Das Intervallschachtelungsprinzip wird besonders in der Analysis in Beweisen benutzt und bildet in der numerischen Mathematik die Grundlage für einige Lösungsverfahren.
Das Prinzip ist Folgendes: Man fängt mit einem beschränkten Intervall an und wählt aus diesem Intervall ein abgeschlossenes Intervall, das komplett in dem vorherigen Intervall liegt, wählt dort wieder ein abgeschlossenes Intervall heraus und so weiter. Werden die Längen der Intervalle beliebig klein, konvergiert also ihre Länge gegen Null, so gibt es genau eine reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist. Wegen dieser Eigenschaft können Intervallschachtelungen herangezogen werden, um mit ihnen die reellen Zahlen als Zahlbereichserweiterung der rationalen Zahlen zu konstruieren.
Grundideen in Form des Arguments der vollständigen Teilung finden sich bereits bei Zenon von Elea und Aristoteles.
Definition Bearbeiten
Seien rationale oder reelle Zahlenfolgen, monoton wachsend und monoton fallend, für alle , und bilden die Differenzen eine Nullfolge, also
dann wird die Folge oder auch der Intervalle als Intervallschachtelung bezeichnet.
Konstruktion der reellen Zahlen Bearbeiten
Es gilt nun, dass es für jede Intervallschachtelung rationaler Zahlen höchstens eine rationale Zahl gibt, die in allen Intervallen enthalten ist, die also für alle erfüllt.
Es stimmt aber nicht, dass jede Intervallschachtelung rationaler Zahlen mindestens eine rationale Zahl enthält; um eine solche Eigenschaft zu erhalten, muss man die Menge der rationalen Zahlen zur Menge der reellen Zahlen erweitern. Dies lässt sich beispielsweise mit Hilfe der Intervallschachtelungen durchführen. Dazu sagt man, jede Intervallschachtelung definiere eine wohlbestimmte reelle Zahl, also . Da Intervalle Mengen sind, kann zur Verdeutlichung des Schnitts aller Intervalle der Schachtelung auch geschrieben werden: .
Die Gleichheit reeller Zahlen definiert man dann über die entsprechenden Intervallschachtelungen: genau dann, wenn stets und .
Auf analoge Weise lassen sich die Verknüpfungen reeller Zahlen als Verknüpfungen von Intervallschachtelungen definieren; beispielsweise ist die Summe zweier reeller Zahlen als
definiert.
Dieses so definierte System hat nun die gewünschten Eigenschaften, insbesondere gilt nun, dass jede beliebige Intervallschachtelung rationaler Zahlen genau eine reelle Zahl enthält.
Intervallschachtelungen sind aber nicht die einzige Möglichkeit zur Konstruktion der reellen Zahlen; insbesondere ist die Konstruktion als Äquivalenzklasse von Cauchy-Folgen weiter verbreitet. Weiterhin gibt es noch die Methode der Dedekindschen Schnitte.
Konvergenz der Grenzfolgen einer Intervallschachtelung Bearbeiten
Sei eine Intervallschachtelung, die die Zahl definiert. Dann ist
Beweis: Sei ein beliebiges reelles vorgegeben. Zum Nachweis der Konvergenz der Grenzfolgen ist zu zeigen, dass nach Wahl eines geeignetes für alle beide Intervallgrenzen in einer -Umgebung von liegen.
Da eine Intervallschachtelung und daher , eine Nullfolge ist, existiert ein so, dass für alle .
Bildlich: Für alle ist der Durchmesser der Intervalle der Schachtelung so klein, dass keine der Intervallgrenzen mehr eine Grenze der -Umgebung von erreicht, wenn das betrachtete Intervall enthalten soll.
Rechnung: Mit ist . Für ist mit :
- , wegen ist insgesamt ;
- , wegen ist insgesamt , q. e. d.
Weitere Anwendungen Bearbeiten
- Der Zwischenwertsatz von Bolzano lässt sich mit dem Intervallschachtelungsprinzip beweisen.
- Die Bisektion ist ein numerisches Verfahren, das auf der Intervallschachtelung basiert.
Weblinks Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- Konrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3.
- Konrad Knopp. ebenda, S. 21, Definition 11.
- Konrad Knopp. ebenda, S. 22, Satz 12.
- Konrad Knopp. ebenda, S. 27, Definition 13.
- Konrad Knopp. ebenda, S. 29, Definition 14B.
- Konrad Knopp. ebenda, S 31, Definition 16.
- Konrad Knopp. ebenda, S. 41, Satz 4.