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Hilbert Samuel Polynom Das ist ein Begriff aus den mathematischen Teilgebieten der kommutativen Algebra und der algebrai

Hilbert-Samuel-Polynom

Das Hilbert-Samuel-Polynom ist ein Begriff aus den mathematischen Teilgebieten der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie. Es wird dort in der Dimensionstheorie und in der Berechnung der Schnittpunkte gebraucht. Während der Grad für die Dimensionstheorie wichtig ist, spielen die Koeffizienten für die Schnitttheorie der algebraischen Geometrie eine Rolle. Benannt wurde es nach David Hilbert und Pierre Samuel.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definitionen Bearbeiten

Es sei

ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften:

  1. ist ein -Modul von endlicher Länge
  2. wird als Ring von und endlich vielen Elementen erzeugt.
  3. sei ein graduierter endlicher -Modul.

Dann wird die Funktion

Hilbert-Samuel-Funktion genannt

Unter den Voraussetzungen der Definition (und mit diesen Bezeichnungen) gilt folgender Satz:

  • Für große ist die Hilbert-Samuel-Funktion ein Polynom aus . Es ist und der höchste Koeffizient von ist positiv.

Das bedeutet, dass es ein : und ein gibt, sodass für alle gilt:

Dieses Polynom heißt das Hilbert-Samuel-Polynom

Dimensionstheorie Bearbeiten

Ist ein lokaler Ring mit maximalem Ideal , und

der graduierte Ring zu diesem Ideal. Dann gilt für den Grad des Hilbertpolynoms dieses Ringes (betrachtet als Modul über sich selbst):

( ist die Krulldimension des Ringes)

Literatur Bearbeiten

  • Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9
  • Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411
  • Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9
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Veröffentlichungsdatum:
Das Hilbert Samuel Polynom ist ein Begriff aus den mathematischen Teilgebieten der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie Es wird dort in der Dimensionstheorie und in der Berechnung der Schnittpunkte gebraucht Wahrend der Grad fur die Dimensionstheorie wichtig ist spielen die Koeffizienten fur die Schnitttheorie der algebraischen Geometrie eine Rolle Benannt wurde es nach David Hilbert und Pierre Samuel Dieser Artikel beschaftigt sich mit kommutativer Algebra Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab Fur weitere Details siehe Kommutative Algebra Definitionen BearbeitenEs sei R n N R n displaystyle R bigoplus n in mathbb N R n nbsp ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften R 0 displaystyle R 0 nbsp ist ein R 0 displaystyle R 0 nbsp Modul von endlicher Lange R displaystyle R nbsp wird als Ring von R 0 displaystyle R 0 nbsp und endlich vielen Elementen a 1 a r displaystyle a 1 dots a r nbsp erzeugt M displaystyle M nbsp sei ein graduierter endlicher R displaystyle R nbsp Modul Dann wird die Funktion f N N displaystyle f colon mathbb N to mathbb N nbsp f n l R 0 i 0 n 1 M i displaystyle f colon n mapsto l R 0 left bigoplus i 0 n 1 M i right nbsp Hilbert Samuel Funktion genanntUnter den Voraussetzungen der Definition und mit diesen Bezeichnungen gilt folgender Satz Fur grosse n displaystyle n nbsp ist die Hilbert Samuel Funktion ein Polynom P X displaystyle P X nbsp aus Q X displaystyle mathbb Q X nbsp Es ist g r a d P X r displaystyle grad P X leq r nbsp und der hochste Koeffizient von P X displaystyle P X nbsp ist positiv Das bedeutet dass es ein P X Q X displaystyle P X in mathbb Q X nbsp und ein k N displaystyle k in mathbb N nbsp gibt sodass fur alle n gt k displaystyle n gt k nbsp gilt f n P n displaystyle f n P n nbsp Dieses Polynom heisst das Hilbert Samuel Polynom Dimensionstheorie Bearbeiten Ist A displaystyle A nbsp ein lokaler Ring mit maximalem Ideal m displaystyle m nbsp und g r m A n N m n m n 1 displaystyle mathrm gr m A bigoplus n in mathbb N m n m n 1 nbsp der graduierte Ring zu diesem Ideal Dann gilt fur den Grad des Hilbertpolynoms P m g r m A displaystyle mathrm P m mathrm gr m A nbsp dieses Ringes betrachtet als Modul uber sich selbst g r a d P m g r m A d i m A displaystyle mathrm grad mathrm P m mathrm gr m A mathrm dim A nbsp d i m A displaystyle mathrm dim A nbsp ist die Krulldimension des Ringes Literatur BearbeitenAtiyah Macdonald Introduction to Commutative Algebra Addison Wesley 1969 ISBN 0 2010 0361 9 Bruske Ischebeck Vogel Kommutative Algebra Bibliographisches Institut 1989 ISBN 978 3411140411 Robin Hartshorne Algebraic Geometry Springer Verlag New York Berlin Heidelberg 1977 ISBN 3 540 90244 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hilbert Samuel Polynom amp oldid 183548892