedem Punkt in Y displaystyle Y nbsp regular ist Wird der Korper k displaystyle k nbsp mit dem affinen Raum A k 1 displaystyle mathbb A k 1 nbsp identifiziert so ist eine regulare Funktion stetig in der Zariski Topologie Eine wichtige Folgerung daraus ergibt sich fur irreduzible Varietaten Sind f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp regulare Funktionen auf Y displaystyle Y nbsp und gibt es eine nichtleere offene Menge U Y displaystyle U subset Y nbsp auf der f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp ubereinstimmen so stimmen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp auf Y displaystyle Y nbsp uberein Denn die Menge aller Punkte auf der f g 0 displaystyle f g 0 nbsp ist ist nicht leer abgeschlossen und dicht Die Garbe der regularen Funktionen und der Koordinatenring BearbeitenFur jede offene Menge U Y A k n displaystyle U subset Y subset mathbb A k n nbsp bildet die Menge der regularen Funktionen auf U displaystyle U nbsp einen Ring der mit O U displaystyle mathcal O U nbsp bezeichnet wird Diese Ringe bilden eine Pragarbe Da die regularen Funktionen durch lokale Eigenschaften definiert sind bilden sie sogar eine Garbe Diese Garbe steht in enger Beziehung zu dem affinen Schema der Varietat Den Ring der Funktionen die auf der gesamten Varietat regular sind nennt man Koordinatenring A Y displaystyle A Y nbsp Er ist isomorph zu k X 1 X n I Y displaystyle k X 1 ldots X n I Y nbsp Dabei ist I Y displaystyle I Y nbsp das Verschwindeideal von Y displaystyle Y nbsp also das Ideal der Polynome die in jedem Punkt von Y displaystyle Y nbsp Null sind Der Koordinatenring A Y displaystyle A Y nbsp ist ein Integritatsbereich und eine endlich erzeugte k displaystyle k nbsp Algebra Der lokale Ring eines Punktes BearbeitenDer lokale Ring eines Punktes ist der Ring der Keime von regularen Funktionen Dieser Ring wird mit O P Y displaystyle mathcal O P Y nbsp oder nur O P displaystyle mathcal O P nbsp bezeichnet Dieser Ring besteht also aus Aquivalenzklassen von U f displaystyle langle U f rangle nbsp mit P U displaystyle P in U nbsp wobei U f displaystyle langle U f rangle nbsp aquivalent zu V g displaystyle langle V g rangle nbsp ist wenn f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp auf U V displaystyle U cap V nbsp ubereinstimmen Dieser Ring ist ein lokaler Ring sein maximales Ideal besteht aus den Keimen die in P displaystyle P nbsp verschwinden Literatur BearbeitenKlaus Hulek Elementare Algebraische Geometrie Vieweg Braunschweig Wiesbaden 2000 ISBN 3 528 03156 5 Robin Hartshorne Algebraic Geometry Springer Verlag New York Berlin Heidelberg 1977 ISBN 3 540 90244 9 Ernst Kunz Einfuhrung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie Vieweg 1980 ISBN 3 528 07246 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Regulare Funktion amp oldid 219499976