Der Satz über monotone Klassen ist ein zentraler Satz der Maßtheorie, dem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften von Maßräumen und Funktionen auf ihnen beschäftigt.
Definition eines monotonen Vektorraums Bearbeiten
Bevor der Satz formuliert werden kann, müssen wir zunächst den Begriff eines monotonen Vektorraums einführen. Eine Menge von beschränkten, reellwertigen Funktionen auf einem beliebigen Raum heißt monoton, falls die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
- ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen.
- Alle konstanten Funktionen liegen in .
- Für jede Folge von Funktionen in , die und (punktweise Konvergenz) mit beschränkt erfüllt, gilt: .
Der Satz über monotone Klassen Bearbeiten
Es sei eine multiplikative (also unter Multiplikation abgeschlossene) Klasse von beschränkten, reellwertigen Funktionen auf einer Menge und die von der Klasse erzeugte σ-Algebra. Zudem sei ein monotoner Vektorraum, der als Teilmenge enthält. Dann besagt der Satz über monotone Klassen, dass auch alle beschränkten, -messbaren Funktionen enthält.
Anwendungen Bearbeiten
Eine klassische Anwendung des Satzes über monotone Klassen ist der Beweis des Satzes von Fubini. In manchen Fällen lassen sich Beweise auch mit dem anschaulicheren Standardverfahren der Integration von einfachen Funktionen und Anwendung des Satzes von der monotonen Konvergenz beweisen.
Literatur Bearbeiten
- Claude Dellacherie, Paul-André Meyer: Probabilities and Potential (= North Holland Mathematics Studies. Bd. 29). North-Holland u. a., Amsterdam u. a. 1978, ISBN 0-7204-0701-X.
- Philip E. Protter: Stochastic integration and differential equations. Version 2.1 (= Applications of Mathematics. Stochastic Modelling and Applied Probability. Bd. 21). 2nd edition, corrected. 3rd printing. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-00313-4.