Eine potenz assoziative Algebra ist eine Algebra in welcher die Potenzen eines Elements unabhangig von der Beklammerungsreihenfolge definiert werden konnen Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Beispiele 2 1 Potenz assoziative Magmen 2 2 Potenz assoziative Algebren 3 Weitere Abschwachungen der Potenz Assoziativitat 3 1 Beispiele 4 LiteraturDefinitionen BearbeitenFur ein Magma M M displaystyle mathcal M M circ nbsp und jedes a M displaystyle a in M nbsp definiere man a 1 a displaystyle a 1 a nbsp sowie a k 1 a a k displaystyle a k 1 a circ a k nbsp fur jedes k N displaystyle k in mathbb N nbsp Die Verknupfung displaystyle circ nbsp eines Magmas M displaystyle M circ nbsp heisst potenz assoziativ fur ein Element a M displaystyle a in M nbsp wenn fur alle positiven naturlichen Zahlen i j N displaystyle i j in mathbb N nbsp gilt a i j a i a j displaystyle a i j a i circ a j nbsp Ein Magma M M displaystyle mathcal M M circ nbsp nennt man potenz assoziatives Magma wenn dessen Verknupfung displaystyle circ nbsp potenz assoziativ ist fur jedes a M displaystyle a in M nbsp Die Algebra A displaystyle mathcal A nbsp heisst potenz assoziativ potenz assoziative Algebra wenn ihre Multiplikation displaystyle cdot nbsp potenz assoziativ ist also A displaystyle mathcal A cdot nbsp ein potenz assoziatives Magma ist Beispiele BearbeitenPotenz assoziative Magmen Bearbeiten Jede Halbgruppe ist auch immer ein potenz assoziatives Magma Fur jedes idempotente Element eines Magmas gilt die Potenz Assoziativitat a i j a a a a i a j displaystyle a i j a a circ a a i circ a j nbsp Entsprechend ist jedes idempotente Magma ein potenz assoziatives Magma Jede alternative und flexible Verknupfung die die Moufang Identitaten erfullt ist auch potenz assoziativ Beweis per vollstandiger Induktion Induktionsanfang i 1 displaystyle i 1 nbsp a 1 a j 1 a a j 1 a j 1 a 1 j displaystyle a 1 circ a j overset 1 a circ a j overset 1 a j 1 a 1 j nbsp Induktionsanfang i 2 displaystyle i 2 nbsp a 2 a j 1 a a a j 2 a a a j 1 a a 1 j 1 a 2 j displaystyle a 2 circ a j overset 1 a circ a circ a j overset 2 a circ a circ a j overset 1 a circ a 1 j overset 1 a 2 j nbsp Induktionsschritt i i 1 displaystyle i longrightarrow i 1 nbsp fur i 2 displaystyle i geq 2 nbsp a i 1 a j 1 a a i a j 1 a a a i 1 a j displaystyle a i 1 circ a j overset 1 a circ a i circ a j overset 1 a circ a circ a i 1 circ a j nbsp 3 a a i 1 a a j displaystyle overset 3 a circ a i 1 circ a circ a j nbsp 4 a a i 1 a a j displaystyle overset 4 a circ a i 1 circ a circ a j nbsp 1 a a i 1 a j 1 displaystyle overset 1 a circ a i 1 circ a j 1 nbsp 5 a a i 1 j 1 a a i j 1 a i j 1 a i 1 j displaystyle overset 5 a circ a i 1 j 1 a circ a i j overset 1 a i j 1 a i 1 j nbsp 1 Definition a n displaystyle a n nbsp 2 Links Alternativitat von displaystyle circ nbsp 3 Flexibilitat und der daraus folgenden i displaystyle i nbsp Potenz Assoziativitat siehe unten von displaystyle circ nbsp 4 Moufang Identitat fur displaystyle circ nbsp 5 Induktionsvoraussetzung Fur die Multiplikation einer Algebra reicht hierfur bereits die Alternativitat aus siehe unten Fur Spezialfalle reichen weniger Voraussetzungen aus So folgt a 3 2 a 3 a 2 displaystyle a 3 2 a 3 a 2 nbsp bereist aus der Alternativitat a 3 2 a 5 1 a a a a a 2 a a a a a 3 a a a a a 1 a 3 a 2 displaystyle a 3 2 a 5 overset 1 a a a aa overset 2 a aa aa overset 3 a aa aa overset 1 a 3 a 2 nbsp 1 Definition a n displaystyle a n nbsp 2 Linksalternativitat3 RechtsalternativitatPotenz assoziative Algebren Bearbeiten Alle assoziativen Algebren sind potenz assoziativ Alle alternativen Algebren sind potenz assoziativ In einer Algebra folgt aus der Alternativitat die Flexibilitat der Multiplikation und ausserdem die Erfullung der Moufang Identitaten siehe auch Eigenschaften von Alternativkorpern Alle K displaystyle K nbsp Algebren A displaystyle mathcal A nbsp in denen es zu jedem a A displaystyle a in mathcal A nbsp ein c a K displaystyle c a in K nbsp gibt mit a a c a a displaystyle a cdot a c a cdot a nbsp sind potenz assoziativ Hierzu gehort beispielsweise R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp ausgestattet mit dem Kreuzprodukt da a a 0 displaystyle a times a 0 nbsp fur alle a R 3 displaystyle a in mathbb R 3 nbsp Die Algebra der Sedenionen ist ebenfalls eine potenz assoziative Algebra Weitere Abschwachungen der Potenz Assoziativitat BearbeitenDie Verknupfung displaystyle circ nbsp eines Magmas M displaystyle M circ nbsp heisst i displaystyle i nbsp potenz assoziativ fur ein Element a M displaystyle a in M nbsp wenn fur die positive naturliche Zahl i N displaystyle i in mathbb N nbsp gilt a i a a a i displaystyle a i circ a a circ a i nbsp Ein Magma dessen Verknupfung i displaystyle i nbsp potenz assoziativ ist kann man somit auch als ein i displaystyle i nbsp potenz assoziatives Magma bezeichnen Ein potenz assoziatives Magma ist auch immer ein i displaystyle i nbsp potenz assoziatives Magma denn es gilt a a i 1 a i 1 2 a i a 1 1 a i a displaystyle a circ a i overset 1 a i 1 overset 2 a i circ a 1 overset 1 a i circ a nbsp 1 Definition a n displaystyle a n nbsp 2 Potenz Assoziativitat von displaystyle circ nbsp Ein flexibles Magma und erst recht jede Halbgruppe ist auch immer ein i displaystyle i nbsp potenz assoziatives Magma denn es gilt per vollstandiger Induktion Induktionsanfang i 1 displaystyle i 1 nbsp nur mit Definition a n displaystyle a n nbsp a 1 a a a a a 1 displaystyle a 1 circ a a circ a a circ a 1 nbsp Induktionsschritt i i 1 displaystyle i longrightarrow i 1 nbsp a i 1 a 1 a a i a 2 a a i a 3 a a a i 1 a a i 1 displaystyle a i 1 circ a overset 1 a circ a i circ a overset 2 a circ a i circ a overset 3 a circ a circ a i overset 1 a circ a i 1 nbsp 1 Definition a n displaystyle a n nbsp 2 Flexibilitat von displaystyle circ nbsp 3 InduktionsvoraussetzungDie Verknupfung displaystyle circ nbsp eines Magmas M displaystyle M circ nbsp heisst idemassoziativ in Anlehnung an idempotent fur ein Element a M displaystyle a in M nbsp wenn gilt a a a a a a displaystyle a circ a circ a a circ a circ a nbsp Ein Magma dessen Verknupfung idemassoziativ ist kann man somit auch als ein idemassoziatives Magma bezeichnen Ein i displaystyle i nbsp potenz assoziatives Magma ist auch immer ein idemassoziatives Magma mit i 2 displaystyle i 2 nbsp Beispiele Bearbeiten 1 Das Magma mit der folgenden Verknupfungstafel ist idemassoziativ aber weder i displaystyle i nbsp potenz assoziativ und somit auch nicht potenz assoziativ noch flexibel noch alternativ displaystyle circ nbsp 0 1 20 2 1 21 2 2 02 2 0 0nicht linksalternativ wegen 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 displaystyle 0 circ 0 circ 1 0 circ 1 1 neq 0 2 circ 1 0 circ 0 circ 1 nbsp nicht rechtsalternativ wegen 0 2 2 0 0 2 0 2 2 0 2 2 displaystyle 0 circ 2 circ 2 0 circ 0 2 neq 0 2 circ 2 0 circ 2 circ 2 nbsp nicht flexibel wegen 1 0 1 2 0 1 0 1 displaystyle 1 circ 0 circ 1 2 neq 0 1 circ 0 circ 1 nbsp nicht potenz assoziativ wegen 0 2 2 0 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 2 displaystyle 0 2 2 0 4 0 circ 0 circ 0 circ 0 2 neq 0 0 circ 0 circ 0 circ 0 0 2 circ 0 2 nbsp nicht i displaystyle i nbsp potenz assoziativ fur i 3 displaystyle i geq 3 nbsp wegen 1 1 3 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 displaystyle 1 circ 1 3 1 circ 1 circ 1 circ 1 2 neq 1 1 circ 1 circ 1 circ 1 1 3 circ 1 nbsp idemassoziativ wegen 0 0 0 2 0 0 0 displaystyle 0 circ 0 circ 0 2 0 circ 0 circ 0 nbsp 1 1 1 0 1 1 1 displaystyle 1 circ 1 circ 1 0 1 circ 1 circ 1 nbsp 2 2 2 2 2 2 2 displaystyle 2 circ 2 circ 2 2 2 circ 2 circ 2 nbsp 2 Das Magma mit der folgenden Verknupfungstafel ist potenz assoziativ und somit auch i displaystyle i nbsp potenz assoziativ und idemassoziativ aber weder flexibel noch alternativ displaystyle circ nbsp 0 1 20 0 0 01 0 0 22 0 0 2nicht alternativ wegen 1 1 2 2 0 1 1 2 displaystyle 1 circ 1 circ 2 2 neq 0 1 circ 1 circ 2 nbsp nicht flexibel wegen 2 1 2 2 0 2 1 2 displaystyle 2 circ 1 circ 2 2 neq 0 2 circ 1 circ 2 nbsp potenz assoziativ wegen 0 i j 0 0 0 0 i 0 j displaystyle 0 i j 0 0 circ 0 0 i circ 0 j nbsp 1 i j 0 0 0 1 i 1 j displaystyle 1 i j 0 0 circ 0 1 i circ 1 j nbsp 2 i j 2 2 2 2 i 2 j displaystyle 2 i j 2 2 circ 2 2 i circ 2 j nbsp 3 Das Potenzieren ist nicht idemassoziativ und somit auch weder i displaystyle i nbsp potenz assoziativ noch potenz assoziativ denn es gilt zum Beispiel 3 3 3 27 3 19683 7625597484987 3 27 3 3 3 displaystyle left 3 3 right 3 27 3 19683 neq 7625597484987 3 27 3 left 3 3 right nbsp Literatur BearbeitenEbbinghaus et al Zahlen Springer Berlin 1992 ISBN 3 54055 654 0 R D Schafer An Introduction to Nonassociative Algebras Benediction Classics 2010 ISBN 1 84902 590 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Potenz assoziative Algebra amp oldid 213805522
