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Satz von der monotonen Konvergenz Der auch Satz von Beppo Levi genannt nach Beppo Levi ist ein wichtiger Satz aus der Ma

Satz von der monotonen Konvergenz

Der Satz von der monotonen Konvergenz, auch Satz von Beppo Levi genannt (nach Beppo Levi), ist ein wichtiger Satz aus der Maß- und Integrationstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er trifft eine Aussage darüber, unter welchen Voraussetzungen sich Integration und Grenzwertbildung vertauschen lassen.

Mathematische Formulierung Bearbeiten

Sei ein Maßraum. Ist eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen , die μ-fast überall monoton wachsend gegen eine messbare Funktion konvergiert, so gilt

Variante für fallende Folgen Bearbeiten

Ist eine Funktionenfolge nichtnegativer, messbarer Funktionen mit , die μ-fast überall monoton fallend gegen eine messbare Funktion konvergiert, so gilt ebenso

Beweisidee Bearbeiten

Dass die rechte Seite kleinergleich der linken ist, folgt aus der Monotonie des Integrals. Für den Beweis maßgeblich ist also die andere Richtung: Diese lässt sich etwa zuerst für einfache Funktionen zeigen und von da aus auf allgemeine messbare Funktionen übertragen.

Wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung Bearbeiten

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine nichtnegative, fast sicher monoton wachsende Folge von Zufallsvariablen, dann gilt für ihre Erwartungswerte

Eine analoge Aussage gilt auch für bedingte Erwartungswerte: Ist eine Teil--Algebra und integrierbar, so gilt fast sicher

Anwendung des Satzes auf Funktionenreihen Bearbeiten

Sei wieder ein Maßraum. Für jede Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen gilt

Dies folgt durch Anwendung des Satzes auf die Folge der Partialsummen. Da die nichtnegativ sind, ist monoton wachsend.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2nd Edition. American Mathematical Society, Providence, RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Albrecht Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik: Grundlagen - Resultate - Anwendungen. 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2001, ISBN 978-3-519-02395-1. Seiten 116 bis 118
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von der monotonen Konvergenz auch Satz von Beppo Levi genannt nach Beppo Levi ist ein wichtiger Satz aus der Mass und Integrationstheorie einem Teilgebiet der Mathematik Er trifft eine Aussage daruber unter welchen Voraussetzungen sich Integration und Grenzwertbildung vertauschen lassen Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Formulierung 1 1 Variante fur fallende Folgen 2 Beweisidee 3 Wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung 4 Anwendung des Satzes auf Funktionenreihen 5 Siehe auch 6 Literatur 7 EinzelnachweiseMathematische Formulierung BearbeitenSei W S m displaystyle Omega mathcal S mu nbsp ein Massraum Ist f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp eine Folge nichtnegativer messbarer Funktionen f n W 0 displaystyle f n colon Omega to 0 infty nbsp die m fast uberall monoton wachsend gegen eine messbare Funktion f W 0 displaystyle f colon Omega to 0 infty nbsp konvergiert so gilt W f d m lim n W f n d m displaystyle int Omega f mathrm d mu lim n to infty int Omega f n mathrm d mu nbsp Variante fur fallende Folgen Bearbeiten Ist f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp eine Funktionenfolge nichtnegativer messbarer Funktionen f n W 0 displaystyle f n colon Omega to 0 infty nbsp mit W f 1 d m lt displaystyle int Omega f 1 mathrm d mu lt infty nbsp die m fast uberall monoton fallend gegen eine messbare Funktion f W 0 displaystyle f colon Omega to 0 infty nbsp konvergiert so gilt ebenso W f d m lim n W f n d m displaystyle int Omega f mathrm d mu lim n to infty int Omega f n mathrm d mu nbsp Beweisidee BearbeitenDass die rechte Seite kleinergleich der linken ist folgt aus der Monotonie des Integrals Fur den Beweis massgeblich ist also die andere Richtung Diese lasst sich etwa zuerst fur einfache Funktionen zeigen und von da aus auf allgemeine messbare Funktionen ubertragen Wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung BearbeitenSei W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp ein Wahrscheinlichkeitsraum und X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp eine nichtnegative fast sicher monoton wachsende Folge von Zufallsvariablen dann gilt fur ihre Erwartungswerte lim n E X n E lim n X n displaystyle lim n to infty operatorname E X n operatorname E left lim n to infty X n right nbsp 1 Eine analoge Aussage gilt auch fur bedingte Erwartungswerte Ist G A displaystyle mathcal G subset mathcal A nbsp eine Teil s displaystyle sigma nbsp Algebra und lim n X n displaystyle lim n to infty X n nbsp integrierbar so gilt fast sicher lim n E X n G E lim n X n G displaystyle lim n to infty operatorname E X n mid mathcal G operatorname E left lim n to infty X n mid mathcal G right nbsp Anwendung des Satzes auf Funktionenreihen BearbeitenSei W S m displaystyle Omega mathcal S mu nbsp wieder ein Massraum Fur jede Folge f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp nichtnegativer messbarer Funktionen f n W 0 displaystyle f n colon Omega to 0 infty nbsp gilt W n 1 f n d m n 1 W f n d m displaystyle int Omega sum n 1 infty f n mathrm d mu sum n 1 infty int Omega f n mathrm d mu nbsp Dies folgt durch Anwendung des Satzes auf die Folge s N n 1 N f n displaystyle textstyle s N sum n 1 N f n nbsp der Partialsummen Da die f n displaystyle f n nbsp nichtnegativ sind ist s N N N displaystyle s N N in mathbb N nbsp monoton wachsend Siehe auch BearbeitenSatz von der majorisierten Konvergenz Lemma von FatouLiteratur BearbeitenElliott H Lieb Michael Loss Analysis Graduate Studies in Mathematics Bd 14 2nd Edition American Mathematical Society Providence RI 2001 ISBN 0 8218 2783 9 Einzelnachweise Bearbeiten Albrecht Irle Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Grundlagen Resultate Anwendungen 1 Auflage Vieweg Teubner 2001 ISBN 978 3 519 02395 1 Seiten 116 bis 118 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von der monotonen Konvergenz amp oldid 209346148