Monotone Mengenfolge Eine monotone Mengenfolge ist eine spezielle Mengenfolge bei der spezielle Inklusionsbeziehungen ge

Monotone Mengenfolge

Eine monotone Mengenfolge ist eine spezielle Mengenfolge, bei der spezielle Inklusionsbeziehungen gelten. Ist eine Menge mit kleinerem Index immer in einer Menge mit größerem index enthalten, so nennt man die Folge eine monoton wachsende Mengenfolge. Enthält eine Menge mit kleinerem Index immer in einer Menge mit größerem index, so nennt man die Folge eine monoton fallende Mengenfolge. Monotone Mengenfolgen lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Definition Bearbeiten

Eine Mengenfolge heißt

Monoton wachsend oder monoton steigend, wenn gilt.
Monoton fallend, wenn gilt.
Monoton, wenn sie entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist.

Teilweise findet sich auch die Bezeichnung einer monoton aufsteigenden Mengenfolge oder einer monoton absteigenden Mengenfolge.

Beispiele Bearbeiten

Die Mengenfolge definiert durch

Die Mengenfolge ist monoton wachsend. Dies folgt direkt aus der Monotonie der reellen Folge .
Genauso ist die Mengenfolge monoton fallend.

Eigenschaften Bearbeiten

Jede monoton wachsende Mengenfolge konvergiert, es ist dann

Jede monoton fallende Mengenfolge konvergiert, es ist dann

Verwendung Bearbeiten

Monotone Mengenfolgen werden beispielsweise in der Maßtheorie verwendet, um Mengensysteme wie monotone Klassen zu definieren.

Literatur Bearbeiten

Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.

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Veröffentlichungsdatum: November 27, 2023, 21:56 pm

Eine monotone Mengenfolge ist eine spezielle Mengenfolge bei der spezielle Inklusionsbeziehungen gelten Ist eine Menge mit kleinerem Index immer in einer Menge mit grosserem index enthalten so nennt man die Folge eine monoton wachsende Mengenfolge Enthalt eine Menge mit kleinerem Index immer in einer Menge mit grosserem index so nennt man die Folge eine monoton fallende Mengenfolge Monotone Mengenfolgen lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Verwendung 5 LiteraturDefinition BearbeitenEine Mengenfolge A i i N displaystyle A i i in mathbb N nbsp heisst Monoton wachsend oder monoton steigend wenn A k A k 1 displaystyle A k subseteq A k 1 nbsp gilt Monoton fallend wenn A k A k 1 displaystyle A k supseteq A k 1 nbsp gilt Monoton wenn sie entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist Teilweise findet sich auch die Bezeichnung einer monoton aufsteigenden Mengenfolge oder einer monoton absteigenden Mengenfolge Beispiele BearbeitenDie Mengenfolge definiert durch A k k N 0 k N displaystyle A k k in mathbb N 0 dots k subset mathbb N nbsp ist eine monoton wachsende Mengenfolge da jede Menge A k displaystyle A k nbsp alle Elemente der Menge A k 1 displaystyle A k 1 nbsp enthalt Die Mengenfolge A k k N 0 1 1 k k N 0 0 1 2 0 2 3 displaystyle A k k in mathbb N 0 1 1 k k in mathbb N 0 0 1 2 0 2 3 dotsc nbsp ist monoton wachsend Dies folgt direkt aus der Monotonie der reellen Folge a k k N 1 k k N displaystyle a k k in mathbb N left tfrac 1 k right k in mathbb N nbsp Genauso ist die Mengenfolge A k k N 0 1 k k N 0 1 0 1 2 0 1 3 displaystyle A k k in mathbb N 0 1 k k in mathbb N 0 1 0 1 2 0 1 3 dotsc nbsp monoton fallend Eigenschaften BearbeitenJede monoton wachsende Mengenfolge konvergiert es ist dannlim i A i i 1 A i A displaystyle lim i to infty A i bigcup i 1 infty A i A nbsp Man schreibt dann auch A n A displaystyle A n uparrow A nbsp Jede monoton fallende Mengenfolge konvergiert es ist dannlim i A i i 1 A i A displaystyle lim i to infty A i bigcap i 1 infty A i A nbsp Man schreibt dann auch A n A displaystyle A n downarrow A nbsp Verwendung BearbeitenMonotone Mengenfolgen werden beispielsweise in der Masstheorie verwendet um Mengensysteme wie monotone Klassen zu definieren Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 Auflage Springer Berlin Heidelberg New York 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Monotone Mengenfolge amp oldid 143549694