Als Substitution bezeichnet man in der Logik allgemein die Ersetzung eines Ausdrucks durch einen anderen.
Genauer müssen hier vier verschiedene Ausdrücke voneinander unterschieden werden:
- das Substituendum (lat.: „das zu Ersetzende“): der Ausdruck, der ersetzt wird
- das Substituens (lat.: „das Ersetzende“): der Ausdruck, der ersetzt
- die Substitutions-Basis: der Ausdruck, in dem ersetzt wird
- das Substitutionsresultat: das Ergebnis der Ersetzung.
Beispiel:
Ersetzen wir in dem Ausdruck
(lies: „wenn , dann und “) den Ausdruck durch
(lies: „ oder “), so erhalten wir:
Dabei ist Substituendum, Substituens, Substitutionsbasis und Substitutionsresultat.
Man unterscheidet zwischen universeller und einfacher Substitution, außerdem ist in der Quantorenlogik auch der Begriff „frei zur Substitution“ von Bedeutung.
Universelle und einfache Substitution Bearbeiten
Bei der universellen Substitution müssen alle Vorkommnisse des Substituendums ersetzt werden, bei der einfachen Substitution brauchen nicht alle Vorkommnisse ersetzt zu werden. Der Unterschied zwischen den beiden Substitutions-Arten wird also erst relevant, wenn es mindestens zwei Vorkommnisse des Substituendums in der Substitutions-Basis gibt. Bei der universellen Substitution kommt das Substituendum im Substitutions-Resultat nicht mehr vor, bei der einfachen Substitution kann es immer noch vorkommen.
Beispiel:
Ersetzen wir in dem Ausdruck
den Ausdruck durch
so erhalten wir bei universeller Substitution:
Bei einfacher Substitution könnten wir auch folgendes erhalten:
Universelle und einfache Substitution spielen in unterschiedlichen Gesetzen eine Rolle:
Gesetz der universellen Substitution Bearbeiten
Ist eine Aussage ein Theorem und ist das Resultat der universellen Substitution von durch , so ist wiederum ein Theorem. Wichtig ist hier, dass universell substituiert wird; bei bloß einfacher Substitution ist nicht gewährleistet, dass ein Theorem ist. Eine weitere Voraussetzung ist, dass es sich bei dem Substituendum um einen „Satzparameter“ handelt, d. h. um eine nicht-komplexe Formel, die überdies in keinem Axiom vorkommt. Für das Substituens gibt es keine entsprechende Beschränkung.
Beispiel:
In dem Theorem
können wir den Ausdruck universell ersetzen durch
und erhalten wiederum ein Theorem, nämlich:
Bei einfacher Substitution könnten wir auch folgendes erhalten:
was kein Theorem ist. Wenn wir die Forderung fallenließen, dass das Substituendum ein Satzparameter ist, so könnten wir den ganzen Ausdruck durch eine Formel, etwa , ersetzen und erhielten:
was natürlich ebenfalls kein Theorem ist.
Die Eigenschaft, dass universelle Substitution die Theorem-Eigenschaft erhält, wird in manchen Kalkülen ausgenutzt, indem dies als Schlussregel formuliert wird. Die Regel der universellen Substitution besagt, dass man in jeder Formel, die man mit einem Beweis gewonnen hat, jeden Satzparameter durch eine beliebige Aussage universell ersetzen kann.
Gesetz der Substitution von äquivalenten Aussagen Bearbeiten
Sind zwei Aussagen und äquivalent und ist ein Resultat der einfachen Substitution von durch in , dann sind und ebenfalls äquivalent.
Beispiel:
Zwei äquivalente Aussagen sind beispielsweise:
und
,
Wenn wir nun in der Aussage
durch einfach substituieren, können wir folgendes erhalten:
und sind nun wiederum äquivalent.
Der Begriff „zur Substitution frei“ Bearbeiten
Ein Term ist zur Substitution durch eine Variable in einer Formel frei, wenn nicht im Skopus eines Quantors oder steht.
Der Hintergrund dieser Definition ist folgender: Man will in der Quantorenlogik davon sprechen, dass eine Aussage eine All- oder Existenz-Generalisierung einer anderen darstellt. Zum Beispiel ist
formal:
eine Existenz-Generalisierung von
formal:
Es scheint nun so, als erhielte man eine Generalisierung, wenn man die Vorkommnisse des zu generalisierenden Terms (im Beispiel „Frank“ bzw. ) universell durch ersetzt und einen Quantor oder vor die Aussage setzt. Man erhält eine Generalisierung aber nur unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass der zu generalisierende Term zur Ersetzung durch frei ist.
Beispiel
Man betrachte die Aussage
formal
Man beachte, dass hier nicht zur Substitution durch frei ist, da es im Skopus des Existenzquantors vorkommt. Daher ist auch folgende Aussage keine All-Generalisierung von :
denn diese Aussage bedeutet:
und dies geht vollkommen an der Bedeutung der ursprünglichen Aussage vorbei.
Man kann aber in einem solchen Fall immer eine Generalisierung mit einer anderen Variable vornehmen. Beispielsweise ist in zur Substitution mit frei, daher kann man folgende All-Generalisierung bilden:
und diese Aussage hat dann die gewünschte Bedeutung, nämlich: