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New Foundations NF ist der Name einer axiomatischen Mengenlehre von Willard Van Orman Quine benannt nach dessen Aufsatz

New Foundations

New Foundations (NF) ist der Name einer axiomatischen Mengenlehre von Willard Van Orman Quine, benannt nach dessen Aufsatz New Foundations for Mathematical Logic (Neue Grundlagen der mathematischen Logik) von 1937. NF tendiert in mancher Hinsicht zur Typentheorie und benutzt zur Mengenbildung stratifizierte oder geschichtete Ausdrücke. NF enthält neben dem Extensionalitätsaxiom ein Komprehensionsschema, das für unendlich viele Einzelaxiome steht und zur Mengenkonstruktion dient. Theodore Hailperin zeigte 1944, dass NF endlich axiomatisierbar ist, dass also das Komprehensionsschema durch endlich viele Einzelaxiome (9 Axiome) ersetzt werden kann. NF unterscheidet sich von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre in vielen Punkten: Das Fundierungsaxiom gilt hier nicht, da es in NF Mengen gibt, die Element von sich selbst sind, etwa die Allmenge; das steht im Widerspruch zu Folgerungen aus dem Fundierungsaxiom. Auch das Auswahlaxiom kann nicht als Axiom zu NF hinzu genommen werden – Ernst Specker bewies 1949 dessen Unverträglichkeit mit den übrigen Axiomen von NF. Außerdem kann man die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen nicht beweisen. Der NF-Mengenbegriff weicht also stark vom eingebürgerten Mengenbegriff ab, so dass man NF eher als eine Theorie real existenter Klassen auffassen kann.

Mathematical Logic Bearbeiten

In seinem Buch Mathematical Logic (Mathematische Logik) erweiterte Quine 1940 NF zu ML. Er fügte den Axiomen von NF ein Klassenexistenzaxiom hinzu, ein Schema, das für unendlich viele Einzelaxiome steht, das Mengen zu Klassen zusammenfasst. Allerdings gestattete er im Mengenbildungsaxiom der 1. Auflage seines Buches die Benutzung von Klassenvariablen als Parameter, die nicht quantifiziert werden durften. 1942 zeigte John Barkley Rosser, dass sich in diesem Axiomensystem das Burali-Forti-Paradoxon herleiten lässt. Hao Wang versperrte dieser Antinomie den von Rosser aufgezeigten Weg nach ML, in dem er in seinem Aufsatz von 1950 das Mengenexistenzschema aus NF auch in ML benutzte. Quine setzte es dann in späteren revidierten Auflagen seiner Mathematical Logic ebenfalls ein. Daher ist das Mengenexistenzaxiom wie in NF endlich axiomatisierbar, während es für das Klassenexistenzaxiom noch eine offene Frage ist.

Literatur Bearbeiten

  • Hailperin, Theodore: A new set of axioms for logic, in: Journal of Symbolic Logic Bd. 9 (1944), S. 1–19.
  • Quine, Willard Van Orman: New Foundations for Mathematical Logic, in: Am. Math. Monthly 44 (1937), S. 70–80.
  • Quine, Willard Van Orman: From a logical Point of view. 9 logico-philosophical essays, Harvard U.P., Cambridge, Mass. 1953, S. 80–101.
  • Quine, Willard Van Orman: Mathematical Logic. Harvard University Press, 4. Auflage 1981, 1. Auflage 1940
  • Rosser, John Barkley: Burali-Forti paradox, in: Journal of Symbolic Logic, Bd. 7 (1942), S. 1–17
  • Specker, Ernst Paul: The axiom of choice in Quine's New Foundations for Mathematical Logic, in: Journal of Symbolic Logic, Bd. 14 (1949), S. 145–158
  • Wang, Hao: A formal system for logic, in: Journal of Symbolic Logic, Bd. 15 (1950), S. 25–32

Weblinks Bearbeiten

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New Foundations NF ist der Name einer axiomatischen Mengenlehre von Willard Van Orman Quine benannt nach dessen Aufsatz New Foundations for Mathematical Logic Neue Grundlagen der mathematischen Logik von 1937 NF tendiert in mancher Hinsicht zur Typentheorie und benutzt zur Mengenbildung stratifizierte oder geschichtete Ausdrucke NF enthalt neben dem Extensionalitatsaxiom ein Komprehensionsschema das fur unendlich viele Einzelaxiome steht und zur Mengenkonstruktion dient Theodore Hailperin zeigte 1944 dass NF endlich axiomatisierbar ist dass also das Komprehensionsschema durch endlich viele Einzelaxiome 9 Axiome ersetzt werden kann NF unterscheidet sich von der Zermelo Fraenkel Mengenlehre in vielen Punkten Das Fundierungsaxiom gilt hier nicht da es in NF Mengen gibt die Element von sich selbst sind etwa die Allmenge das steht im Widerspruch zu Folgerungen aus dem Fundierungsaxiom Auch das Auswahlaxiom kann nicht als Axiom zu NF hinzu genommen werden Ernst Specker bewies 1949 dessen Unvertraglichkeit mit den ubrigen Axiomen von NF Ausserdem kann man die Existenz der Menge der naturlichen Zahlen nicht beweisen Der NF Mengenbegriff weicht also stark vom eingeburgerten Mengenbegriff ab so dass man NF eher als eine Theorie real existenter Klassen auffassen kann Mathematical Logic BearbeitenIn seinem Buch Mathematical Logic Mathematische Logik erweiterte Quine 1940 NF zu ML Er fugte den Axiomen von NF ein Klassenexistenzaxiom hinzu ein Schema das fur unendlich viele Einzelaxiome steht das Mengen zu Klassen zusammenfasst Allerdings gestattete er im Mengenbildungsaxiom der 1 Auflage seines Buches die Benutzung von Klassenvariablen als Parameter die nicht quantifiziert werden durften 1942 zeigte John Barkley Rosser dass sich in diesem Axiomensystem das Burali Forti Paradoxon herleiten lasst Hao Wang versperrte dieser Antinomie den von Rosser aufgezeigten Weg nach ML in dem er in seinem Aufsatz von 1950 das Mengenexistenzschema aus NF auch in ML benutzte Quine setzte es dann in spateren revidierten Auflagen seiner Mathematical Logic ebenfalls ein Daher ist das Mengenexistenzaxiom wie in NF endlich axiomatisierbar wahrend es fur das Klassenexistenzaxiom noch eine offene Frage ist Literatur BearbeitenHailperin Theodore A new set of axioms for logic in Journal of Symbolic Logic Bd 9 1944 S 1 19 Quine Willard Van Orman New Foundations for Mathematical Logic in Am Math Monthly 44 1937 S 70 80 Quine Willard Van Orman From a logical Point of view 9 logico philosophical essays Harvard U P Cambridge Mass 1953 S 80 101 Quine Willard Van Orman Mathematical Logic Harvard University Press 4 Auflage 1981 1 Auflage 1940 Rosser John Barkley Burali Forti paradox in Journal of Symbolic Logic Bd 7 1942 S 1 17 Specker Ernst Paul The axiom of choice in Quine s New Foundations for Mathematical Logic in Journal of Symbolic Logic Bd 14 1949 S 145 158 Wang Hao A formal system for logic in Journal of Symbolic Logic Bd 15 1950 S 25 32Weblinks BearbeitenThomas Forster Quine s New Foundations In Edward N Zalta Hrsg Stanford Encyclopedia of Philosophy Randall Holmes New Foundations Home Page Abgerufen von https de wikipedia org w index php title New Foundations amp oldid 172194443