Kolmogorowsches Null Eins Gesetz Das Kolmogorowsche Null Eins Gesetz auch Null Eins Gesetz von Kolmogorow genannt und au

Kolmogorowsches Null-Eins-Gesetz

Das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz, auch Null-Eins-Gesetz von Kolmogorow genannt und auch in den alternativen Schreibungen Kolmogoroff oder Kolmogorov in der Literatur vertreten, ist ein mathematischer Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie über die möglichen Wahrscheinlichkeiten von Grenzwerten. Es gehört zu den Null-Eins-Gesetzen und beschreibt somit eine Klasse von Ereignissen, die entweder fast sicher sind (also mit Wahrscheinlichkeit eins eintreten) oder fast unmöglich sind (also mit Wahrscheinlichkeit 0 eintreten).

Das Gesetz ist nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow benannt.

Formulierung Bearbeiten

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum sowie eine Folge von σ-Algebren in , also für alle . Sind die σ-Algebren alle stochastisch unabhängig voneinander, so gilt:

Dieselbe Aussage gilt ebenso für die terminale σ-Algebra einer Folge von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen wie auch für die terminale σ-Algebra einer Folge von stochastisch unabhängigen Ereignissen.

Implikationen Bearbeiten

Seien unabhängige Zufallsvariable und die zu mit gehörige terminale -Algebra. Man zeigt leicht, dass gilt. Die Folge konvergiert oder divergiert also fast sicher. Bezeichnet im ersten Fall den Limes, so lässt sich weiter zeigen, dass eine -messbare Zufallsvariable ist. Da trivial ist, muss notwendig konstant sein.

Außerdem lässt sich mittels des Kolmogorowschen Null-Eins-Gesetzes das Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage herleiten.

Beweisskizze Bearbeiten

Definiert man

so gilt:

Des Weiteren ist in enthalten, also gilt

Dann ist auch unabhängig von und aufgrund der Schnittstabilität folgt

Da allerdings in enthalten ist, folgt

woraus direkt folgt, dass P-trivial ist.

Der Beweis für Folgen von Ereignissen oder Zufallsvariablen folgt analog, da die terminale σ-Algebra von Ereignissen und Zufallsvariablen als die terminale σ-Algebra der erzeugten σ-Algebren definiert ist.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz wird in der Literatur auf die folgenden Arten allgemeiner formuliert:

Es wird nicht für Folgen von unabhängigen σ-Algebren und deren terminale σ-Algebra formuliert, sondern allgemeiner für beliebige Mengensysteme. Für die Gültigkeit der Aussage muss dabei aber neben der Unabhängigkeit noch zusätzlich die Schnittstabilität der Mengensysteme gefordert werden. Ansonsten bleibt die Aussage unverändert.
Es wird eine bedingte Version formuliert mit Rückgriff auf die bedingte Unabhängigkeit und die bedingte Wahrscheinlichkeit, wie sie über den bedingten Erwartungswert definiert wird. Dies bedeutet, man setzt

Literatur Bearbeiten

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 235.
Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 441.

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Veröffentlichungsdatum: November 28, 2023, 08:56 am

Das Kolmogorowsche Null Eins Gesetz auch Null Eins Gesetz von Kolmogorow genannt und auch in den alternativen Schreibungen Kolmogoroff oder Kolmogorov in der Literatur vertreten ist ein mathematischer Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie uber die moglichen Wahrscheinlichkeiten von Grenzwerten Es gehort zu den Null Eins Gesetzen und beschreibt somit eine Klasse von Ereignissen die entweder fast sicher sind also mit Wahrscheinlichkeit eins eintreten oder fast unmoglich sind also mit Wahrscheinlichkeit 0 eintreten Das Gesetz ist nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow benannt Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Implikationen 3 Beweisskizze 4 Verallgemeinerungen 5 Literatur 6 EinzelnachweiseFormulierung BearbeitenGegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp sowie eine Folge A n n N displaystyle mathcal A n n in mathbb N nbsp von s Algebren in A displaystyle mathcal A nbsp also A n A displaystyle mathcal A n subseteq mathcal A nbsp fur alle n N displaystyle 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von unabhangigen s Algebren und deren terminale s Algebra formuliert sondern allgemeiner fur beliebige Mengensysteme Fur die Gultigkeit der Aussage muss dabei aber neben der Unabhangigkeit noch zusatzlich die Schnittstabilitat der Mengensysteme gefordert werden Ansonsten bleibt die Aussage unverandert 1 Es wird eine bedingte Version formuliert mit Ruckgriff auf die bedingte Unabhangigkeit und die bedingte Wahrscheinlichkeit wie sie uber den bedingten Erwartungswert definiert wird Dies bedeutet man setztP A G E 1 A G displaystyle P A mathcal G operatorname E mathbf 1 A mathcal G nbsp Dann lautet das Kolmogorowsche Null Eins Gesetz 2 Ist eine Folge von bedingt unabhangigen schnittstabilen Mengensystemen gegeben und ist T displaystyle mathcal T nbsp die zugehorige terminale s Algebra so gilt Es ist P T 1 G P T 2 G P T 1 T 2 G displaystyle P T 1 mathcal G P T 2 mathcal G P T 1 cap T 2 mathcal G nbsp fur alle T 1 T 2 T displaystyle T 1 T 2 in mathcal T nbsp Zu jeder terminalen numerischen Zufallsvariable X displaystyle X nbsp existiert eine G displaystyle mathcal G nbsp messbare Zufallsvariable Y displaystyle Y nbsp so dass X Y displaystyle X Y nbsp gilt Fur jedes terminale Ereignis T displaystyle T nbsp gilt P T G 1 T displaystyle P T mathcal G mathbf 1 T nbsp und es existiert ein G G displaystyle G in mathcal G nbsp so dass 1 T 1 G displaystyle mathbf 1 T mathbf 1 G nbsp ist Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Hans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 doi 10 1515 9783110215274 Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2 durchgesehene Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2011 ISBN 978 3 642 21025 9 doi 10 1007 978 3 642 21026 6 Einzelnachweise Bearbeiten Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2011 S 235 Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2011 S 441 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kolmogorowsches Null Eins Gesetz amp oldid 239090086