www.wikidata.de-de.nina.az

Graduierter Ring In der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie ist ein graduierter Ring eine Verallgemeine

Graduierter Ring

In der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie ist ein graduierter Ring eine Verallgemeinerung des Polynomrings in mehreren Veränderlichen. Er ist in der algebraischen Geometrie ein Mittel, projektive Varietäten zu beschreiben.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition Bearbeiten

Ein graduierter Ring A ist ein Ring, der eine Darstellung als direkte Summe von abelschen Gruppen hat:

sodass

Elemente von werden homogene Elemente vom Grad genannt. Jedes Element eines graduierten Ringes kann eindeutig als Summe von homogenen Elementen geschrieben werden.

Ein Ideal wird homogen genannt, wenn:

Ist ein Ideal des Ringes , so kann der zum Ideal assoziierte Ring gebildet werden:

Eigenschaften Bearbeiten

  • Ein Ideal ist genau dann homogen, wenn es von homogenen Elementen erzeugt werden kann.
  • Die Summe, das Produkt, der Schnitt und das Radikal homogener Ideale ist wieder homogen.
  • Ein homogenes Ideal ist genau dann prim, wenn für alle homogenen gilt:
  • Ist noethersch und ein Ideal, dann ist auch noethersch.

Charakterisierung regulärer Ringe Bearbeiten

Ist ein lokaler noetherscher Ring, sein maximales Ideal, und eine -Basis des Vektorraums , so sind folgende Aussagen äquivalent:

definierte Homomorphismus
ist ein Isomorphismus von graduierten -Algebren.

Beispiele Bearbeiten

  • Wenn ein Körper ist, dann ist auf natürliche Weise ein graduierter Ring.
  • Dieser Ring kann auch mit einer anderen Graduierung versehen werden:

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6
  • Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9
  • Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411
  • Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
In der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie ist ein graduierter Ring eine Verallgemeinerung des Polynomrings in mehreren Veranderlichen Er ist in der algebraischen Geometrie ein Mittel projektive Varietaten zu beschreiben Dieser Artikel beschaftigt sich mit kommutativer Algebra Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab Fur weitere Details siehe Kommutative Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Charakterisierung regularer Ringe 4 Beispiele 5 Siehe auch 6 LiteraturDefinition BearbeitenEin graduierter Ring A ist ein Ring der eine Darstellung als direkte Summe von abelschen Gruppen hat A n N A n A 0 A 1 A 2 displaystyle A bigoplus n in mathbb N A n A 0 oplus A 1 oplus A 2 oplus cdots nbsp sodass A i A j A i j displaystyle A i A j subseteq A i j nbsp Elemente von A j displaystyle A j nbsp werden homogene Elemente vom Grad j displaystyle j nbsp genannt Jedes Element eines graduierten Ringes kann eindeutig als Summe von homogenen Elementen geschrieben werden Ein Ideal I displaystyle I nbsp wird homogen genannt wenn I n N I A n displaystyle I bigoplus n in mathbb N I cap A n nbsp Ist I displaystyle I nbsp ein Ideal des Ringes R displaystyle R nbsp so kann der zum Ideal I displaystyle I nbsp assoziierte Ring g r I R displaystyle mathrm gr I R nbsp gebildet werden g r I R n N I n I n 1 displaystyle mathrm gr I R bigoplus n in mathbb N I n I n 1 nbsp Eigenschaften BearbeitenEin Ideal ist genau dann homogen wenn es von homogenen Elementen erzeugt werden kann Die Summe das Produkt der Schnitt und das Radikal homogener Ideale ist wieder homogen Ein homogenes Ideal I displaystyle I nbsp ist genau dann prim wenn fur alle homogenen f g R displaystyle f g in R nbsp gilt f g I f I g I displaystyle fg in I Leftrightarrow f in I lor g in I nbsp dd Ist R displaystyle R nbsp noethersch und I R displaystyle I subset R nbsp ein Ideal dann ist auch g r I R displaystyle mathrm gr I R nbsp noethersch Charakterisierung regularer Ringe BearbeitenIst R displaystyle R nbsp ein lokaler noetherscher Ring m displaystyle m nbsp sein maximales Ideal k R m displaystyle k R m nbsp und x 1 x n displaystyle x 1 dots x n nbsp eine k displaystyle k nbsp Basis des Vektorraums m m 2 displaystyle m m 2 nbsp so sind folgende Aussagen aquivalent 1 R displaystyle R nbsp ist regular 2 Der durchf X i x i displaystyle f colon X i mapsto x i nbsp dd definierte Homomorphismusf k X 1 X n g r m R displaystyle f colon k X 1 dots X n to mathrm gr m R nbsp dd ist ein Isomorphismus von graduierten k displaystyle k nbsp Algebren dd Beispiele BearbeitenWenn K displaystyle K nbsp ein Korper ist dann ist K X 1 X n displaystyle K X 1 dots X n nbsp auf naturliche Weise ein graduierter Ring Dieser Ring kann auch mit einer anderen Graduierung versehen werden Ist i 1 i n N n displaystyle i 1 dots i n in mathbb N n nbsp so ist A k displaystyle A k nbsp die Menge der quasihomogenen Polynome vom Grad k displaystyle k nbsp A k a 1 i 1 a n i n k s a 1 a n X i 1 X i n displaystyle A k sum alpha 1 i 1 dots alpha n i n k s alpha 1 dots alpha n X i 1 dots X i n nbsp dd Siehe auch BearbeitenHilbert Samuel PolynomLiteratur BearbeitenErnst Kunz Einfuhrung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie Vieweg 1980 ISBN 3 528 07246 6 Atiyah Macdonald Introduction to Commutative Algebra Addison Wesley 1969 ISBN 0 2010 0361 9 Bruske Ischebeck Vogel Kommutative Algebra Bibliographisches Institut 1989 ISBN 978 3411140411 Robin Hartshorne Algebraic Geometry Springer Verlag New York Berlin Heidelberg 1977 ISBN 3 540 90244 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Graduierter Ring amp oldid 227522529