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Moufang Identitäten Eine zweistellige Verknüpfung displaystyle cdot auf einer Menge X displaystyle X erfüllt die benannt

Moufang-Identitäten

Eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge erfüllt die Moufang-Identitäten (benannt nach der deutschen Mathematikerin Ruth Moufang), wenn für alle die Gleichungen

und

gelten.

Dual dazu werden auch folgende Gleichungen als Moufang-Identitäten bezeichnet:

und

In einer Quasigruppe impliziert eine dieser vier Gleichungen jeweils die drei anderen. Außerdem sichert jede dieser Gleichung die Existenz eines neutralen Elements zu. Eine Quasigruppe, in der also (mindestens) eine der Moufang-Identitäten erfüllt ist, ist demnach eine Loop, die dann auch Moufang-Loop genannt wird.

Bezug zu anderen Formen der Assoziativität Bearbeiten

Bei den Moufang-Identitäten handelt es sich um eine abgeschwächte Form des Assoziativgesetzes. Außer für assoziative Verknüpfungen gelten die Moufang-Identitäten auch für Alternativkörper wie zum Beispiel die Oktonionen.

Gelten in einem Magma mit einem neutralen Element die Moufang-Identitäten (M1) und (M2), dann gilt für die Verknüpfung

Gelten in mit einem neutralen Element jedoch die Moufang-Identitäten (M1') und (M2'), dann gilt für die Verknüpfung

In einem flexiblen Magma , in dem für die Verknüpfung also das Flexibilitätsgesetz gilt, folgt M2' direkt aus M2 (und umgekehrt), und es gelten folgende zusätzliche Identitäten

Literatur Bearbeiten

  • John Horton Conway, Derek Smith: On Quaternions and Octonions Hardcover, 2003, ISBN 1568811349, insbesondere S. 88
  • Kenneth Kunen: Moufang quasigroups, Journal of Algebra, Vol. 183, Issue 1, 1996, Seiten 231–234
  • Ruth Moufang: Zur Struktur von Alternativkörpern, Math. Ann., Vol. 110, 1935, Seiten 416–430
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Eine zweistellige Verknupfung displaystyle cdot auf einer Menge X displaystyle X erfullt die Moufang Identitaten benannt nach der deutschen Mathematikerin Ruth Moufang wenn fur alle a b c X displaystyle a b c in X die Gleichungen M1 a b a c a b a c displaystyle Big a cdot b cdot a Big cdot c a cdot Big b cdot a cdot c Big und M2 a b c a a b c a displaystyle a cdot b cdot c cdot a a cdot Big b cdot c cdot a Big gelten Dual dazu werden auch folgende Gleichungen als Moufang Identitaten bezeichnet M1 a b c b a b c b displaystyle Big a cdot b cdot c Big cdot b a cdot Big b cdot c cdot b Big und M2 a b c a a b c a displaystyle a cdot b cdot c cdot a Big a cdot b cdot c Big cdot a In einer Quasigruppe M displaystyle M cdot impliziert eine dieser vier Gleichungen jeweils die drei anderen Ausserdem sichert jede dieser Gleichung die Existenz eines neutralen Elements zu Eine Quasigruppe in der also mindestens eine der Moufang Identitaten erfullt ist ist demnach eine Loop die dann auch Moufang Loop genannt wird Bezug zu anderen Formen der Assoziativitat BearbeitenBei den Moufang Identitaten handelt es sich um eine abgeschwachte Form des Assoziativgesetzes Ausser fur assoziative Verknupfungen gelten die Moufang Identitaten auch fur Alternativkorper wie zum Beispiel die Oktonionen Gelten in einem Magma M displaystyle M cdot nbsp mit einem neutralen Element 1 displaystyle 1 nbsp die Moufang Identitaten M1 und M2 dann gilt fur die Verknupfung displaystyle cdot nbsp die Linksalternativitat wegen M1 mit b 1 displaystyle b 1 nbsp a a c a 1 a c a 1 a c a a c displaystyle a cdot a cdot c Big a cdot 1 cdot a Big cdot c a cdot Big 1 cdot a cdot c Big a cdot a cdot c nbsp das Flexibilitatsgesetz wegen M2 mit c 1 displaystyle c 1 nbsp a b a a b 1 a a b 1 a a b a displaystyle a cdot b cdot a a cdot b cdot 1 cdot a a cdot Big b cdot 1 cdot a Big a cdot b cdot a nbsp Gelten in M displaystyle M cdot nbsp mit einem neutralen Element 1 displaystyle 1 nbsp jedoch die Moufang Identitaten M1 und M2 dann gilt fur die Verknupfung displaystyle cdot nbsp die Rechtsalternativitat wegen M1 mit c 1 displaystyle c 1 nbsp a b b a b 1 b a b 1 b a b b displaystyle a cdot b cdot b Big a cdot b cdot 1 Big cdot b a cdot Big b cdot 1 cdot b Big a cdot b cdot b nbsp das Flexibilitatsgesetz wegen M2 mit b 1 displaystyle b 1 nbsp a a b a 1 c a a 1 c a a b a displaystyle a cdot a cdot b a cdot 1 cdot c cdot a Big a cdot 1 cdot c Big cdot a a cdot b cdot a nbsp In einem flexiblen Magma M displaystyle M cdot nbsp in dem fur die Verknupfung displaystyle cdot nbsp also das Flexibilitatsgesetz gilt folgt M2 direkt aus M2 und umgekehrt und es gelten folgende zusatzliche Identitaten M3 folgt aus M1 a b a c a b a c a b a c displaystyle Big a cdot b cdot a Big cdot c Big a cdot b cdot a Big cdot c a cdot Big b cdot a cdot c Big nbsp M3 folgt aus M1 a b c b a b c b a b c b displaystyle Big a cdot b cdot c Big cdot b a cdot Big b cdot c cdot b Big a cdot Big b cdot c cdot b Big nbsp Literatur BearbeitenJohn Horton Conway Derek Smith On Quaternions and Octonions Hardcover 2003 ISBN 1568811349 insbesondere S 88 Kenneth Kunen Moufang quasigroups Journal of Algebra Vol 183 Issue 1 1996 Seiten 231 234 Ruth Moufang Zur Struktur von Alternativkorpern Math Ann Vol 110 1935 Seiten 416 430 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Moufang Identitaten amp oldid 237855238