Formale Ableitung Die formale Ableitung ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra Durch sie wird der

Formale Ableitung

Die formale Ableitung ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Durch sie wird der Ableitungsbegriff aus der Analysis für Funktionen auf Polynome übertragen.

Da über einem Ring keine Zahl "zwischen" zwei Zahlen existiert, es also keinen Grenzwertbegriff gibt, kann der Differenzenquotient nicht sinnvoll definiert werden und somit existiert keine Ableitung im eigentlichen Sinne. Um das Konzept der Ableitung trotzdem nutzen zu können, wird diese für Polynome formal so definiert, dass die Faktorregel und die Potenzregel erfüllt sind.

Definition Bearbeiten

Sei ein Ring und bezeichne den Polynomring über in einer Unbestimmten . Für ein Polynom

ist die formale Ableitung definiert als

Eigenschaften Bearbeiten

Für die formale Ableitung gelten die bekannten Rechenregeln der Differentialrechnung. Insbesondere gilt

für alle

und alle

. Das heißt, die Abbildung

ist eine Derivation von

Liegt in Linearfaktoren vor, das heißt , wobei die Nullstellen von sind, so gilt für die Ableitung

Anwendung Bearbeiten

Ist ein Körper, so ist ein euklidischer Ring (insbesondere faktoriell), wobei als euklidische Norm dient, wenn die Koeffizienten von bezeichnet. Die Nullstellen des ggT von und sind gerade die Mehrfachnullstellen von mit einer um 1 erniedrigten Ordnung, wie folgende Rechnung zeigt:

Sei eine Mehrfachnullstelle von , dann gilt mit einem Polynom und einem . Es folgt , also .

Literatur Bearbeiten

Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, S. 275 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 253 ff

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 20:08 pm

Die formale Ableitung ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra Durch sie wird der Ableitungsbegriff aus der Analysis fur Funktionen auf Polynome ubertragen Da uber einem Ring keine Zahl zwischen zwei Zahlen existiert es also keinen Grenzwertbegriff gibt kann der Differenzenquotient nicht sinnvoll definiert werden und somit existiert keine Ableitung im eigentlichen Sinne Um das Konzept der Ableitung trotzdem nutzen zu konnen wird diese fur Polynome formal so definiert dass die Faktorregel und die Potenzregel erfullt sind Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Anwendung 4 LiteraturDefinition BearbeitenSei R displaystyle R nbsp ein Ring und R X displaystyle R X nbsp bezeichne den Polynomring uber R displaystyle R nbsp in einer Unbestimmten X displaystyle X nbsp Fur ein Polynom f i 0 n a i X i R X displaystyle f sum i 0 n a i X i in R X nbsp ist die formale Ableitung f R X displaystyle f in R X nbsp definiert als f i 1 n i a i X i 1 displaystyle f sum i 1 n ia i X i 1 nbsp Eigenschaften BearbeitenFur die formale Ableitung gelten die bekannten Rechenregeln der Differentialrechnung Insbesondere gilt a f b g a f b g displaystyle af bg af bg nbsp sowie f g f g f g displaystyle fg f g fg nbsp dd fur alle f g R X displaystyle f g in R X nbsp und alle a b R displaystyle a b in R nbsp Das heisst die AbbildungD R X R X f f displaystyle D colon R X to R X quad f mapsto f nbsp dd ist eine Derivation von R X displaystyle R X nbsp Liegt f displaystyle f nbsp in Linearfaktoren vor das heisst f i 1 n X r i displaystyle textstyle f prod i 1 n X r i nbsp wobei r i R displaystyle r i in R nbsp die Nullstellen von f displaystyle f nbsp sind so gilt fur die Ableitungf i 1 n j 1 j i n X r j displaystyle f sum i 1 n prod j 1 atop j neq i n X r j nbsp dd Anwendung BearbeitenIst K displaystyle K nbsp ein Korper so ist K X displaystyle K X nbsp ein euklidischer Ring insbesondere faktoriell wobei deg f max i a i 0 displaystyle deg f max i a i neq 0 nbsp als euklidische Norm dient wenn a i displaystyle a i nbsp die Koeffizienten von f displaystyle f nbsp bezeichnet Die Nullstellen des ggT von f displaystyle f nbsp und f displaystyle f nbsp sind gerade die Mehrfachnullstellen von f displaystyle f nbsp mit einer um 1 erniedrigten Ordnung wie folgende Rechnung zeigt Sei r K displaystyle r in K nbsp eine Mehrfachnullstelle von f K X displaystyle f in K X nbsp dann gilt f X r X r m g displaystyle f X r X r m g nbsp mit einem Polynom g K X 0 displaystyle g in K X setminus 0 nbsp und einem m 1 displaystyle m geq 1 nbsp Es folgt f X r m g X r X r m g displaystyle f X r m g X r X r m g nbsp also f r 0 displaystyle f r 0 nbsp Literatur BearbeitenGerd Fischer Lehrbuch der Algebra Vieweg Wiesbaden 2008 ISBN 978 3 8348 0226 2 S 275 ff eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Christian Karpfinger Kurt Meyberg Algebra Gruppen Ringe Korper Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009 ISBN 978 3 8274 2018 3 S 253 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Formale Ableitung amp oldid 232314234